西工大与西安交大期末复习考研备考2.2 控制系统的数学模型_复数域模型

1、12一、线性元件的微分方程一、线性元件的微分方程二、控制系统的微分方程二、控制系统的微分方程三、非线性微分方程的线性化三、非线性微分方程的线性化四、线性常微分方程的求解四、线性常微分方程的求解五、运动的模态五、运动的模态回回 顾顾3回回 顾顾解微分方程的思路解微分方程的思路 的微分方程的微分方程（附有初始条件）（附有初始条件） x t象函数象函数 的代数方程的代数方程（包含初始条件）（包含初始条件） X s 解得象原函数解得象原函数 （微分方程的解）（微分方程的解） x t取拉氏变换取拉氏变换取拉氏反变换取拉氏反变换经典法求解经典法求解解代数方程解代数方程 解得解得 X s4 如果如果 阶微分

2、方程的特征根为阶微分方程的特征根为 ，且无重根，则，且无重根，则把函数把函数 称为该微分方程所描述运动的称为该微分方程所描述运动的模态模态，也，也叫叫振型振型。每一种模态代表。每一种模态代表一种类型一种类型的的运动形态运动形态。n12, ,n L12, ,nttteeeL回回 顾顾运动的模态运动的模态 2,ttte t eL 如果特征根中有如果特征根中有多重根多重根 ，则模态会具有形如，则模态会具有形如 的函数；的函数；如果特征根中有如果特征根中有共轭复根共轭复根 ，则其共轭复模态，则其共轭复模态 与与 可写成实数模态与可写成实数模态与 。 j tje)( tje)( tet sintet c

3、os5微分方程的模态形式有ABCD提交te2tt etje)( tet sin多选题2分2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法三、传递函数的表达形式三、传递函数的表达形式四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数五、传递函数的极点和零点对输出的影响五、传递函数的极点和零点对输出的影响无源网络无源网络 的微分方程为：的微分方程为：RLC tutudttduRCdttudLCrccc22对方程两端进行拉氏变换对方程两端进行拉氏变换例例 初始条件为零初始条件为零RLC)(tuc)(tur)(ti一、

4、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质8)()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc)()(12sUsURCsLCsrc11)()(2RCsLCssUsUrc一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质9定义定义： 线性定常系统的传递函数线性定常系统的传递函数 ，定义为在，定义为在零初始条件零初始条件下，系统下，系统输出量输出量 的拉氏变换的拉氏变换 与与输入量输入量 的拉氏变换的拉氏变换 之比，即：之比，即： )(sG trLtcLsRsCsG )(tc )()(tcLsC )(tr )()(trLsR 一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质10非零初始条件非零

5、初始条件下，系统有无传递函数下，系统有无传递函数有无AB提交单选题1分11设设 阶线性定常系统的阶线性定常系统的微分方程微分方程为为 ：n 120121nnnnnactactacta c tac t &L 120121mmmmmbrtbrtbrtb r tbr t &L)(mn 在在零初始条件零初始条件下，对上式各项取下，对上式各项取拉氏变换拉氏变换，得，得 120121nnnnnasC sas C sas C sa sC saC s L 120121mmmmmbs R sbs R sbs R sb sR sbR s L由定义可得系统的由定义可得系统的传递函数传递函数为为 10

6、111011mmmmnnnnC sM sbsbsb s bG sR sa sasa s aN sLL一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质12例例1 试求试求 无源网络无源网络 的传递函数的传递函数RLC)(/ )(sUsUrc解解： 无源网络的微分方程式为：无源网络的微分方程式为：RLC tutudttduRCdttudLCrccc 22在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换 sUsURCsLCsrc )1(2根据传递函数的定义，无源网络的传递函数为根据传递函数的定义，无源网络的传递函数为 11)()(2 RCsLCssUsUsGrcRLC)(

7、tuc)(tur)(ti一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质13关于传递函数的关于传递函数的几点说明几点说明 1传递函数是经拉氏变换推导出来的，而拉氏变换是传递函数是经拉氏变换推导出来的，而拉氏变换是一种一种线性积分线性积分运算，因此传递函数的概念运算，因此传递函数的概念只适用于线性只适用于线性定常系统定常系统；2 系统的传递函数只反映系统在系统的传递函数只反映系统在零初始条件下零初始条件下的动态性的动态性能，否则，必须另外能，否则，必须另外考虑非零初始条件考虑非零初始条件对系统输出变化对系统输出变化的影响；的影响；3 系统的传递函数是复变量系统的传递函数是复变量有理真分式有理真分

8、式，且所有系数均，且所有系数均为为实数实数。这是因为系统总具有惯性，且能源又总是有限。这是因为系统总具有惯性，且能源又总是有限的缘故；的缘故；一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质144 传递函数的概念主要传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统适用于单输入单输出系统。若系。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，输入外，其它的输入量一概视为零其它的输入量一概视为零；5 系统的传递函数是一种系统的传递函数是一种数学抽象数学抽象，无法直接由它看出，无法直接由它看出系统的系统的实际物理结构实际物理结构。关于传递函数的关于

9、传递函数的几点说明几点说明 一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质156 系统传递函数系统传递函数 的的拉氏反变换拉氏反变换 ，就是系统的，就是系统的脉冲响应脉冲响应。所谓系统的脉冲响应，是指系统在。所谓系统的脉冲响应，是指系统在单位脉冲函单位脉冲函数数 输入作用下的输出响应（有些文献也称之为脉冲输入作用下的输出响应（有些文献也称之为脉冲过渡函数）。即过渡函数）。即 或或 。)(sG)(tg)(t )()(tgLsG )()(1sGLtg 关于传递函数的关于传递函数的几点说明几点说明 一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质1( )( )c tL C s( )( )1R sL

10、t1( )( )LR s G sg11( )1 ( )( )c tLG sL G sg( )g t)(sG)(t ( )c t16关于系统的传递函数，说法正确的有传递函数和系统的微分方程一一对应传递函数不仅取决于系统的结构和参数，还与外作用信号和初始条件有关不同的物理系统，可能有相同的传递函数；一个系统只有一个传递函数ABCD提交多选题1分17 依据传递函数与微分方程的依据传递函数与微分方程的对应性对应性，直接对微分，直接对微分方程方程求拉氏变换求拉氏变换，并写成输出量比输入量的，并写成输出量比输入量的形式形式。1 1、拉氏变换法拉氏变换法2 2、由控制系统的结构图经化简得到由控制系统的结构图

11、经化简得到二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法18 把电容、电感元件转换为关于把电容、电感元件转换为关于 的复数域的复数域计算因子计算因子，使其具有使其具有类似电阻类似电阻的计算性质，从而可以很方便由电路的计算性质，从而可以很方便由电路图写出系统的传递函数，也可以很容易的转换为系统的图写出系统的传递函数，也可以很容易的转换为系统的运动方程。运动方程。3 3、复数阻抗法复数阻抗法s二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法193 3、复数阻抗法复数阻抗法二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法203 3、复数阻抗法复数阻抗法二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法21例例2 在

12、零初始条件下，用复数阻抗法求取例在零初始条件下，用复数阻抗法求取例1电路的传递函数。电路的传递函数。在图中标示出各个元在图中标示出各个元件的关于件的关于 的复数域计的复数域计算因子，并把其它量算因子，并把其它量（如输入量、输出量（如输入量、输出量等）写成相应的拉氏等）写成相应的拉氏变换形式，如图示：变换形式，如图示：s3 3、复数阻抗法复数阻抗法二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法22由基尔霍夫定理可得：由基尔霍夫定理可得： )(1)()(1)()()(sICssUsICssLsIsRIsUoi)()()()(sUsCsULsRsUooi 11)()(2 RCsLCssUsUio3 3

13、、复数阻抗法复数阻抗法二、传递函数的求解方法二、传递函数的求解方法23 10111011mmmmnnnnM sbsbsb s bG sa sasa s aN sLL这是一种最基本的形式，通常有这是一种最基本的形式，通常有 。 上式称为上式称为 阶传递函数，相应的系统称为阶传递函数，相应的系统称为 阶系统。阶系统。系数皆为实常数。系数皆为实常数。mn nn1 1、有理分式形式有理分式形式三、三、传递函数的表达形式传递函数的表达形式24 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后，可传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后，可写为如下形式：写为如下形式： *01210121()()()()(

14、)()()()miminnjjszb szszszG sKa spspspspLL式中，式中， 称为传递函数的零点称为传递函数的零点 称为传递函数的极点称为传递函数的极点 称为传递系数或根轨迹增益称为传递系数或根轨迹增益(1 ,2, , )iz imL(1 ,2, , )jp jnL00*/abK 2 2、零极点形式零极点形式三、三、传递函数的表达形式传递函数的表达形式25 传递函数的零、极点可以是传递函数的零、极点可以是零、实数零、实数或或复数复数。这是因。这是因为传递函数分子、分母多项式的系数都是实数。若有复为传递函数分子、分母多项式的系数都是实数。若有复数零、极点时，必是数零、极点时，必

15、是共轭成对共轭成对的。的。 传递函数的零、极点在复数传递函数的零、极点在复数平面上表示时，称为传递函数平面上表示时，称为传递函数的的零、极点分布图零、极点分布图。在图中一般用在图中一般用“”表示表示零零点点，用，用“”表示表示极点极点。2 2、零极点形式零极点形式三、三、传递函数的表达形式传递函数的表达形式26若零点或极点为共轭复数，则一般用二次因式来表示。若零点或极点为共轭复数，则一般用二次因式来表示。设设 为一对共轭复极点，则：为一对共轭复极点，则：21pp、)12(1)(1222121 TssTpppsps 若考虑到有若考虑到有零值极点零值极点，则传递函数的通式可以写成：，则传递函数的通

16、式可以写成：mmm 212nnn 212 式中：式中：)12()1()12()1()(221122112121 sTsTsTssssKsGlllnljnjkkkmkimi 3 3、时间常数形式时间常数形式三、三、传递函数的表达形式传递函数的表达形式27 12122 2012112 201211(1)(21)()() ()()() ()(1)(21)mmikk kmiknnnjll ljlsssb szszszG sKa spspspsTsT sTs LLjiT, 分别称为时间常数，分别称为时间常数， 称为传递系数或增益称为传递系数或增益显然：显然：,1iiz jjpT 1,)()(11*jnj

17、iminmpzKabK K3 3、时间常数形式时间常数形式三、三、传递函数的表达形式传递函数的表达形式28是传递函数的什么形式有理分式零极点时间常数ABC提交4(0.25)( )(2)(1)sG sss单选题1分29提交有理分式零极点时间常数ABC1(41)( )2 (0.51)(1)sG sss是传递函数的什么形式单选题1分各表达形式之间的变换各表达形式之间的变换例：)1)(15 . 0()14(21)1)(2()25. 0(42325. 0415 . 15 . 014212314)(222 ssssssssssssssssG尾一多项式尾一多项式首一多项式首一多项式零极点表示零极点表示时间常

18、数形式时间常数形式三、三、传递函数的表达形式传递函数的表达形式31 传递函数是一些基本因子的乘积，这些基本因子就称传递函数是一些基本因子的乘积，这些基本因子就称为为典型环节典型环节所对应的传递函数，是一些所对应的传递函数，是一些最简单、最基本最简单、最基本的的形式。形式。 复杂系统可以看做是这些典型环节的组合，这些典型复杂系统可以看做是这些典型环节的组合，这些典型环节都可以用实际的元件实现，而且环节都可以用实际的元件实现，而且实现的方法也不是唯实现的方法也不是唯一的一的。)12()1()12()1()(221122112121 sTsTsTssssKsGlllnljnjkkkmkimi 四、典

19、型环节的传递函数四、典型环节的传递函数32KsG)(1比例环节比例环节11)(TssG2惯性环节惯性环节TssG1)(3积分环节积分环节TssG)(4理想微分环节理想微分环节1)( TssG5一阶微分环节一阶微分环节121)(22TssTsG6二阶振荡环节二阶振荡环节sesG)(7时滞环节时滞环节四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数33 比例（或放大）环节的输出量比例（或放大）环节的输出量 不失真、不延滞不失真、不延滞、成比例复现输入量、成比例复现输入量 。其微分方程为。其微分方程为 )(tr)(tc对应的传递函数为：对应的传递函数为：KsG )(1 1 比例环节比例环节KsG )()

20、0( )()( ttKrtc四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数34例例：有源网络如右图所示：有源网络如右图所示因有因有传递函数传递函数为：为：01)()(RtuRturc KRRsUsUsGrc 01)()()(1 1 比例环节比例环节KsG )(四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数)(tr)(tct)(sR)(sCK35 当惯性环节的输入当惯性环节的输入 突变（阶跃变化）时，其输出突变（阶跃变化）时，其输出 不能立即按比例复现输入，而是按指数曲线规律（上升）不能立即按比例复现输入，而是按指数曲线规律（上升）变化。具有惯性滞后作用。其微分方程为变化。具有惯性滞后作用。其微分方

21、程为 2 2 惯性环节惯性环节11)( TssG)(tr)(tc对应的传递函数为：对应的传递函数为：11)( TssG )0( ttrtcdttdcT四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数36例例：右图所示的无源网络：右图所示的无源网络,其微分方程为其微分方程为其传递函数为：其传递函数为：)(tur)(tucRC( )( )( )ccrRCu tu tu t&11)( TssG四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数2 2 惯性环节惯性环节11)( TssG37)(tc)(trt当输入当输入阶跃函数阶跃函数时，可解出输出响应为：时，可解出输出响应为：TteTsTsLsTsLt

22、c 1/1/11111)(11)(sR)(sC11 Ts四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数2 2 惯性环节惯性环节11)( TssG38)(tc)(trt当输入当输入阶跃函数阶跃函数时，可解出输出响应为：时，可解出输出响应为：111111/1( )111/tTTc tLLeTssssTT )(sR)(sC11 Ts四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数2 2 惯性环节惯性环节11)( TssG39对应的传递函数为：对应的传递函数为：当惯性环节的输出当惯性环节的输出 与其输入与其输入 是积分关系时，是积分关系时，其微分方程为其微分方程为 )(tr)(tcTssG1)( 3 3 积

23、分环节积分环节TssG1)( )0( 1 tdttrTtc四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数40例例：有源网络如图所示，其微分方程为：有源网络如图所示，其微分方程为传递函数为：传递函数为：rucuRCdttduCRtucr)()( dttuRCturc 1 TssG1 四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数3 3 积分环节积分环节TssG1)( 41 与积分环节相反，微分环节的输出与积分环节相反，微分环节的输出 与输入与输入 成成微分关系，其微分方程为微分关系，其微分方程为对应的传递函数为：对应的传递函数为： TssRsCsG )(4 4 理想微分环节理想微分环节TssG )(

24、)(tr)(tc (0)dr tc tTTr ttdt&四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数42例例：如图所示为一微分运算放大器，：如图所示为一微分运算放大器，其微分方程为其微分方程为传递函数为：传递函数为：rucuRCdttduCRturc)()( TsRCssG )(四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数4 4 理想微分环节理想微分环节TssG )(43 与理想微分环节相比，一阶微分环节的输出与理想微分环节相比，一阶微分环节的输出 不仅与不仅与输入输入 的变化率有关，还与输入信号的变化率有关，还与输入信号 有关，其微分有关，其微分方程为方程为对应的传递函数为对应的传递

25、函数为1)()()( TssRsCsG5 5 一阶微分环节一阶微分环节1)( TssG)(tr)(tc)(tr ( )( ) (0)dr tc tTr tTr tr ttdt&四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数44例例：如图所示的无源网络，其微：如图所示的无源网络，其微分方程为分方程为传递函数为传递函数为)1()(001 CsRRRsGrucu1RC0R01)()()(RtudttduCRturrc 四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数5 5 一阶微分环节一阶微分环节1)( TssG45 振荡环节的输出振荡环节的输出 、输出的变化率和输出的二次、输出的变化率和输出的二

26、次变化率共同由输入变化率共同由输入 决定。其微分方程为决定。其微分方程为 )(tr)(tc对应的传递函数为对应的传递函数为 121)(22 TssTsRsCsG 6 6 二阶振荡环节二阶振荡环节121)(22 TssTsG ) 10, 0( 2222 ttrtcdttdcTdttcdT四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数46例例：如图所示的无源网络，其：如图所示的无源网络，其微分方程为微分方程为传递函数为传递函数为RLC)(tuc)(tur tutudttduRCdttudLCrccc 22121)(22 TssTsG 四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数6 6 二阶振荡环节二

27、阶振荡环节121)(22 TssTsG 47 时滞环节又称延迟、滞后环节。延迟环节的输出时滞环节又称延迟、滞后环节。延迟环节的输出 是经过一个延迟时间是经过一个延迟时间 后，完全复现输入后，完全复现输入 的。的。其微分方程为其微分方程为 对应的传递函数为对应的传递函数为 sesRsCsG )(7 7 时滞环节时滞环节sesG )()(tr)(tc )0( ttrtc 四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数48例例：如图所示温度测量装置。由于加：如图所示温度测量装置。由于加热器和温度计间有一定的距离，不能热器和温度计间有一定的距离，不能及时测量到加热后的液体，因而温度及时测量到加热后的液体

28、，因而温度计测量到的温度总是滞后于液体加热计测量到的温度总是滞后于液体加热后的温度。微分方程为后的温度。微分方程为 传递函数为传递函数为加热器加热器温度计温度计 tTtTcsesG )(四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数7 7 时滞环节时滞环节sesG )(49若对传递函数以级数形式展开，有若对传递函数以级数形式展开，有2 23 311( )1112!3!ssG seesssL在一定条件下，可在一定条件下，可忽略高次项忽略高次项，近似为，近似为惯性环节惯性环节seesGss 111)(四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数7 7 时滞环节时滞环节sesG )(50下列环节中，传递函数互为倒数的有惯性环节、一阶微分环节积分环节、理想微分环节积分环节、一阶微分环节惯性环节、理想微分环节ABCD提交多选题1分51一个实际元件可能是几个典型环节的组合；一个典型环一个实际元件可能是几个典型环节的组合；一个典型环节也可能是由几个实际元件构成的节也可能是由几个实际元件构成的即使是同一个装置，若输入、输出量选取的不同，它也即使是同一个装置，若输入、输出量选取的不同，它也可成为不同的典型环节可成为不同的典型环节一种典型环节在一定条件下，可能近似为另一种典型环一种典型环节在一定条件下，可能近似为另一种典型环节来处理节来处理注意事项注意事项四、