浙大数学建模-对策与决策模型

1、第八章 对策与决策模型浙江大学城市学院浙江大学城市学院 对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择优活动。对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择优活动。人们在处理一个问题时，往往会面临几种情况，同时又存在人们在处理一个问题时，往往会面临几种情况，同时又存在几种可行方案可供选择，要求根据自己的行动目的选定一种几种可行方案可供选择，要求根据自己的行动目的选定一种方案，以期获得最佳的结果。方案，以期获得最佳的结果。 有时，人们面临的问题具有竞争性质，如商业上的竞争有时，人们面临的问题具有竞争性质，如商业上的竞争、体育中的比赛和军事行动、政治派别的斗争等等。这时竞、体育中的比赛和军事行动、政治派别

2、的斗争等等。这时竞争双方或各方都要发挥自己的优势，使己方获得最好结果。争双方或各方都要发挥自己的优势，使己方获得最好结果。因而双方或各方都要根据不同情况、不同对手做出自己的决因而双方或各方都要根据不同情况、不同对手做出自己的决择，此时的决策称为对策。在有些情况下，如果我们把可能择，此时的决策称为对策。在有些情况下，如果我们把可能出现的若干种情况也看作是竞争对手可采取的几种策略，那出现的若干种情况也看作是竞争对手可采取的几种策略，那么也可以把决策问题当作对策问题来求解。么也可以把决策问题当作对策问题来求解。8.1 8.1 对策问题对策问题 对策问题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局对策问

3、题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合结果。结果。先考察几个实际例子。先考察几个实际例子。 例例8.1 （田忌赛马）（田忌赛马） 田忌赛马是大多数人都熟知的故事，传说战国时期齐王欲与田忌赛马是大多数人都熟知的故事，传说战国时期齐王欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给

4、他出田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反而赢了一千金。而赢了一千金。 例例8.2 （石头（石头剪子剪子布）布）这是一个大多数人小时候都玩过的游戏。游戏双方只能选石这是一个大多数人小时候都玩过的游戏。游戏双方只能选石头、剪子、布中的一种，石头赢剪子，剪子赢布，而布又赢头、剪子、布中的一种，石头赢剪子，剪子赢布，而布又赢石头，赢者得一分，输者失一分，双方相同时不得分，见下石头，

5、赢者得一分，输者失一分，双方相同时不得分，见下表。表。表表8.18.1石头石头剪子剪子布布石头石头011剪子剪子101布布110例例8.3 （囚犯的困惑）（囚犯的困惑）警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希望他们能自己供认，这两个人都知道：如果他们双方都不供望他们能自己供认，这两个人都知道：如果他们双方都不供认，将被以使用和持有大量伪币罪被各判刑认，将被以使用和持有大量伪币罪被各判刑1818个月；如果双个月；如果双方都供认伪造

6、了钱币，将各被判刑方都供认伪造了钱币，将各被判刑3 3年；如果一方供认另一方年；如果一方供认另一方不供认，则供认方将被从宽处理而免刑，但另一方面将被判不供认，则供认方将被从宽处理而免刑，但另一方面将被判刑刑7 7年。将嫌疑犯年。将嫌疑犯A A、B B被判刑的几种可能情况列表如下被判刑的几种可能情况列表如下：表表8.28.2嫌疑犯嫌疑犯B供认供认不供认不供认嫌疑犯嫌疑犯A供认供认不供认不供认（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每对数字表示嫌疑犯表中每对数字表示嫌疑犯A A、B B被判刑的年数。如果两名疑犯均担心对方被判刑的年数。如果两名疑犯均担心对方供认并希望受到最轻的惩罚，最保

7、险的办法自然是承认制造了伪币。供认并希望受到最轻的惩罚，最保险的办法自然是承认制造了伪币。一、对策的基本要素一、对策的基本要素（1 1）局中人局中人。参加决策的各方参加决策的各方被称为决策问题的局中人，被称为决策问题的局中人，一个决策总是可以包含两名局中人（如棋类比赛、人与大自一个决策总是可以包含两名局中人（如棋类比赛、人与大自然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业中的竞争、政治派别间的斗争）。中的竞争、政治派别间的斗争）。局中人必须要拥用可供其局中人必须要拥用可供其选择并影响最终结局的策略选择并影响最终结局的策略，在例，在例8

8、.38.3中，局中人是中，局中人是A A、B B两两名疑犯，警方不是局中人。两名疑犯最终如何判刑取决于他名疑犯，警方不是局中人。两名疑犯最终如何判刑取决于他们各自采取的态度，警方不能为他们做出选择。们各自采取的态度，警方不能为他们做出选择。从这些简单实例中可以看出对策现象从这些简单实例中可以看出对策现象中包含的几个基本要素。中包含的几个基本要素。（2 2）策略集合策略集合。局中人能采取的可行方案局中人能采取的可行方案称为策略，每一称为策略，每一局中人可采取的局中人可采取的全部策略全部策略称为此局中人的策略集合。对策问称为此局中人的策略集合。对策问题中，对应于每一局中人存在着一个策略集合，而每一

9、策略题中，对应于每一局中人存在着一个策略集合，而每一策略集合中集合中至少要有两个至少要有两个策略，否则该局中人可从此对策问题中策略，否则该局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存在选择策略的余地。应当注意的删去，因为对他来讲，不存在选择策略的余地。应当注意的是，所谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的是，所谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的完整方法完整方法，并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。例如下棋中并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。例如下棋中的某步只能看和一个完整策略的组成部分，而不能看成一个的某步只能看和一个完整策略的组成部分，而不能看成一个完整的策略。当然，有时可将

10、它看成一个多阶段对策中的子完整的策略。当然，有时可将它看成一个多阶段对策中的子对策。策略集合可以是有限集也可以是对策。策略集合可以是有限集也可以是无限集无限集。策略集为有。策略集为有限集时称为限集时称为有限对策有限对策，否则称为，否则称为无限对策无限对策。 记局中人记局中人i i的策略集合为的策略集合为SiSi。当对策问题各方都从各自的策略。当对策问题各方都从各自的策略集合中选定了一个策略后，各方采取的策略全体可用一矢量集合中选定了一个策略后，各方采取的策略全体可用一矢量S S表示，称之为一个表示，称之为一个纯局势（简称局势）纯局势（简称局势）。 例如例如，若一对策中包含，若一对策中包含A、B

11、两名局中人，其策略集合分别为两名局中人，其策略集合分别为SA = 1, m，SB = 1, n。若。若A选择策略选择策略 i而而B选策选策略略 j，则（，则（ i, j）就构成此对策的一个纯局势。显然，）就构成此对策的一个纯局势。显然，SA与与SB一共可构成一共可构成mn个纯局势，它们构成表个纯局势，它们构成表8.3。对策问题的全。对策问题的全体纯局势构成的集合体纯局势构成的集合S称为此对策问题的局势集合。称为此对策问题的局势集合。 ( m, n) ( m, j) ( m, 2) ( m, 1) m( i, n) ( i, j) ( i, 2) ( i , 1) i( 2, n) ( 2, j

12、) ( 2, 2) ( 2, 1) 2( 1, n) ( 1, j) ( 1, 2) ( 1, 1) 1A的的策策略略nJ21B的策略的策略（3 3）赢得函数（或称支付函数）。对策的结果用矢量表示，赢得函数（或称支付函数）。对策的结果用矢量表示，称之为赢得函数。赢得函数称之为赢得函数。赢得函数F F为定义在局势集合为定义在局势集合S S上的矢值函上的矢值函数，对于数，对于S S中的每一纯局势中的每一纯局势S S，F F（S S）指出了）指出了每一局中人每一局中人在此在此对策结果下应赢得（或支付）的值。综上所述，一个对策模对策结果下应赢得（或支付）的值。综上所述，一个对策模型由型由局中人、策略集

13、合和赢得函数局中人、策略集合和赢得函数三部分组成。记局中人集三部分组成。记局中人集合为合为I I = 1, = 1, ,k k ，对每一，对每一i iI I，有一策略集合，有一策略集合S Si i，当，当I I中每中每一局中人一局中人i i选定策略后得一个局势选定策略后得一个局势s s；将；将s s代入赢得函数代入赢得函数F F，即，即得一矢量得一矢量F F( (s s) = ( ) = ( F F1 1( (s s),), ,F Fk k( (s s)，其中，其中F Fi i( (s s) )为在局势为在局势s s下下局中人局中人i i的赢得（或支付）。的赢得（或支付）。本节讨论只有两名局中

14、人的对策问题，即本节讨论只有两名局中人的对策问题，即两人对策两人对策，其结果可，其结果可以推广到一般的对策模型中去。对于只有两名局中人的对策问以推广到一般的对策模型中去。对于只有两名局中人的对策问题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。例如，表题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。例如，表8.28.2就就给出了例给出了例8.38.3的局势集合和赢得函数。的局势集合和赢得函数。二、零和对策二、零和对策存在一类特殊的对策问题。在这类对策中，当纯局势确定后，存在一类特殊的对策问题。在这类对策中，当纯局势确定后，A A之所得恰为之所得恰为B B之所失，或者之所失，或者A A之所失恰为之所失恰为B B

15、之所得，即双方所得之所得，即双方所得之和总为零。在零和对策中，因之和总为零。在零和对策中，因F F1 1( (s s)= )= F F2 2( (s s) )，只需指出其，只需指出其中一人的赢得值即可，故赢得函数可用赢得矩阵表示。例如若中一人的赢得值即可，故赢得函数可用赢得矩阵表示。例如若A A有有m m种策略，种策略，B B有有n n种策略，赢得矩阵种策略，赢得矩阵 111212122212nnm nmmmnaaaaaaRaaa表示若表示若A A选取策略选取策略i i而而B B选取策略选取策略j j，则，则A A之所得为之所得为a aijij（当（当a aijij02且且n2时，采用几何方法

16、求解就变得相当麻烦，时，采用几何方法求解就变得相当麻烦，此时通常采用此时通常采用线性规划线性规划方法求解。方法求解。A方选择混合策略方选择混合策略 的目的是使得的目的是使得XminmaxTTXYX RYX RY1minmax()nTjjXYjX Ry e1minmaxnjjXYjE y其中其中ej为只有第为只有第j个分量为个分量为1而其余分量均为零的向量，而其余分量均为零的向量，Ej = XTRej。记记 ，由于，由于 ， 在在yk=1，yj=0（jk）时达到最大值）时达到最大值u， maxKjjuEE11njjy1maxnjjyjE y故故 应为线性规划问题应为线性规划问题 X1nijiia

17、 xumin u , j=1, 2, , n (即即EjEk)11miixxi0, i =1,2,mS.t的解。的解。同理，同理， 应为线性规划应为线性规划Y1nijiia ymax , i=1, 2, , m11nijyyj0, i =1,2,nS.t的解。的解。由线性规划知识，（由线性规划知识，（8.2）与（）与（8.3）互为对偶线性规划，它们具有相同的最优目）互为对偶线性规划，它们具有相同的最优目标函数值。关于线性规划对偶理论，有兴趣的读者可以参阅有关书籍，例如鲁恩标函数值。关于线性规划对偶理论，有兴趣的读者可以参阅有关书籍，例如鲁恩伯杰的伯杰的“线性与非线性规划引论线性与非线性规划引论

18、”。 为了寻找例为了寻找例8.5中中A方的最优混合策略，求解线性规划方的最优混合策略，求解线性规划min uS.t 0.82x1 + x2 u x1 + 0.58x2 u x1 + x2 = 1 x1 , x2 0可得最优混合策略可得最优混合策略x1 =0.7, x2 =0.3。类似求解线性规划。类似求解线性规划max S.t 0.82y1 +y2 y1 +0.58y2 y1 +y2 =1 y1 , y2 0可得可得B方最优混合策略：方最优混合策略：y1 =0.7, y2 =0.3。三、非零和对策三、非零和对策除了零和对策外，还存在着另一类对策问题，局中人获利之和并非常数。除了零和对策外，还存

19、在着另一类对策问题，局中人获利之和并非常数。例例8.48.4 现有一对策问题，双方获利情况见表现有一对策问题，双方获利情况见表8.58.5。表表8.58.5B方方A方方1231234（8,2）（3,4）（1,6）（4,2）（0,9）（9,0）（6,2）（4,6）（7,3）（2,7）（8,1）（5,1）假如假如A、B双方仍采取稳妥的办法，双方仍采取稳妥的办法，A发现如采取策略发现如采取策略4，则至少可获利，则至少可获利4，而，而B发现如采取策略发现如采取策略1，则至少可获利，则至少可获利2。因而，这种求稳妥的想法。因而，这种求稳妥的想法将导至出现局势（将导至出现局势（4，2）。）。容易看出，从整

20、体上看，结果并不是最好的，因为双方的总获利有可能容易看出，从整体上看，结果并不是最好的，因为双方的总获利有可能达到达到10。不难看出，依靠单方面的努力不一定能收到良好的效果。看来，。不难看出，依靠单方面的努力不一定能收到良好的效果。看来，对这一对策问题，双方最好还是握手言和，相互配合，先取得总体上的对这一对策问题，双方最好还是握手言和，相互配合，先取得总体上的最大获利，然后再按某一双方均认为较为合理的方式来分享这一已经获最大获利，然后再按某一双方均认为较为合理的方式来分享这一已经获得的最大获利。得的最大获利。例例8.4说明，总获利数并非常数的对策问题（即不能转化为零和对策的问说明，总获利数并非

21、常数的对策问题（即不能转化为零和对策的问题），是一类存在着合作基础的对策问题。当然，这里还存在着一个留待题），是一类存在着合作基础的对策问题。当然，这里还存在着一个留待解决而又十分关键的问题：如何分享总获利，如果不能达到一个双方（或解决而又十分关键的问题：如何分享总获利，如果不能达到一个双方（或各方）都能接受的各方）都能接受的“公平公平”的分配原则，则合作仍然不能实现。怎样建立的分配原则，则合作仍然不能实现。怎样建立一个一个“公平公平”的分配原则是一个较为困难的问题，将在第九章中介绍。的分配原则是一个较为困难的问题，将在第九章中介绍。 最后，我们来考察几个对策问最后，我们来考察几个对策问题的实

22、例。题的实例。例例8.68.6（战例分析）（战例分析）1944年年8月，美军第一军和英军占领法国诺曼第不久，月，美军第一军和英军占领法国诺曼第不久，立即从海防前线穿过海峡，向立即从海防前线穿过海峡，向Avranches进军。美军第一军和英军的行动进军。美军第一军和英军的行动直接威胁到德军第九军。美军第三军也开到了直接威胁到德军第九军。美军第三军也开到了Avranches的南部，双方军的南部，双方军队所处的地理位置如图队所处的地理位置如图8.2所示。所示。美军方面的指挥官是美军方面的指挥官是Bradley将军，德军指挥官是将军，德军指挥官是Von Kluge将军。将军。Von Kluge将军面临

23、的问题是或者向西将军面临的问题是或者向西进攻，加强他的西部防线，切断美军进攻，加强他的西部防线，切断美军援助；或者撤退到东部，占据塞那河援助；或者撤退到东部，占据塞那河流域的有利地形，并能得到德军第十流域的有利地形，并能得到德军第十五军的援助。五军的援助。Bradley将军的问题是如何调动他的后将军的问题是如何调动他的后备军，后备军驻扎在海峡南部。备军，后备军驻扎在海峡南部。Bradley将军有三种可供选择的策略：将军有三种可供选择的策略：他可以命令后备军原地待命，当海峡他可以命令后备军原地待命，当海峡形势危急时支援第一军或出击东部敌形势危急时支援第一军或出击东部敌人，以减轻第一军的压力。人，

24、以减轻第一军的压力。双方应如何决策，使自己能有较大的机会赢得战争的胜利呢？双方应如何决策，使自己能有较大的机会赢得战争的胜利呢？ 由于两军作战并非可以反复进行的对策问题，看来最大的可能是美军采由于两军作战并非可以反复进行的对策问题，看来最大的可能是美军采取策略取策略 3而德军采取策略而德军采取策略 2，即美方后备军待命而德军第九军东撤。，即美方后备军待命而德军第九军东撤。事实上，当时双方指挥官正是这样决策的，如果真能实行，双方胜负还事实上，当时双方指挥官正是这样决策的，如果真能实行，双方胜负还难以料定。但正当德军第九军刚开始东撤时，突然接到了希特勒的命令难以料定。但正当德军第九军刚开始东撤时，

25、突然接到了希特勒的命令要他们向西进攻，从而失去了他们有可能取得的最佳结局，走上必然灭要他们向西进攻，从而失去了他们有可能取得的最佳结局，走上必然灭亡的道路。亡的道路。Von Kluge将军指挥的德军向西进攻，开始时德军占领了海将军指挥的德军向西进攻，开始时德军占领了海峡，但随之即被美军包围遭到了全军复灭，峡，但随之即被美军包围遭到了全军复灭，Von Kluge本人在失败后自本人在失败后自杀。杀。 8.2 决策问题决策问题人们在处理问题时，常常会面临几种可能出现的自然情况，同时又人们在处理问题时，常常会面临几种可能出现的自然情况，同时又存在着几种可供选择的行动方案。此时，需要决策者存在着几种可供

26、选择的行动方案。此时，需要决策者根据已知信息根据已知信息作决策，即选择出最佳的行动方案，这样的问题称为决策问题作决策，即选择出最佳的行动方案，这样的问题称为决策问题。面。面临的几种自然情况叫做临的几种自然情况叫做自然状态或简称状态自然状态或简称状态。 状态状态是客观存在的，是不可控因素。可供选择的行动方案叫做是客观存在的，是不可控因素。可供选择的行动方案叫做策略策略，这是可控因素，选择哪一方案由决策者决定。，这是可控因素，选择哪一方案由决策者决定。 例例8.8 在开采石油时，会遇到是否在某处钻井的问题。尽管勘探队已作在开采石油时，会遇到是否在某处钻井的问题。尽管勘探队已作了大量调研分析，但由于

27、地下结构极为复杂，仍无法准确预测开采的结了大量调研分析，但由于地下结构极为复杂，仍无法准确预测开采的结果，决策者可以决定钻井，也可以决定不钻井。设根据经验和勘探资料，果，决策者可以决定钻井，也可以决定不钻井。设根据经验和勘探资料，决策者已掌握一定的信息并列出表决策者已掌握一定的信息并列出表8.7。表表8.7000不钻井（不钻井（ 2） 402030钻井（钻井（ 1） P( 3) = 0.3 P( 2) = 0.5 P( 1) = 0.2 （亿元）（亿元）高产油井（高产油井（ 3） 一般（一般（ 2） 无油（无油（ 1） 自然状态自然状态概率概率 收益收益 方案方案 问：决策者应如何作出决策？问

28、：决策者应如何作出决策？解：由题意可以看出，决策问题应包含三方面信息：状态集合解：由题意可以看出，决策问题应包含三方面信息：状态集合Q= 1, n、策略集合、策略集合A = 1, m及收益及收益R = aij，其中，其中aij表示表示如果决策者选取策略如果决策者选取策略i而出现的状态为而出现的状态为j，则决策者的收益值为，则决策者的收益值为aij（当（当aij为为负值时表示损失值）。负值时表示损失值）。决策问题按自然状态的不同情况，常被分为三种类型：确定型、风险型决策问题按自然状态的不同情况，常被分为三种类型：确定型、风险型（或随机型）和不确定型。（或随机型）和不确定型。确定型决策是确定型决策

29、是只存在一种可能自然状态的决策问题只存在一种可能自然状态的决策问题。这种决策问题的结。这种决策问题的结构较为简单，决策者只需比较各种方案，确定哪一方案最优即可。值得构较为简单，决策者只需比较各种方案，确定哪一方案最优即可。值得一提的是策略集也可以是无限集，例如，线性规划就可行看成一个策略一提的是策略集也可以是无限集，例如，线性规划就可行看成一个策略集是限集的确定型决策，问题要求决策者从可行解集合（策略集）中挑集是限集的确定型决策，问题要求决策者从可行解集合（策略集）中挑选出最优解。确定型决策的求解并非全是简单的，但由于这些问题一般选出最优解。确定型决策的求解并非全是简单的，但由于这些问题一般均

30、有其自己的专门算法，本节不准备再作介绍。在本节中，我们主要讨均有其自己的专门算法，本节不准备再作介绍。在本节中，我们主要讨论风险型与不确定型决策，并介绍它们的求解方法。论风险型与不确定型决策，并介绍它们的求解方法。一、风险型决策问题一、风险型决策问题 在风险型决策问题中存在着两种以上可能出现的自然状态。决策者不知在风险型决策问题中存在着两种以上可能出现的自然状态。决策者不知道究竟会出现哪一种状态，道究竟会出现哪一种状态，但知道各种状态出现的概率有多大但知道各种状态出现的概率有多大。例如，例。例如，例8.8就是一个风险型决策问题。就是一个风险型决策问题。对于风险型决策问题，最常用的决策方法是期望

31、值法，即根据各方案的期对于风险型决策问题，最常用的决策方法是期望值法，即根据各方案的期望收益或期望损失来评估各方案的优劣并据此作出决策。如对例望收益或期望损失来评估各方案的优劣并据此作出决策。如对例1，分别，分别求出方案求出方案 1（钻井）和（钻井）和 2（不钻井）的期望收益值：（不钻井）的期望收益值：E（ 1）=0.2（30）+0.520 + 0.340 = 16（万元）（万元）E（ 2）=0由于由于E（ 1）E（ 2），选取），选取 1作为最佳策略。作为最佳策略。对于较为复杂的决策问题，尤其是需要作多阶段决策的问题，常采用较对于较为复杂的决策问题，尤其是需要作多阶段决策的问题，常采用较直观

32、的决策树方法，但从本质上讲，直观的决策树方法，但从本质上讲，决策树方法决策树方法仍然是一种期望值法。仍然是一种期望值法。 例例8.9 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在30天内按期天内按期完工。但根据天气预报，完工。但根据天气预报，15天后天气肯定变坏。有天后天气肯定变坏。有40%的可能会出现阴的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在雨天气而不影响工期，在50%的可能会遇到小风暴而使工期推迟的可能会遇到小风暴而使工期推迟15天，天，另有另有10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟的可能会遇到大风暴而使工期推迟20天。对于可能出现的情况，天。对于

33、可能出现的情况，考虑两种方案：考虑两种方案：（1）提前紧急加班，在）提前紧急加班，在15天内完成工程，实施此方案需增加开支天内完成工程，实施此方案需增加开支18000元。元。 （2）先按正常速度施工，）先按正常速度施工，15天后根据实际出现的天气状况再作决策。天后根据实际出现的天气状况再作决策。如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。如遇到小风暴，有两个备选方案：（如遇到小风暴，有两个备选方案：（i）维持正常速度施工，支付工程延）维持正常速度施工，支付工程延期损失费期损失费20000元。（元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施有三种

34、可能结）采取应急措施。实施此应急措施有三种可能结果：有果：有50%可能减少误工期可能减少误工期1天，支付应急费用和延期损失费共天，支付应急费用和延期损失费共24000元；元；有有30%可能减少误工期可能减少误工期2天，支付应急费用和延期损失费共天，支付应急费用和延期损失费共18000元；有元；有20%可能减少误工期可能减少误工期3天，支付应急费用和延期损失费共天，支付应急费用和延期损失费共12000元。元。如遇大风暴，也有两个方案可供选择：（如遇大风暴，也有两个方案可供选择：（i）维持正常速度施工，支付）维持正常速度施工，支付工程延期损失费工程延期损失费50000元。（元。（ii）采取应急措施

35、。实施此应急措施也有三）采取应急措施。实施此应急措施也有三种可能结果：有种可能结果：有70%可能减少误工期可能减少误工期2天，支付应急费及误工费共天，支付应急费及误工费共54000元；有元；有20%可能减少误工期可能减少误工期3天，支付应急费及误工费共天，支付应急费及误工费共46000元；有元；有10%可能减少误工期可能减少误工期4天，支付应急费和误工费共天，支付应急费和误工费共38000元。元。根据上述情况，试作出最佳决策使支付的额外费用最少。根据上述情况，试作出最佳决策使支付的额外费用最少。解：由于未来的天气状态未知，但各种天气状况出现的概率已知，本例解：由于未来的天气状态未知，但各种天气

36、状况出现的概率已知，本例是一个风险型决策问题，所谓的额外费用应理解为期望值。是一个风险型决策问题，所谓的额外费用应理解为期望值。 本例要求作多次决策，工程初期应决定是按正常速度施工还是提前紧急加本例要求作多次决策，工程初期应决定是按正常速度施工还是提前紧急加班。如按正常速度施工，则班。如按正常速度施工，则15天后还需根据天气状况再作一次决策，以决天后还需根据天气状况再作一次决策，以决定是否采取应急措施，故本例为多阶段（两阶段）决策问题。为便于分析定是否采取应急措施，故本例为多阶段（两阶段）决策问题。为便于分析和决策，采用决策树方法。和决策，采用决策树方法。根据题意，作决策树如图根据题意，作决策

37、树如图8.6图图8.6中，中，表示决策点，从它分出的分枝称为方案分枝，分枝的数目就表示决策点，从它分出的分枝称为方案分枝，分枝的数目就是方案的个数。是方案的个数。表示机会节点，从它分出的分枝称为概率分枝，一条概表示机会节点，从它分出的分枝称为概率分枝，一条概率分枝对应一条自然状态并标有相应的发生概率。率分枝对应一条自然状态并标有相应的发生概率。称为未梢节点，右边称为未梢节点，右边的数字表示相应的收益值或损失值。的数字表示相应的收益值或损失值。在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值，并将结果标在节点旁。在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值，并将结果标在节点旁。遇到决策点则比较各方案分枝

38、的效益期望值以决定方案的优劣，并且用双遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且用双线划去淘汰掉的方案分枝，在决策点旁标上最佳方案的效益期望值，计算线划去淘汰掉的方案分枝，在决策点旁标上最佳方案的效益期望值，计算步骤如下：步骤如下：（1）在机会节点）在机会节点E、F处计算它们的效益期望值处计算它们的效益期望值E(E) = 0.5（24000）0.3（18000）0.2（12000）=19800E(F) = 0.7（54000）0.2（46000）0.1（38000）=50800（2）在第一级决策点）在第一级决策点C、D处进行比较，在处进行比较，在C点处划去正常速度分枝，在点处

39、划去正常速度分枝，在D处划去应急分枝。处划去应急分枝。 （3）计算第二级机会节点）计算第二级机会节点B处的效益期望值处的效益期望值E(B) = 0.400.5（19800）0.1（50000）=14900并将并将14900标在标在B点旁。点旁。（4）在第二级决策点）在第二级决策点A处进行方案比较，划去提前紧急加班，将处进行方案比较，划去提前紧急加班，将14900标在标在A点旁。点旁。 结论结论 最佳决策为前最佳决策为前15天按正常速度施工，天按正常速度施工，15天后按实际出现的天气状天后按实际出现的天气状况再作决定。如出现阴雨天气，仍维持正常速度施工；如出现小风暴，况再作决定。如出现阴雨天气，

40、仍维持正常速度施工；如出现小风暴，则采取应急措施；如出现大风暴，也按正常速度施工，整个方案总损则采取应急措施；如出现大风暴，也按正常速度施工，整个方案总损失的期望值为失的期望值为14900元。元。 根据期望值大小决策是随机型决策问题最常用的办法之一。实际应用时根据期望值大小决策是随机型决策问题最常用的办法之一。实际应用时应根据具体情况作出分析，选取期望收益最大或期望损失最小的方案。应根据具体情况作出分析，选取期望收益最大或期望损失最小的方案。二、不确定型决策问题二、不确定型决策问题只知道有几种可能自然状态发生，但各种自然状态发生的概率未知的决只知道有几种可能自然状态发生，但各种自然状态发生的概

41、率未知的决策问题称为不确定型决策问题，由于概率未知，期望值方法不能用于这策问题称为不确定型决策问题，由于概率未知，期望值方法不能用于这类决策问题。下面结合一个例子，介绍几种处理这类问题的方法。类决策问题。下面结合一个例子，介绍几种处理这类问题的方法。例例8.10 设存在五种可能的自然状态，其发生的概率未知。有四种可供选设存在五种可能的自然状态，其发生的概率未知。有四种可供选择的行动方案，相应的收益值见表择的行动方案，相应的收益值见表8.7表表8.8666534159643875432665441 5 4 3 2 1自然状态自然状态方案方案（1）乐观法（）乐观法（max max原则）原则） 采用

42、乐观法时，决策者意在追求最大可能收益。他先计算每一方案采用乐观法时，决策者意在追求最大可能收益。他先计算每一方案的最大收益值，再比较找出其中的最大者，并采取这一使最大收益最大的最大收益值，再比较找出其中的最大者，并采取这一使最大收益最大的方案，在例的方案，在例8.10中，中，max a1j = 6，max a2j = 8，max a3j = 9，max a4j = 6，而，而max 6，8，9，6=9， 采取方案采取方案 3。（2）悲观法（）悲观法（max min原则）原则） 采用悲观法时，决策者意在安全保险。他先求每一方案的最小收益采用悲观法时，决策者意在安全保险。他先求每一方案的最小收益,

43、再再比较找出其中的最大者，并采取这一使最小收益值最大化的方案。对于比较找出其中的最大者，并采取这一使最小收益值最大化的方案。对于例例8.10，min a1j = 4，min a2j = 3，min a3j = 1，min a4j = 3。 因为因为max 4, 3，1，3 = 4, 采取方案采取方案 1。（3）乐观系数法（）乐观系数法（Hurwicz决策准则）决策准则）乐观系数法采用折中的办法，引入一个参数乐观系数法采用折中的办法，引入一个参数t，0t1，称，称t为乐观系数。为乐观系数。作决策时，决策者先适当选取一个作决策时，决策者先适当选取一个t的值；再对各方案的值；再对各方案 1求出求出

44、；最后再作比较，找出使最后再作比较，找出使最大的方案。在例最大的方案。在例8.10中，若取中，若取t=0.5，采用乐观系数法决策，将选取，采用乐观系数法决策，将选取方案方案 2。易见，。易见，t=1对应乐观法，而对应乐观法，而t=0则对应于悲观法。则对应于悲观法。max(1)minijijjjtatamax(1)minijijjjtata（4）等可能法（）等可能法（Laplace 准则）准则）由于不能估计各状态出现的概率，决策者认为它们相差不会过大。此时，由于不能估计各状态出现的概率，决策者认为它们相差不会过大。此时，决策者采用将各状态的概率取成相同值的办法把问题转化为风险型，并借决策者采用将

45、各状态的概率取成相同值的办法把问题转化为风险型，并借用风险型问题的期望值法来决策。对于例用风险型问题的期望值法来决策。对于例8.10，如取各状态出现的概率均，如取各状态出现的概率均为为0.2，用期望值法决策，将选取策略，用期望值法决策，将选取策略 2。不难看出，对于不确定型决策问题，不论采用什么方法决策，最终采用不难看出，对于不确定型决策问题，不论采用什么方法决策，最终采用的策略都不能称为最佳策略。事实上，采取什么方法决策与决策者的心的策略都不能称为最佳策略。事实上，采取什么方法决策与决策者的心理状态有关。而且，即使对同一决策者，在处理不同决策问题时也可能理状态有关。而且，即使对同一决策者，在

46、处理不同决策问题时也可能采取不同的方法。例如，在决定购买几元钱一张的对奖券时，决策者也采取不同的方法。例如，在决定购买几元钱一张的对奖券时，决策者也许会采用乐观法。因为几元钱的损失对他来讲是无所谓的事，小额奖金许会采用乐观法。因为几元钱的损失对他来讲是无所谓的事，小额奖金他也许看不上眼，要中就来个大奖。但是，在决策购买何种股票时，因他也许看不上眼，要中就来个大奖。但是，在决策购买何种股票时，因为关系重大，也许他为了保险又会采取悲观法。同而，不确定型问题的为关系重大，也许他为了保险又会采取悲观法。同而，不确定型问题的决策充其量只能算是在决策者某种心理状态下的选优。决策充其量只能算是在决策者某种心

47、理状态下的选优。要作出较符合实要作出较符合实际情况的决策，还需决策者多作些调查研究，以便对未来自然状态的出际情况的决策，还需决策者多作些调查研究，以便对未来自然状态的出现作出较符合客观实际的预测，才能收到较好的效果。现作出较符合客观实际的预测，才能收到较好的效果。8.3 层次分析法建模层次分析法建模 层次分析法是对一些层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些方法，它特别适用于那些难于完全定量分析难于完全定量分析的问题。社会的发展导致的问题。社会的发展导致了社会结构、经济体系及人们之间相互关系的日益复杂，人们希望能了社会

48、结构、经济体系及人们之间相互关系的日益复杂，人们希望能在错综复杂的情况下，利用各种信息，通过理智的、科学的分析，作在错综复杂的情况下，利用各种信息，通过理智的、科学的分析，作出最佳决策。例如，生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略出最佳决策。例如，生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要作出最佳决策；消费者面对琳琅满目的商品要根据它们的性能质量要作出最佳决策；消费者面对琳琅满目的商品要根据它们的性能质量的好坏、价格的高低、外形的美观程度等选择自己最为满意的商品；的好坏、价格的高低、外形的美观程度等选择自己最为满意的商品；毕业生要根据自己的专业特长、社会的需求情况、福利待遇的好坏等毕业生

49、要根据自己的专业特长、社会的需求情况、福利待遇的好坏等挑选最为合意的工作；科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的挑选最为合意的工作；科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的大小、项目的可行性、项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研大小、项目的可行性、项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研究课题究课题。当我们面对这类决策问题时，容易发现，影响我们作决。当我们面对这类决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其中策的因素很多，其中某些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有某些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定性地比较它们的强弱些因素不存在定量指标，只能定

50、性地比较它们的强弱。在处理这类比。在处理这类比较复杂而又比较模糊的问题时，如何较复杂而又比较模糊的问题时，如何尽可能克服因主观臆断而造成的尽可能克服因主观臆断而造成的片面性，较系统、全面地比较分析并作出较为明智的决策片面性，较系统、全面地比较分析并作出较为明智的决策呢？呢？Saaty.T.L等人在等人在70年代提出了一种以年代提出了一种以定性与定量相结合，系统化、层次化定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法，称为分析问题的方法，称为层次分析法层次分析法（Analytic Hiearchy Process，简称，简称AHP）。层次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素）。层

51、次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据，层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法，依据，层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法，而且也提供了一个在处理机理比较模糊的问题时，如何通过科学分析，在而且也提供了一个在处理机理比较模糊的问题时，如何通过科学分析，在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。 一、层次分析的基本步骤一、层次分析的基本步骤 层

52、次分析过程可分为四个基本步骤：（层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（）建立层次结构模型；（2）构）构造出各层次中的所有判断矩阵；（造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（）层次单排序及一致性检验；（4）层）层次总排序及一致性检验。次总排序及一致性检验。下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。例例8.13 某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善的方案有：给职工发奖金

53、、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。这笔资金较为合理。步步1 建立层次结构模型建立层次结构模型 在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系关系分解成若干个层次分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）目标层（最高层）、准则层（中间层）准则层（中间层）和和方案措施层（最低层）方案措施层（最低层）。 与其他决策问题一样，研究分析者不一定

54、是决策者，不应自作主张与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定会地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（准为：（1）是否

55、有利于调动企业职工的积极性，（）是否有利于调动企业职工的积极性，（2）是否有利于提高）是否有利于提高企业的生产能力，（企业的生产能力，（3）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定。可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定。根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图8.7所示。所示。合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖

56、金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。由决策者决定。对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小劣时又可分出若干个不同

57、的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。等等。建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。化，为进一步分析研究创造了条件。步步2 构造判断矩阵构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，例如图层次结构反映了因素之间的关系，例如图10.7中目标层利润利用是否合理中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。的比重并不

58、一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是要困难是这些比重常常不易定量化这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策者根据经验提。虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出供这些数据，但假如你提出“调动职工积极性在判断利润利用是否合调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例理中占百分之几的比例”之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响而且还会使人感到

59、你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。 为看清这一点，可作如下设想：将一块重为为看清这一点，可作如下设想：将一块重为1千克的石块砸成千克的石块砸成n小小块，你可以精确称出它们的质量，设为块，你可以精确称出它们的质量，设为w1, wn。现在

60、，请人估计这。现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。盾的数据。 设现在要比较设现在要比较n个因子个因子X = x1,xn对某因素对某因素Z的影响大小，怎样比较才的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行等人建议可以采取对因子进行两两比较两两比较建立建立成对成对比较矩阵比较矩阵的办法。即每次取两个因子的办法。即每次取两