人教版八年级数学上三角形的内角拓展练习

1、三角形的内角拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1 . （5 分）已知 ABC,（1）如图1,若A1点是/ ABC和/ ACD的角平分线的交点，则/ A1=Z A;2（2）如图2,若F点是/ ABC和/ DCE的角平分线的交点，则/ F =_ （/ A+/ D）-290（3）如图3,若A1点是/ ABC和/ ACD的角平分线的交点，E为BA延长线上一动点,连EC, / AEC与/ ACE的角平分线交于 Q,则/Q-/A1=90上述说法正确的个数是（A.0个B.1个C. 2个D. 3个（5 分）在 ABC 中，如果/ A- Z B=90 ,那么 ABC 是（）A .直角三角形B.钝角

2、三角形C.锐角三角形D.以上三种都可能（ 5分）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角 a等于（C. 105D. 75（5分）如图，在 ABC中，/ C = 78 ,沿图中虚线截去/ C,则/ 1 + 72=（）第1页（共20页）A . 282180360D.258（5分）等腰三角形的一个内角是100 ,它的另外两个角的度数是（A. 50 和 50 B, 40 和 40C. 35 和 35D, 60 和 20、填空题（本大题共5小题，共25.0分）（5分）如图，在三角形 ABC中，ADXBC,垂足为点 D,直线EF过点C,且90 - Z FCB = Z BAD,点G为线段 AB上一点，连接CG

3、, / BCG与/ BCE的角平分线 CM、CN 分别交 AD 于点 M、N,若/ BGC = 70 ,则/ MCN = .E C F（5 分）已知如图， BQ 平分/ ABP, CQ 平分/ ACP, / BAC= a, / BPC= 3,则/ BQC/a4对应交于。1, O2,则/ BO1C=x 180+j-Z A, Z BO2C=y X180 号/A.根据以（5分）在 ABC中，Z A=36 ,当/ C =, ABC为等腰三角形.9.（5分）如图1,在 ABC中，/ ABC, /ACB的角平分线交于点 O,则/BOC = 90X 180 +Z A.如图2,在4ABC中，/ ABC, /

4、ACB的两条三等分角线分别上阅读理解，你能猜想/ BO2018c=第2页（共20页）10. （5分）如图，在4ABC中，点D、E分别在边 BC、AC上，/ DCE = Z DEC,点F在AC、点 G 在DE的延长线上，/ DFG =Z DGF ,若/ EFG = 35 ,则/ CDF的度数为三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）（10分）如图，在 ABC中，AD平分/ BAC交BC于点 D, AEXBC,垂足为 E,且CF / AD.(1)如图 1,若 ABC 是锐角三角形，ZB=30，/ACB=70 ,则/ CFE =（2）若图1中的/ B=x, /ACB = y,则/ CFE =;（用

5、含x、y的代数式表示）（3）如图2,若4ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由.（10分）已知将一块直角三角板 DEF放置在 ABC上，使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点 B、C./DBC+/DCB =度；（2）过点A作直线直线 MN / DE,若/ ACD=20 ,试求/ CAM的大小.第3页（共20页）13. （10分）如图所示，在4ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O,求/ DAE、/ BOA的度数.（10分）如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线相交于点 O,若/ A=42 .（1）求/ BOC的度数;（2）

6、把（1）中/ A=420这个条件去掉，试探索/ BOC和/ A之间有怎样的数量关系.（10分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”（1）观察“规形图”，试探究/ BDC与/ A、/ B、/ C之间的关系，并说明理由;（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题:如图2,把一块三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点 B、C, /A = 40 ,则/ ABX+/ACX=如图 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40 , ZDBE = 130 ,求/ DCE的度数;如图4, /

7、ABD, /ACD的10等分线相交于点 G1、G2、G9,若/ BDC= 133 , /第4页（共20页）BG1C=70 ,求/ A的度数.第5页（共20页）三角形的内角拓展练习参考答案与试题解析、选择题(本大题共5小题，共25.0分)(5分)已知 ABC,(1)如图1,若A1点是/ ABC和/ ACD的角平分线的交点，则/ A1=L/A;2(2)如图2,若F点是/ ABC和/ DCE的角平分线的交点，则/ F=l (/ A+/ D)-290 ;(3)如图3,若A1点是/ ABC和/ ACD的角平分线的交点，E为BA延长线上一动点，连EC, / AEC与/ ACE的角平分线交于 Q,则/Q-/

8、A1=90上述说法正确的个数是()A.0个B.1个C. 2个D. 3个【分析】(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/ACD = /A+/ABC, / A1CD = /A1+/A1BC,根据角平分线的定义可得/ A1CD=yZ ACD, Z A1BC =2/ABC,然后整理即可得到/ A1=L/A;22(2)根据四边形的内角和定理表示出/BCD,再表示出/ DCE,然后根据角平分线的定义可得/ FBC=/ABC, /FCE=/DCE,三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和可得/ F + ZFBC = Z FCE,然后整理即可得解；(3)根据三角形的内角和定理表示出/

9、ACE+/AEC,再根据角平分线的定义表示出/QCE+ / QEC,然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解.【解答】解：(1)由三角形的外角性质得，/ ACD = /A+/ABC, / A1CD = / A1 + /A1BC,/ ABC的角平分线与/ ACB的外角平分线交于 A1,第6页(共20页)AiCD =/ACD, Z A1BC = Z ABC,2-Z Ai+ / A1BC= (/A+/ABC) = ZA22/ABC,(2)由四边形内角和定理得，/ BCD = 360 -Z A-Z D-Z ABC, ./ DCE= 180 - ( 360 - Z A-Z D-Z ABC) =Z A+

10、Z D+Z ABC - 180 ,由三角形的外角性质得，/ FCE = /F + /FBC, BF、CF分另1J是/ ABC和/ DCE的平分线，./ FBC = / ABC, /FCE = L/DCE,22. F+Z FBC =-i- (/ A+Z D+Z ABC - 180 ) = -i- (Z A+Z D) +|-Z ABC-90 ,./ F = 1 (/ A+/D) - 90 ,.EQ、CQ分别为/ AEC、/ ACE的角平分线，QEC = Z AEC, Z QCE = Z ACE,22又 / AEC+/ACE=/ BAC,，/Q=180。-(/ QEC + /QCE) =180。(/

11、AEC + /ACE),= 180。- L/BAC,2由(1)可知/ BAC= 2/A1, ./ Q= 180 - / A1,.Q+ZA1=180 .故(1) (2)正确；故选：C.第7页（共20页）【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想 的利用.（5 分）在 ABC 中，如果/ A- Z B=90 ,那么 ABC 是（）A .直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上三种都可能【分析】根据三角形内角和定理以及三角形的分类可知.【解答】解：A- Z B=90 ,./ A=90

12、+/ B,/ A 大于 90 .根据三角形性质可知大于 90。的角为钝角,.此三角形为钝角三角形.故选：B.【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键.（5分）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角10575【分析】根据三角形内角和定理求出/1,根据三角形外角的性质求出/2,根据邻补角的概念计算即可.【解答】 解：/ 1=90 30 - 60 , / 2=/ 1 - 45 = 15 ,第8页（共20页）/ a= 180 15 = 165故选：A.【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质,掌握三角形内角和等于180是解题的关键.,沿图中虚线截去/O【

13、分析】根据三角形内角和定理求出/0,则/ 1 + /2=()C. 360D. 2583+Z4,根据邻补角的概念计算即可.【解答】解：.一/ 0=78 ,.3+7 4=180 78 = 102 ,.Z 1 + 7 2=360 (/ 3+Z4) = 258 ,180是解题的关键.50 和 5040 和 400. 35 和 35D. 60 和 20【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于（5分）等腰三角形的一个内角是100 ,它的另外两个角的度数是（第9页（共20页）【分析】先判断出100。的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答.【解答】解：.等腰三角形的一个角100 ,.1

14、00的角是顶角，另两个底角都是 彳（180 - 100 ） = 40【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100的角不可能是底角.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）（5分）如图，在三角形 ABC中，ADXBC,垂足为点 D,直线EF过点C,且90 - Z FCB = Z BAD,点G为线段 AB上一点，连接CG, / BCG与/ BCE的角平分线 CM、CN 分别交 AD 于点 M、N,若/ BGC = 70 ,则/ MCN = 35 .E C F【分析】 依据 90 -Z B=Z BAD, 90 - Z FCB = Z BAD,可得/ FCB =

15、 /B,进而判定 EF/AB,即可得到/ ECG=/BGC=70 ,再根据/ MCN = / BCN / BCM (/BCE-/BCG) =yZ ECG,即可得到结论.【解答】 解：.ADBC, RtAABD 中，90 -Z B=Z BAD,又 90 / FCB = Z BAD, ./ FCB=Z B,EF / AB,./ ECG=Z BGC =70 ,一/ BCG与/ BCE的角平分线 CM、CN分别交 AD于点M、N,./ BCN = /BCE, Z BCM =Z BCG, 22./ MCN = / BCN - / BCM = (/ BCE - Z BCG) = Z ECG 二 X 70

16、= 35 ,222第10页（共20页）故答案为：35.【点评】 本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：两直线平行，同位角相等， 两直线平行，内错角相等， 两直线 平行，同旁内角互补.(5 分)已知如图， BQ 平分/ ABP, CQ 平分/ ACP, / BAC= % / BPC= 3,则/ BQC =(a+ 3).(用 a, 3 表不)2【分析】连接BC,根据角平分线的性质得到/ 3=NABP, /4=NACP,根据三角 形的内角和得到/ 1 + 72=180 - 3, 2(/ 3+/4) + (/ 1 + /2) = 180 a,求出/ 3+Z

17、4 = y ( 3- a),根据三角形的内角和即可得到结论.【解答】解：连接BC,. BQ 平分 / ABP, CQ 平分/ ACP, ./3=L/ABP, Z 4= ACP,. Z 1 + 72=180 3 2 (/3+/4) + (/1 + /2) =180 a,. / BQC= 180 (/ 1 + /2) (/ 3+/4) = 180 ( 180 3)卜(a),即：/ BQC =(a+ 3)-故答案为:(a+ 3) -第11页(共20页)B【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接 BC构造三角形是解题的 关键.（5 分）在 ABC 中，/ A =36 ,当/ C= 72

18、, 36 , 108, ABC 为等腰三角形.【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：当AB=AC时，. / A=36 ,C=Z B=72 .当CA=CB时，/ A=Z B=36 ,./ C= 108 .当BA= BC时,Z C= / A= 36 ,综上所述，/ C的值为72或108或36故答案为：72 , 36 , 108 .【点评】 本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题.（5分）如图1,在 ABC中，/ ABC, / ACB的角平分线交于点 O,则/BOC = 90X180 +Z A.如图2,在ABC

19、中，/ ABC, / ACB的两条三等分角线分别2一 一. 2对应父于 O1, O2,则/ BO1C= X 180 J上阅读理解，你能猜想/ BO2018c =ZA, Z BO2C=y X180。ZA.根据以L80e +-2019 2019/A第12页（共20页）【分析】根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和BC郅n等分线间的关系，从而写出结论.【解答】解：如图3,根据题中所给的信息，总结可得:ZBOiC =X180 +Z A,nZBOn 10 =X180 +/A.当 n1 = 2018 时，n = 2019,即/ BO2018C =18092019 2019/A.故答案为:+2019 20

20、19n等分角本题考查了三角形的内角和定理，综合运用了三角形的内角和定理和的概念,注意由特殊到一般的总结.AC、点10. （5 分）如图，在 AB0中，点D、E分别在边 BC、AC上，/ D0E = Z DEC,点F在G在DE的延长线上，/ DFG = / DGF .若/ EFG = 35 ,则/ CDF的度数为【分析】根据三角形内角和定理求出x+y=145,在 FDC中，根据三角形内角和定理求出即可.【解答】 解：DCE = /DEC, /DFG=/DGF,. 设/ DCE=/DEC = x , /DFG=/DGF = y ,则/ FEG = Z DEC = x ,.在 GFE 中，/ EFG

21、= 35 ,.Z FEG+Z DGF = x +y =180 35 =145 ,即 x+y= 145,第13页（共20页）在 FDC 中，/ CDF = 180 / DCE / DFC = 180 - x （ y - 35 ）= 215 （ x +y ）= 70 ,故答案为：70 .【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出x+y= 145是解此题的关键.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图，在 ABC中，AD平分/ BAC交BC于点 D, AEXBC,垂足为 E,且CF / AD.20度;(1)如图 1 ,若 ABC 是锐角三角形， ZB=30 , ZACB =

22、70 ,则/CFE =（2）若图1中的/ B= x, /ACB = y,则/CFE= 匕L J；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2,若4ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由.【分析】（1）求/ CFE的度数，求出/ DAE的度数即可，只要求出/ BAE-Z BAD的度数，由平分和垂直易得/ BAE和/ BAD的度数即可；（2）由（1）类推得出答案即可；（3）类比以上思路，把问题转换为/CFE = 90 - Z ECF即可解决问题.【解答】 解：（1） / B=30 , / ACB=70 ,，/BAC=180 - Z B - Z ACB=80 ,. AD 平

23、分/ BAC,./ BAD = 40 , AEXBC,./ AEB = 90 ./ BAE = 60 第14页（共20页）.Z DAE = Z BAE-Z BAD = 60 40 =20 , CF / AD, ./ CFE=Z DAE =20 ;故答案为：20;(180 -Z B-Z BCA),/ BAE =90 -ZB, / BAD =/ CFE = / DAE = / BAE / BAD = 90-Z B(180 -Z B-Z BCA)BCA- Z B)=-y x.22故答案为:ly-(3) (2)中的结论成立. / B=x, / ACB = y, ./ BAC= 180 x- y,. A

24、D 平分/ BAC,.Z DAC = Z BAC = 902 CF / AD, ./ ACF=Z DAC = 90 ”y ./ BCF = y+90 x - -y= 90 2 ./ ECF= 180-Z BCF = 90 +x-y,22 AEXBC, ./ CFE=90 / ECFy x.2【点评】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意第15页(共20页)义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题.（10分）已知将一块直角三角板 DEF放置在 ABC上，使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点 B、C./ DBC+/DCB=90 度;（2）过点A作直线

25、直线 MN / DE,若/ ACD=20 ,试求/ CAM的大小.【分析】（1）在4DBC中，根据三角形内角和定理得/DBC + /DCB+/D = 180 ,然后把/ D =90代入计算即可;（2）在 RtAABC中，根据三角形内角和定理得/ABC+Z ACB+Z A= 180 ,即，ABD+ZBAC=90 - Z ACD = 70 ,整体代入即可得出结论.【解答】 解：(1)在 DBC 中，.一/ DBC + ZDCB + Z D= 180 ,而/ D=90 ,./ DBC+Z DCB= 90 ;故答案为90;(2)在 ABC 中，. Z ABC+Z ACB+ZA= 180 ,即/ ABD

26、+ Z DBC+ Z DCB +Z ACD +Z BAC = 180 ,而/ DBC+Z DCB= 90 ,.Z ABD+Z ACD= 90 -/BAC,.Z ABD+Z BAC=90 -/ACD = 70 .又 MN / DE,./ ABD = Z BAN.而/ BAN+/BAC+/CAM = 180 ,第16页（共20页）ABD+/BAC+/CAM =180 ,./CAM = 180 （/ ABD+/BAC） =110 .【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出/ ABD +/BAC = 70 .O,【分析】根据垂直的定义、,求/ DAE、/ BOA的度数.

27、（10分）如图所示，在 ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可.【解答】解,ADBC,. / C=70 ,，/CAD=180 -90 -70 =20 ,/BAC=60 , AE 是/ BAC 的角平分线，./ EAC=Z BAE =30 ,.Z EAD = Z EAC-Z CAD = 30 -20 =10 ,/ABC = 180 - Z BAC - Z C=50 ,BF是/ ABC的角平分线，./ ABO =25 ,，/BOA=180 -Z BAO - Z ABO = 180 -30 -25 =125故/DAE, / BOA的度数分别是

28、10 , 125 .【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形 内角和等于180是解题的关键.（10分）如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线相交于点 O,若/ A=42 .（1）求/ BOC的度数；（2）把（1）中/ A=420这个条件去掉，试探索/ BOC和/ A之间有怎样的数量关系.第17页（共20页）/ o B 【分析】(1)先求出/ ABC+/ACB的度数，根据平分线的定义得出/1=L/ABC, Z 22= _L/ACB,求出/ 1 + /2的度数，根据三角形内角和定理求出/BOC即可；2(2)根据角平分线的定义可得/ 1=A-Z ABC

29、, / 2=1-7 ACB,然后用/ A表示出/ 1 +Z2,再根据三角形的内角和等于180列式整理即可得出结论.【解答】解：(1)A=42 ./ABC+/ACB= 180 /A=138 , BO、CO分别是 ABC的角/ ABC、/ ACB的平分线,/ ACB,ACB) =X13S4，/BOC=180 - (/ 1 + /2) =180 -69 = 111(2) / BOC =90/A, BO、CO分别是 ABC的角/ ABC、/ ACB的平分线，.Z 1 = yZ ABC, Z 2=-i-Z ACB,. / 1 + Z 2 = (/ ABC+ZACB) = (180 - Z A),22，/

30、BOC=180 - (/ 1 + /2) = 1802(18Q0 _/A)=90,【点评】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的 关键.15. (10分)探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我们不妨 把这样图形叫做“规形图”，(1)观察“规形图”，试探究/ BDC与/ A、/ B、/ C之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：XY、XZ恰好经如图2,把一块三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的两条直角边第18页(共20页)过点 B、C, Z A = 40 ,则/ ABX+/ACX=50如图 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40 , /DBE = 130