2024-2025学年高二上学期期末复习【第五章 一元函数的导数及其应用】十一大题型归纳（拔尖篇）（含答案）

2024高二上学期期末复习第五章十一大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程1．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线y=ex-2+1A．y=x B．y=2x C．y=1e22．（2023下·山东东营·高二统考期末）已知a为实数，函数fx=3x3+2ax2+2+ax的导函数为A．11x-y-6=0 B．9x+y-6=0C．5x-11y+2=0 D．6x+5y-11=03．（2023上·湖南常德·高二校考期末）已知曲线y=1(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.4．（2023上·江苏镇江·高二校考期末）已知函数f(x)=ln(1)求曲线y=g(x)在x=π(2)若直线l过坐标原点且与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程.题型2题型2两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题1．（2023上·内蒙古阿拉善盟·高三校考期末）已知函数f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2-x.若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，则A．e-1,-1 B．-1,e-1 C．e2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）若对函数fx=2x-sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mexA．-e2,0C．-1,0 D．0,13．（2023·高二课时练习）已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．4．（2023下·江西·高二校联考期中）已知函数fx=x-a(1)当a=1时，求曲线y=fx在x=0(2)若a+b=1，是否存在直线l与曲线y=fx和y=gx都相切？若存在，求出直线l的方程（若直线l的方程含参数，则用题型3题型3与导数运算有关的新定义问题1．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）给出新定义：设f'x是函数fx的导函数，f″x是f'x的导函数，若方程f″x=0有实数解x0，则称点x0,fA．1-π24 B．-π24 C．2．（2023上·河南商丘·高二校考期末）给出定义：设f'x是函数y=f(x)的导函数，f″(x)是函数y=f'(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数解x=x0，则称(x0，f(A．8082 B．-8082 C．8084 D．-80843．（2023下·河南信阳·高二统考期中）给出定义：设f'x是函数y=fx的导函数，f″x是函数f'x的导函数，若方程f″x=0有实数解x=x(1)求出fx(2)求f14．（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f''x是函数y=fx的导函数y=f'(1)求函数fx的“拐点”A(2)求证：fx的图像关于“拐点”A对称，并求f(-2020)+f(-2019)+⋯f(2019)+f(2022)题型4题型4根据极值（点）求参数1．（2023下·江苏镇江·高二校考期末）若函数fx=x+4x与函数gxA．12 B．e3 C．2 2．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）已知fx=aexA．a≥1e B．a>1e C．3．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知函数fx=x2+2(1)当k=1时，求fx在x=0(2)若函数fx在区间0,1上存在极值，求实数k4．（2023下·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知函数f(x)=ln(ax+b)-x2在点(1)求a、b的值：(2)求函数f(x)的单调区间；(3)令g(x)=f(x)+32x2-mx，若函数g(x)题型5题型5已知函数最值求参数1．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数fx=x-m2-2,x<02xA．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥02．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数fx=13x3+12A．-2,12 C．-74,3．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数fx(1)若a=2e，求fx在(2)当a∈(-∞,e2]时，函数f4．（2023下·北京朝阳·高二统考期末）已知函数f(x)=lnx-ax(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若x=2是f(x)的一个极值点，求f(x)的单调递增区间；(3)是否存在a，使得f(x)在区间(0,e]上的最大值为-2？若存在，求出题型6题型6函数单调性、极值与最值的综合应用1．（2023上·河南南阳·高三统考期末）对于函数f(x)=sinx+x-ex，A．函数fx有唯一的极大值点 B．函数fC．函数fx有最大值没有最小值 D．函数f2．（2022下·北京海淀·高二统考期末）已知函数fx=ln①fx②对任意给定的实数k，fx③fx在区间0,其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023下·北京通州·高二统考期末）已知函数fx=alnx+bx(1)当a=1，b=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a>0，b=-2时，求fx在区间1,2(3)当a=1时，设gx=fx+sin4．（2023下·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x)=x(1)若g(x)=f'(x)（f'(x)(2)求函数gx在区间1,(3)若函数f(x)有两个极值点x1,x题型7题型7利用导数研究函数的零点（方程的根）1．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数fx=ex-a-A．1,+∞ B．e,+∞ C．1,+2．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知函数fx=xelnx,关于x的方程fA．1,+∞ B．C．-1,0∪1,+∞3．（2023下·广西桂林·高二统考期末）已知函数f(x)=x-ln(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值；(2)求函数f(x)零点的个数．4．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数f(x)=1(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；(2)若x=1是f(x)的极值点，且方程f(x)-m=0有3个不同的实数解，求实数m的取值范围．题型8题型8利用导数证明不等式1．（2023下·内蒙古·高二校联考期末）已知函数fx(1)当a=0，求曲线y=fx在1,f(2)若a<0，证明：fx2．（2023下·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数f(x)=(1-x)e(1)讨论f(x)在区间(0,+∞(2)当m=1时，若存在a<b满足a+ln(1-a)=b+ln3．（2023下·河北保定·高二校联考期末）已知函数fx(1)讨论fx(2)若x1>x2>04．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知函数fx(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数gx=emx-题型9题型9利用导数研究恒成立、存在性问题1．（2023下·北京·高二校考期末）已知函数fx=lnx-x+m，若存在x∈1e,A．-∞,1 C．-∞,e2．（2023下·河南新乡·高二统考期末）若关于x的不等式xlnx+2-xln2-x≥mA．1 B．2 C．3 D．43．（2023下·江西九江·高二统考期末）已知函数fx(1)当m=1时，证明：fx(2)若关于x的不等式fx<m-24．（2023下·重庆北碚·高二校考期末）f(x)=e(1)求fx在t,t+2(2)g(x)=6ex-x3-4x2-ax-7题型10题型10利用导数研究双变量问题1．（2023下·上海浦东新·高二校考期末）已知a∈R，函数f(1)若a=3，求曲线y=fx在P(2)若fx有零点，求实数a(3)若fx有两个相异零点x1，x22．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知函数fx=1(1)若函数fx是增函数，求a(2)设函数fx的两个极值点分别为x1，x2（x3．（2023上·云南德宏·高三统考期末）已知函数f(x)=ex-2，g(x)=lnx2+a．当a>0时，(1)求实数a的值；(2)∀x∈0,+∞，有f(x+2-m)≥kx+k-1≥12g(4．（2023下·山东泰安·高二统考期末）已知函数fx=lnx-(1)讨论fx(2)设函数gx=xex-afx+1题型11题型11导数中的新定义问题1．（2023上·上海黄浦·高三校考开学考试）对于函数y=fx的导函数y'=f'x，若在其定义域内存在实数x0和t，使得fx0(1)若函数y=sinx-mx∈R是“(2)若函数y=x2-ax+1是定义在-1,3(3)若函数y=ex+bx2．（2023·高二课时练习）对于定义在D上的函数fx，其导函数为f'x．若存在k∈D，使得f'k=fk，且x=k(1)设函数fx=x+atanx，其中①若fx是单调函数，求实数a②证明：函数fx(2)对任意m∈R，证明：函数gx3．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）设y=fx是定义在R上的函数，若存在区间a,b和x0∈(a,b)，使得y=fx在[a,x0]上严格减，在[x0(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：（i）y=2x，（ii）y=x+(2)已知实数m>0，y=x2-2x-mlnx-1(3)设p,q∈R，hx=-x4+px3+qx2+4-3p-2qx．设函数4．（2023·河北石家庄·统考三模）若定义在区间I上的函数y=fx，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数y=fx为区间I上的“曲折函数”，“现已知函数(1)证明：y=fx是0,+(2)设0<x0<a，证明：∃x1

高二上学期期末复习第五章十一大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程1．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线y=ex-2+1A．y=x B．y=2x C．y=1e2【解题思路】设切点坐标为(t,et-2+1)，求得切线方程为y-(et-2+1)=e【解答过程】由函数y=ex-2+1设切点坐标为(t,et-2+1)把原点(0,0)代入方程，可得0-(et-2+1)=解得t=2，所以切线方程为y-(e0+1)=故选：A.2．（2023下·山东东营·高二统考期末）已知a为实数，函数fx=3x3+2ax2+2+ax的导函数为A．11x-y-6=0 B．9x+y-6=0C．5x-11y+2=0 D．6x+5y-11=0【解题思路】由偶函数的定义确定参数a的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.【解答过程】因为f'所以f'所以a=0，故f'x=9所以f1=5，故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为即11x-y-6=0.故选：A.3．（2023上·湖南常德·高二校考期末）已知曲线y=1(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.【解题思路】（1）对曲线y=13x（2）设切点为x0【解答过程】（1）由y=13x∴在点P(2,4)处切线的斜率k=y'∣∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.（2）设切点为x0,y∵曲线的切线斜率为1,∴x02∴切点为1,53，∴切线方程为y-53=x-1即3x-3y+2=0和x-y+2=0.4．（2023上·江苏镇江·高二校考期末）已知函数f(x)=ln(1)求曲线y=g(x)在x=π(2)若直线l过坐标原点且与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程.【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；（2）设切点坐标x0,lnx0【解答过程】（1）gx=tanx=sinxcos所以切线方程为：y-3=4x-（2）fx=lnx，所以f'则切线方程为：y-ln又因为切线过原点，所以将0,0代入切线方程得-lnx0所以切线方程为：y-1=1ex-题型2题型2两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题1．（2023上·内蒙古阿拉善盟·高三校考期末）已知函数f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2-x.若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，则A．e-1,-1 B．-1,e-1 C．e【解题思路】先根据y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线得出在x=1处两函数的导数相等,再由A(1,0)在y=f(x)上,列方程组求解即可.【解答过程】因为g'(x)=2x-1，所以由题意，f'(1)=故选:A.2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）若对函数fx=2x-sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mexA．-e2,0C．-1,0 D．0,1【解题思路】求导得到-1f'(x)范围A，再分m>0，m<0，【解答过程】由fx=2x-sinx，得由gx=mex+(1)当m>0时，导函数单调递增，g'由题意得∀故m-2<-1，解得0<m<1；(2)当m<0时，导函数单调递减，g'x∈-∞,m-2，同理可得（3）当m=0时，不符合题意.综上所述：m的取值范围为0,1.故选：D.3．（2023·高二课时练习）已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．【解题思路】（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣1k【解答过程】(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，k≥-1解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).4．（2023下·江西·高二校联考期中）已知函数fx=x-a(1)当a=1时，求曲线y=fx在x=0(2)若a+b=1，是否存在直线l与曲线y=fx和y=gx都相切？若存在，求出直线l的方程（若直线l的方程含参数，则用【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程；（2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案.【解答过程】（1）当a=1时，f'x=2x-1，曲线y=fx在x=0处的切线方程为y-f0=（2）设直线l与曲线y=fx相切于点Ax1,y1，与曲线y=gx曲线y=fx在点A处的切线为y-与曲线y=gx相切于点B则-2(x2-b)=2(由x1+x代入（*）得-x解得x1=a或当x1=a时，直线l:y=0.当x2=a时，故存在直线l与曲线y=fx和y=gx都相切，直线l的方程为y=0或题型3题型3与导数运算有关的新定义问题1．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）给出新定义：设f'x是函数fx的导函数，f″x是f'x的导函数，若方程f″x=0有实数解x0，则称点x0,fA．1-π24 B．-π24 C．【解题思路】二次求导，根据拐点定义求得x0，然后代入函数f(x)【解答过程】由题可知f'x=2结合题意知-4sin2x又-π4<x0故选：B.2．（2023上·河南商丘·高二校考期末）给出定义：设f'x是函数y=f(x)的导函数，f″(x)是函数y=f'(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数解x=x0，则称(x0，f(A．8082 B．-8082 C．8084 D．-8084【解题思路】按定义求得拐点，即为函数y=f(x)的图像的对称中心，利用对称性化简求值即可.【解答过程】f'(x)=-3x2+6x，令f″(x)=-6x+6=0得x=1，f(1)=2故f(==4×2020+2=8082故选：A.3．（2023下·河南信阳·高二统考期中）给出定义：设f'x是函数y=fx的导函数，f″x是函数f'x的导函数，若方程f″x=0有实数解x=x(1)求出fx(2)求f1【解题思路】（1）求出函数二阶导数的零点后可求函数图象的对称中心.（2）利用倒序相加法可求f1【解答过程】（1）f'x=x2-x+3，因为fx为三次函数，故函数fx的拐点为故fx图象的对称中心为1（2）因为fx图象的对称中心为12,1设A=f1则A=f2022所以2A=f=2×2022，故A=2022.4．（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f''x是函数y=fx的导函数y=f'(1)求函数fx的“拐点”A(2)求证：fx的图像关于“拐点”A对称，并求f(-2020)+f(-2019)+⋯f(2019)+f(2022)【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出f″(x)=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果.【解答过程】（1）∵f'x=3x2得x=1.有f(1)=13-3+2-2=-2，∴“拐点”A（2）证明：设P(x0，y0)是P(x0，y0)是关于“拐点”把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-右边=2-∴点P'2-x∴y=f(x)关于“拐点”A对称.由对称性可得f(x)+ff-2020题型4题型4根据极值（点）求参数1．（2023下·江苏镇江·高二校考期末）若函数fx=x+4x与函数gxA．12 B．e3 C．2 【解题思路】由对勾函数可知：fx=x+4x的极小值4，对【解答过程】由对勾函数可知：fx=x+4x在对于gx当a≤0时，gx当a>0时，g'令g'x<0，解得x<-lna则gx在-∞,-所以gx的极小值为g-ln故选：B.2．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）已知fx=aexA．a≥1e B．a>1e C．【解题思路】求导得f'x=exx2(x-1)a-【解答过程】由f(x)=aexf'当a≤0时，a-x所以在x∈(0,1)上f'x>0在x∈(1,+∞)上f'所以f(x)没有极小值点，只有极大值点，不合题意，当a>0时，令g(x)=xexg'(x)=ex-x所以在x∈(0,1)上g'(x)>0，在x∈(1,+∞)上g'gxmax=g1=1e，g(0)=0，当x>0①若0<a<1e，则存在m∈(0,1)，n∈(1,+∞)，使得所以在x∈(0,m)上，x-1<0，a-xex>0，在x∈(m,1)上，x-1<0，a-xex>0，在x∈(1,n)上，x-1>0，a-xex<0，在x∈(n,+∞)上，x-1>0，a-xex所以当0<a<1e时，当a≥1e时，a≥g(x)，即在x∈(0,1)上f'(x)<0，在x∈(1,+∞)上f'所以f(x)有唯一极小值点x=1，无极大值点，综上所述，当a≥1e时，故选：A.3．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知函数fx=x2+2(1)当k=1时，求fx在x=0(2)若函数fx在区间0,1上存在极值，求实数k【解题思路】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）将函数fx在区间0,1上存在极值转化为∃x0∈0,1【解答过程】（1）当k=1时，fx=x所以f0所以f'所以fx在x=0处的切线的斜率为k=所以fx在x=0处的切线方程为y-2=-1x-0（2）因为fx=x所以f'因为函数fx在区间0,1所以∃x0∈0,1，使得所以2x0-kx令gx0=2由二次函数的性质知，对称轴为x0所以gx0在所以g0<gx所以实数k的取值范围为0,4.4．（2023下·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知函数f(x)=ln(ax+b)-x2在点(1)求a、b的值：(2)求函数f(x)的单调区间；(3)令g(x)=f(x)+32x2-mx，若函数g(x)【解题思路】（1）求出函数的导函数，依题意可得f1（2）由（1）可得fx（3）首先可得g(x)=lnx+12x2-mx，求出函数的导函数，分m≤0【解答过程】（1）因为f(x)=ln(ax+b)-x又函数fx在点1,f1处的切线方程为所以f1=-1f'1（2）由（1）可得fx=ln所以f'所以当0<x<22时f'x>0所以fx的单调递增区间为0,22（3）因为g(x)=f(x)+32x则g'当m2≤0，即m≤0时g'(x)>0恒成立，所以对于方程x2-mx+1=0，当Δ=m2所以g'(x)≥0恒成立，所以gx当m>2则m2>1时方程x2-mx+1=0有两个不相等的正实数根不妨设x1<x2所以当0<x<x1或x>x2时g'所以gx的单调递增区间为0,x1，x此时gx在x=x1则gx令hx=lnx-1所以hx在1,+∞上单调递减，所以即gx极小值=g题型5题型5已知函数最值求参数1．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数fx=x-m2-2,x<02xA．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0【解题思路】利用导数求出函数fx在0,+∞上的极小值，然后对实数m的取值进行分类讨论，结合fx【解答过程】当x≥0时，fx=2x当0<x<1时，f'x<0当x>1时，f'x>0所以，函数fx的极小值为f因为函数fx的最小值为-2，当m≥0时，函数fx在此时，函数fx在-当m<0时，函数fx在-∞,m此时，函数fx在-∞,0上的极小值为fm=-2综上所述，m<0.故选：A.2．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数fx=13x3+12A．-2,12 C．-74,【解题思路】利用导数确定函数fx的单调区间及极小值为f1=-16，再令f【解答过程】解：因为fx所以f'令f'x=0，解得x=-2所以fx在-∞,-2，1,+所以极小值为f1令fx=-1所以f-由题意得-7所以a的取值范围为-7故选:C．3．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数fx(1)若a=2e，求fx在(2)当a∈(-∞,e2]时，函数f【解题思路】（1）把a=2e代入，求出函数f(x)（2）根据给定条件，求出函数f(x)的导数，分类讨论求解最小值即可作答.【解答过程】（1）当a=2e时，f(x)=1+lnx+2ex，求导得所以函数f(x)在点(e,4)处切线方程为y-4=-1（2）函数f(x)=lnex+ax,a∈当a≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在[1,e2]当1<a<e2时，由f'(x)<0，得1≤x<a，函数f(x)递减，由f'因此f(x)min=f(a)=1+lna+1=3当a=e2时，f'(x)≤0，函数f(x)在[1,e所以a=e4．（2023下·北京朝阳·高二统考期末）已知函数f(x)=lnx-ax(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若x=2是f(x)的一个极值点，求f(x)的单调递增区间；(3)是否存在a，使得f(x)在区间(0,e]上的最大值为-2？若存在，求出【解题思路】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）由x=2是f(x)的一个极值点，可得f'(2)=0，求出（3）对函数求导后分a≤1e和a>1e两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于【解答过程】（1）当a=3时，f(x)=lnx-3x，所以因为f'(x)=1所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+3=-2(x-1)，即2x+y+1=0．（2）函数f(x)=lnx-ax的定义域为(0,+∞因为x=2是f(x)的一个极值点，所以f'(2)=1所以f(x)=lnx-1当0<x<2时，f'(x)>0，当x>2时，f'(x)<0，所以当a=12时，x=2是此时f(x)的单调递增区间为(0,2)．（3）①当a≤1因为x∈(0,e]，所以f(x)在区间(0,e此时f(x)若1-ae=-2，则②当a>1e，即令f'(x)=1当0<x<1a时，f'当1a<x<e时，f此时f(x)若ln1a-1=-2综上，当a=e时，f(x)在区间(0,e]题型6题型6函数单调性、极值与最值的综合应用1．（2023上·河南南阳·高三统考期末）对于函数f(x)=sinx+x-ex，A．函数fx有唯一的极大值点 B．函数fC．函数fx有最大值没有最小值 D．函数f【解题思路】构造新函数，并利用导数判断函数fx的单调性，进而得到函数f【解答过程】f(x)=sinx+x-ex，x∈[0,π令k(x)=cosx+1-e则k'(x)=-sin则k(x)=cosx+1-e又k(0)=cos0+1-则存在唯一x0∈[0,π当0≤x<x0时，k(x)>0，即f'当x0<x≤π时，k(x)<0，即f则当x=x0时，则函数fx故选：A.2．（2022下·北京海淀·高二统考期末）已知函数fx=ln①fx②对任意给定的实数k，fx③fx在区间0,其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】依据零点存在定理并分类讨论求得fx的零点判断①；利用导数并分类讨论判定f【解答过程】①当k=0时，fx=lnx，由f1当k>0时，fx=lnfπ=lnπ-ksinπ当k<0时，y=-ksinx在0,1又y=lnx在0,1单调递增，值域则y=-ksinx与y=ln则fx=ln综上，fx②当k=0时，fx=lnx，x∈0,当k≠0时，fx=lnx-ky=1x在0,π当k≤1π，k≠0时，y=kcos则f'x=1x-kcos当k<-1π时，y=-kcos则f'x=1x-k则∃x0则x∈0,x0时，f'则fx在0,x0单调递增，在x当k>1π时，y=-kcos当x∈π2,π时，则fx在π当x∈0,π2时，又当x∈0,π2时，则当x∈0,若f'x=1x则fx在0,π单调递增，若∃x0∈0,π2，使得x∈0,则fx在0,x0单调递增，在x0,π2则fx在0,综上，对任意给定的实数k，fx在0,③令k=6.5π，则fx=y=1x在0,πy=-6.5πcosx在又f'π6=则∃x1则当x∈0,x1，或x∈x2当x∈x1,x2则fx在区间0,故选：C.3．（2023下·北京通州·高二统考期末）已知函数fx=alnx+bx(1)当a=1，b=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a>0，b=-2时，求fx在区间1,2(3)当a=1时，设gx=fx+sin【解题思路】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；（2）在a>0的范围内对a分类讨论求出fx（3）利用二次求导的方法研究g(x)在区间0,π【解答过程】（1）由已知得fx=lnx+x，函数fx则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程的斜率为f'所以切线方程为y-1=2x-1，即2x-y-1=0（2）由已知得fx=alnx-2x，函数f'x=ax令f'(x)>0，即0<x<a2，令①当a2≤1时，即0<a≤2，fx所以fx在区间1,2上的最大值为f(1)=-2②当1<a2<2时，即2<a<4，fx在区间1,a所以fx在区间1,2上的最大值为f(③当a2≥2，即a≥4，fx所以fx在区间1,2上的最大值为f(2)=a（3）当a=1时，g(x)=fx+sin则g'令h(x)=1x+b+因为x∈(0,π]，所以所以h(x)在区间(0,π当x无限趋近于0时，g'(x)无限趋近于正无穷，且①当g'(π)=b+1g(x)在区间(0,π]单调递增，所以g(x)在区间②当g'(π)=b+1π-1<0，即b<1-所以当x∈0,x0时，g'x所以g(x)在区间0,x0上单调递增，在区间所以g(x)在区间0,π综上所述，当b<1-1π时，函数当b≥1-1π时，函数4．（2023下·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x)=x(1)若g(x)=f'(x)（f'(x)(2)求函数gx在区间1,(3)若函数f(x)有两个极值点x1,x【解题思路】（1）根据题意求得gx=lnx-mx，取得（2）由（1）中的结论，分类讨论，求得gx在1,（3）根据题意转化为m=lnxx在0,+∞上有两个不等的实根，进而转化为y=m和y=lnxx的图象有两个交点，结合y=lnxx的单调性与极值，得到0<m<1e且1<x【解答过程】（1）解：由函数f(x)=xlnx-12m可得gx=f若m≤0时，g'x>0若m>0时，令g'x=0当x∈(0,1m)时，g当x∈(1m,+∞)综上可得，当m≤0时，gx单调递增区间为0,+当m>0时，gx单调递减区间为(0,1m（2）解：由（1）知，当m≤0时，gx在1,e上为递增函数，gx当0<1m≤1时，即m≥1时，gx在1,当1<1m<e时，即1e<m<1时，所以gx最大值为g当1m≥e时，即0<m≤1e时，gx在综上可得，当m≤1e时，最大值为当1e<m<1时，最大值为当m≥1时，最大值为g1（3）解：由f'(x)=lnx-mx，因为函数可得方程f'(x)=0在0,+∞上有两个不等的实根x即m=lnxx在0,+∞上有两个不等的实根x1又由y=lnxx当x∈(0,e)时，y'当x∈(e,+∞)时，又由y|x=e=1e，且x→+∞要证1lnx1因为lnx1=mx1因为lnx1=m即证lnx2-lnx令t=x2x令ht=lnt-t2-1所以ht<h1=0，即题型7题型7利用导数研究函数的零点（方程的根）1．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数fx=ex-a-A．1,+∞ B．e,+∞ C．1,+【解题思路】易知函数y=ex-a与函数y=lnx+a互为反函数，则问题可等价于a=x-lnx在(0,+【解答过程】令f(x)=0，则ex-a注意函数y=ex-a与函数y=ln则要使函数f(x)有两个零点，只需y=lnx+a与直线即关于x的方程lnx+a=x有两个根，即a=x-lnx设g(x)=x-lnx，则易知当0<x<1时，g'(x)<0，当x>1时，g'(x)>0，则g(x)min=g1=1，且x→0时，g(x)→+故a>1，故选：A．2．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知函数fx=xelnx,关于x的方程fA．1,+∞ B．C．-1,0∪1,+∞【解题思路】画出fx图象,解方程fx2-2a+1fx+a2+2a=0可得,fx=a【解答过程】解:由题知fx=xelnx所以f'故在0,1上,f'x<0且lnx<0,即fx在1,e上,f'x在e,+∞上,f'有fe画fx

由fx即fx即fx=a或由图可知,当a<0或a=1时,y=fx与y=a即fx此时需要fx即a+2>1,解得a>-1故-1<a<0或a=1;当0≤a<1时,fx当a>1时,a+2>3,此时fxfx共四个不等实数解,满足题意.综上:-1<a<0或a≥1.故选:C.3．（2023下·广西桂林·高二统考期末）已知函数f(x)=x-ln(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值；(2)求函数f(x)零点的个数．【解题思路】（1）求出函数的导数，判断函数在[0,π]上的单调性，即可求得答案；（2）分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可判断出答案.【解答过程】（1）∵f(x)=x-ln∴f'令φ(x)=1-1x+1-∵x∈[0,π]，∴φ'(x)=1又f'(0)=1-1-cos故存在唯一x0∈(0,π则0<x<x0时，f'(x)<0，x0<x<π时，f'(x)>0故fx0为f(x)在又f(0)=0，f(π)=π-ln(π+1)>π-ln故函数f(x)在区间[0,π]上的最大值为π-ln（2）函数f(x)的定义域是(-1,+∞)，①当x∈(-1,0]时，∵1x+1≥1，∴f'(x)=1-xx+1-又f(0)=0，∴f(x)≥0，故此时f(x)的零点为x=0；②当x∈[0,π]时，由（1）知，f(0)=0，fx且f(x)在(0,x0)上单调递减，f(x)故函数f(x)在区间(x0,π)③当x∈(π,+∞)时，令g(x)=x-ln则g'∴g(x)在(π,+∞∴g(x)>g(π)=π-ln又sinx≤1，故对任意x∈(π,+∞)∴函数f(x)在区间(π,+∞综上，函数f(x)有且仅有2个零点．4．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数f(x)=1(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；(2)若x=1是f(x)的极值点，且方程f(x)-m=0有3个不同的实数解，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；（2）根据x=1是f(x)的极值点，求得a的值，可得函数解析式，将方程f(x)-m=0有3个不同的实数解转化为y=f(x),y=m的图象由3个不同交点，数形结合，即得答案.【解答过程】（1）因为f(x)=13x故f'故函数f(x)在x=0处的切线方程为y+1=-2(x-0)，即2x+y+1=0（2）由于x=1是f(x)的极值点，故f'此时f'(x)=x2+x-2，当x<-2或x>1时，f当-2<x<1时，f'(x)<0，f(x)在即x=-2为函数的极大值点，x=1是函数的极小值点，故a=1故f(x)=1故方程f(x)-m=0有3个不同的实数解，即y=f(x),y=m的图象由3个不同交点，而f(x)max=f(-2)=结合f(x)=13x3+当x→+∞时，f(x)

可得到-13题型8题型8利用导数证明不等式1．（2023下·内蒙古·高二校联考期末）已知函数fx(1)当a=0，求曲线y=fx在1,f(2)若a<0，证明：fx【解题思路】（1）对fx求导，求出f1，（2）对fx求导，得到fx的单调性，即可求出fxmin，要证fx≤-6a-4【解答过程】（1）当a=0时，fx=2x+2lnf1=2，曲线y=fx在1,f1处的切线方程为y-2=4x-1（2）因为f'当a<0时，由f'x>0，解得0<x<-2a所以fx在0,-2afx要证fx≤-6a-4令函数hx=ln当0<x<1时，h'x>0，当x>1所以hx在0,1上单调递增，在1,+hx≤h1=0，所以故fx2．（2023下·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数f(x)=(1-x)e(1)讨论f(x)在区间(0,+∞(2)当m=1时，若存在a<b满足a+ln(1-a)=b+ln【解题思路】（1）利用分类讨论思想，由函数解析式，求得其导数，根据导数与单调性的关系，可得答案；（2）整理等式，可得fa【解答过程】（1）当m=0，fx=1-x在当m≠0时，f'①当m>1时，0<x<1-1m，f'x>0②当0<m≤1时，f'x<0③当m<0时，0<x<1-1m，f'x<0综上所述，当m>1时，fx在0,1-1m当0≤m≤1时，fx在0,+当m<0时，fx在0,1-1m（2）由a+ln1-a=b+ln1-b由（1）可知，当m=1时，fx=1-x当x∈-∞,0时，f'xfx在-∞,0又当x∈-∞,1，fx>0故a<0<b<1，即ab<0．欲证1a+1设gx=fx则g'即gx在0,1又g0=0，所以gx又fa=fb又因为fx在-∞,0单调递增，a<所以a<-b，即a+b<0得证．3．（2023下·河北保定·高二校联考期末）已知函数fx(1)讨论fx(2)若x1>x2>0【解题思路】（1）根据题意，求导得f'x，然后分a≥14，（2）根据题意，将不等式转化为证明lnxgx=e【解答过程】（1）因为fx=aln当Δ=1-4a≤0，即a≥14时，f'x当0<a<14时，令f'x>0得x∈1-1-4a2,1+1-4a2当a≤0时，令f'x>0，得x∈1+1-4a2,+∞，令f'（2）证明：由fx1-f整理得a=e因为x1>x要证x1x2<e只要证ex令gx=e即证y=gx在0,+∞上单调递增，只要证g'恒成立，即证ex-1-x+1≥令φx=e当x∈1,+∞时，φ'x>0,φ所以φx令hx=eln当x∈0,e时，h'x>0,h所以hx所以ex-1-x+1≥1≥elnxx4．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知函数fx(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数gx=emx-【解题思路】（1）根据a≥0和a<0分类讨论，求导，利用导数与函数的单调性即可得解；（2）由题意得lnx1=mx1,lnx2【解答过程】（1）由fx=ex+ax，x∈当a≥0时，f'x=ex当a<0时，令f'x=0，则x=ln-a令f'x=所以函数f(x)的单调递减区间是-∞,ln综上，当a≥0时，函数f(x)的递增区间是-∞当a<0时，函数f(x)的单调递减区间是-∞,ln（2）由（1）知，当a=1时，函数fx=e令gx=emx-由题意，函数gx=e则lnx1=m要证：2lnx1+ln只需证明：2+x2x1x2x1-1即证：lnt>et-12+t，又令所以函数φt在1,+∞上单调递增，且φt要证：lnt>et-1即证：(3-e因为(3-e)t所以不等式(3-e所以lnt>et-1题型9题型9利用导数研究恒成立、存在性问题1．（2023下·北京·高二校考期末）已知函数fx=lnx-x+m，若存在x∈1e,A．-∞,1 C．-∞,e【解题思路】将题意转化为m≤x-lnx，x∈1e,e，令gx=x-ln【解答过程】若存在x∈1e,e，使所以m≤x-lnx，令gxg'x=1-1x令g'x<0所以gx在x∈1,e所以g所以m≤e-1.故选：C.2．（2023下·河南新乡·高二统考期末）若关于x的不等式xlnx+2-xln2-x≥mA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】构造函数fx=xln【解答过程】令fx=xln由于函数y=lnx在x∈0,2单调递增，y=所以f'x=又f'1=0，所以当所以当x=1时，fx取极小值也是最小值，故f对于不等式xlnx+2-x则m2-2m≤fx故整数m的取值可能为0，1，2，故选：AB.3．（2023下·江西九江·高二统考期末）已知函数fx(1)当m=1时，证明：fx(2)若关于x的不等式fx<m-2【解题思路】（1）先确定函数的定义域，求导得f'（2）构造函数Gx=2lnx-12m结合函数单调性，即求得整数m的最小值．【解答过程】（1）当m=1时，fx∴f令f'x=0当x∈0,2时，当x∈2,+∞所以fx在x=所以f(x)所以fx而ln2<所以fx（2）令Gx则G'当m≤0时，因为x>0，所以G'x>0，所以G又因为G1所以关于x的不等式Gx当m>0时，G'令G'x=0，得x=2m当x∈2m,+因此函数Gx在0,2m故函数Gx的最大值为G令hm因为h1又因为hm在0,+∞上单调递减，所以当m≥3时，所以整数m的最小值为3.4．（2023下·重庆北碚·高二校考期末）f(x)=e(1)求fx在t,t+2(2)g(x)=6ex-x3-4x2-ax-7【解题思路】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分t+2≤1、t<1<t+2、t≥1三种情况讨论，分别求出函数的最小值；（2）问题转化为∀x∈0,+∞，a≤6ex【解答过程】（1）f'(x)=ex-1+2x-3，∵f故当x<1时，f'x<0，当x>1时，f'x>0，故①当t+2≤1即t≤-1时，f(x)在t,t+2单调递减，故f(x)min=f(t+2)②当t<1<t+2即-1<t<1时，f(x)在t,1单调递减，1,t+2单调递增，故f(x)③当t≥1时，f(x)在t,t+2单增，故f综上，当t≤-1时，f(x)当-1<t<1时，f(x)当t≥1时，f(x)（2）由（1）知f(x)在0,1上单调递减，在(1,2)上单调递增，故f(x)故问题转化为对∀x∈0,+∞，都有g(x)≥-1⇔6ex-令h(x)=6exh===2令φx=3ex-则u'(x)=3ex-2>3e0即φ'x>0，从而φx在则h'(x)>0⇔x-1>0⇔x>1，从而hx在0,1单调递减，在1,+∴h(x)min=h(1)=6题型10题型10利用导数研究双变量问题1．（2023下·上海浦东新·高二校考期末）已知a∈R，函数f(1)若a=3，求曲线y=fx在P(2)若fx有零点，求实数a(3)若fx有两个相异零点x1，x2【解题思路】（1）根据导数几何意义得切线斜率为f'（2）对a分a<0,a=0,a>0三种情况讨论得解；（3）利用分析法证不等式，要证x1x2>e2，只要证lnx【解答过程】（1）函数fx=lnx-ax的定义域为当a=3时，f'1=1-3=-2即切线方程为2x+y+1=0.（2）①若a<0时，则f'x>0，f因为f1=-a>0，所以f1⋅fea<0②若a=0，fx=ln③若a>0，令f'x=0在区间0 ,1a上，在区间1a,+∞上，f故在区间0,+∞上，fx的极大值为由于fx有零点，须使f1a故所求实数a的取值范围是0,1综上，所求实数a的取值范围是-∞（3）要证x1x2由fx=0得lnx所以原命题等价于证明lnx不妨取0<x1<x2令t=x1x2，则0<t<1，设gt而g't=1t-4综上得x12．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知函数fx=1(1)若函数fx是增函数，求a(2)设函数fx的两个极值点分别为x1，x2（x【解题思路】（1）转化为2a≤x+1x对任意（2）根据函数有两个不相等的极值点得到a>1,x1+x2=2a,x2>1【解答过程】（1）fx的定义域为0,+f'若函数fx为增函数，则f'x所以x2-2ax+1≥0对任意即2a≤x+1x对任意又x+1x≥2x⋅1所以2a≤2，解得a≤1，故a的取值范围是-∞（2）若fx在定义域内有两个极值点，则x1,x2从而得到Δ>0x1又0<x1<f===1令t=x22g'所以gt在1,+所以gt>g1=0，即所以fx1-f3．（2023上·云南德宏·高三统考期末）已知函数f(x)=ex-2，g(x)=lnx2+a．当a>0时，(1)求实数a的值；(2)∀x∈0,+∞，有f(x+2-m)≥kx+k-1≥12g(【解题思路】（1）利用导数判断出函数g(x)-f(x)的单调性，写出最大值的表达式即可求得实数a的值；（2）将不等式f(x+2-m)≥kx+k-1≥12g(xe)化简变形可得不等式组ex-m≥kx+k-1kx+k-1≥【解答过程】（1）设Fx=g(x)-f(x)，则所以F'(x)=2x-ex-2所以当x∈2,+∞时，F'(x)<0，函数当x∈0,2时，F'(x)>0，所以函数F(x)因此，F(x)max=F(2)=ln即实数a的值为1.（2）由f(x+2-m)≥kx+k-1≥1得f(x+2-m)≥kx+k-1kx+k-1≥1（I）对于ex-m≥kx+k-1，由题设知不等式ex-m令u(x)=ex-m-kx-k+1，则u(x)≥0而u'(x)=e令u'(x)<0，可得x<m+lnk当m+lnk>0时，有k>e-m，可知u(x)在即u(x)又因为u(x)≥0，即-mk-klnk+1≥0，即mk≤1-kln当m+lnk≤0时，有0<k≤e-m，而u(0)=e-m-k+1>0，所以u(x)>u(0)>0，得m≤-（II）对于kx+k-1≥lnx，由题设知不等式lnx-kx-k+1≤0设v(x)=lnx-kx-k+1(x>0)，即v(x)≤0在v'(x)=1令v'(x)>0得0<x<1k，

所以v(x)在(0,1k)即v(x)max=v(1k)=-ln综上所述，当k>e-m时，由①③得即mk-k当0<k≤e-m时，由②③得即mk-k即当0<k≤e-m时，mk-k2max4．（2023下·山东泰安·高二统考期末）已知函数fx=lnx-(1)讨论fx(2)设函数gx=xex-afx+1【解题思路】（1）对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可；（2）利用同构法，构造函数ht=t-alnt，将问题转化为对应的t1=x1e【解答过程】（1）fx的定义域为0,+∞，当m≤0时，f'x>0当m>0时，令f'x=0，解得x=当0<x<mm时，f'x>0，fx单调递增，当综上，当m≤0时，fx当m>0时，fx在0,mm（2）证明：gx令t=xexx>0，则函数g因为t'=1+x若存在x1，x20<x则存在对应的t1=x1e因为h't=1-所以当0<t<a时，h't<0，ht单调递减，当t>a时，所以当t=a时，ht所以0<t1<a<设Ft则F'所以Ft单调递减，所以Ft1因为ht1=h又因为ht在a,+∞上单调递增，所以所以t2+t题型11题型11导数中的新定义问题1．（2023上·上海黄浦·高三校考开学考试）对于函数y=fx的导函数y'=f'x，若在其定义域内存在实数x0和t，使得fx0(1)若函数y=sinx-mx∈R是“(2)若函数y=x2-ax+1是定义在-1,3(3)若函数y=ex+bx【解题思路】（1）求出给定函数的导数，再由“π2跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数m（2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程在-1,3上有两个不同的解的实数a的范围作答.（3）将问题转化为方程ex+1+bx+1【解答过程】（1）函数y=sinx-m的导函数为因为函数y=sinx-m，x∈R则方程sin(x0而cosx0∈-1,1，因此所以实数m的取值范围是[-π（2）函数y=x2-ax+1,x∈(-1,3)依题意，方程(x0+1)2-a(令h(x)=x2-(a+2)x+a+2,x∈(-1,3)，因此函数h(x)则Δ=(a+2)2-4(a+2)>0h(-1)=2a+5>0所以实数a的取值范围是(-5（3）函数y=ex+bx,x∈因为函数y=e则方程ex0+1+b(x0+1)=2(令g(x)=ex+1-2由g'(x)>0，得x>2；由g'(x)<0，得x<2且于是函数y=g(x)在(-∞,1)上单调递减，g(x)<0恒成立，函数y=g(x)的取值集合是在(1,2]上