(完整word)解一元一次方程(提高篇)

1、一元一次方程的解法(提高篇)15【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小.括号，再去中括号，最后去大括号把含有未知数的项都移到方程的一边，其移 项他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)合并同类项把方程化成ax=b (aw阴形式在方程两边都除以未知数的系数a,得到系数化成1方程的解x b. a(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号(1)移项要变号(2)不要丢项字母及其指数不变不要把分子、分母写颠倒要点诠释:(1)解方程时，表中有些变形步骤可能用

2、不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化.(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆.要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值 的意义.要点诠释：此类问题一般先把方程化为 ax b c的形式，分类讨论：(1)当c 0时，无解；(2)当c 0时，原方程化为：ax b 0； (3)当c 0

3、时，原方程可化为：ax b c或 ax bc.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论：b(1) 当aw。时，x ;(2)当a=0,b = 0时，x为任息有理数；(3)当a= 0,bwo时，方程无解.(2)【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程解方程:2(1) -x 5 3【答案与解析】-2 一解：(1)-x 5 3(2)15.4x 320.6x.-3.21移项，合并得一x 8.6系数化为1 ,得x = 48.(2)15.4x+32 = -0.6x.移项，得 15.4x+0.6x = -32.合并，得16x=-32.系数化为1,得x=-

4、2.【总结升华】方法规律：解较简单的次方程的一般步骤:(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边, 式的右边.(2)合并：即通过合并将方程化为ax=b(aw0)把不含未知数的项(常数项)放在等(3)系数化为1:即根据等式性质2:方程两边都除以未知数系数ba,即得方程的解x a举一反三：【变式】下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正?3x+2= 7x+5解：移项得3x+7x = 2+5,合并得10x=7,系数化为1得x -10【答案】以上的解法是错误的, 7x移到方程左边应变为-7x, 正确解法：其错误的原因是在移项时没有变号，也 方程左边的2移到方程右边应变为-2.就

5、是说将方程中右边的解：移项得3x-7x=5-2合并得-4x=3,系数化为类型二、去括号解次方程。2.解方程：1x 1(x 1) 2(x 1) 223【答案与解析】解法1:先去小括号得:1x 1x 1 222再去中括号得:移项，合并得:2 x31 - x25231 - x4系数化为解法2:两边均乘以2,去中括号得：x一 x121,得:41112112(x 1)5:(x 1)35去小括号，并移项合并得：-x6一、，1解法3:原万程可化为：_（x 1） 11 ,、 1 1 ,去中括号，得（x 1） （x22 411一,解得:612（x 1）1）|（x311x 52 a（x 1）31）一 人 5 ,/

6、、1移项、合并，得 一（x 1） 122. 解得x 5【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便.例如本题的方法3:方程左、右两边都含（x-1）,因此将方程左边括号内的一项x变为（x-1）后，把（x-1）视为一个整体运算.C.解方程:2 n 1 1 1 10.【答案与解析】解法1：（层层去括号）一 1去小括号一 2211 0,一 1去中括号一 21 0,，r 1去大括万一x160,移项、合并同类项，得115 x 一,系数化为1,得x=30.168解法2:（层层去分母）一一 1 1 1两边都乘2,得x

7、1112,2 2 2移项，得3,一一 ，11' ,八两边都乘2,得一一x1 1 62 21 11移项，得一 x 17 ,两边都乘2,得一x 1 14 ,2 221移项，得一x 15,系数化为1,得x = 30.2【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做.一 举一反三:、.、-1111【变式】解方程-1 - -x 12 3 4 5【答案】、一一 111解：方程两边同乘 2,得1 1 1x 164 2,3 4 5一 人 , 广 111移项、合并同类项，得 1-1x162,3 4 511两边同乘以3,得x 166 .4 5一 人、一11移项、合并同类项，得x 10 一4

8、 51两边同乘以4,得一x 1 0 ,5，一一 1 一移项，得一x 1,系数化为1,得x=5.5类型三、解含分母的一元一次方程4x 1.5 5x 0.80.50.21.2 x50x 8 12 10x21一 人 11移项，合并得：x7解法2:方程两边同乘以1,去分母得:8x-3-25x+4 = 12-10x【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误.【答案与解析】40x 15解法1:将分母化为整数得：40x 155约分，得：8x-3-25x+4 = 12-10x移项，合并得：x .71 ;但有时直接去分母更简【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如

9、解法 便一些，如解法2.举一反三：0.4y 0.9 0.3 0.2y 彳变式解万程 1.0.50.3【答案】解：原方程可化为4y9 321 1 53去分母,得 3(4y+9)-5(3+2y) =15.去括号。得 12y+27-15-10y = 15.移项、合并同类项，得2y=3.3系数化为1,得y 3. 2类型四、解含绝对值的方程O5.解方程：3|2x|-2=0【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求 x的值.【答案与解析】八 八，2解：原方程可化为：2x 3一 小 21当x >0时，得2x 解得：x -, 33,c 2.1当x <0时，得2x 解得：x -,3

10、3所以原方程的解是 x= 1或x= 1. 33【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c的形式，再根据(ax b)的正负分类讨论，注意不要漏解.举一反三：【变式】解方程|x-2|-1 = 0.【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1 ,当x-2>0,即x>2时，原方程可化为 x-2=1,解得x=3;当x-2<0,即xv 2时，原方程变形为-(x-2)=1 ,解得x=1. K所以原方程的解为 x = 3或x =1.类型五、解含字母系数的方程C6.解关于x的方程：mx 1 nx【答案与解析】解：原方程可化为：(m n)x 1，-rr、1当m n 0,即m n时，万程有唯一解

11、为：x ;m n当m n 0,即m n时，方程无解.【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b,再根据x系数a是否为零进行分类讨论.举一反三：【变式】若关于 x的方程（k-4）x=6有正整数解，求自然数 k的值.【答案】解：.原方程有解，k 4 0原方程的解为：x 6为正整数，k 4应为6的正约数，即k 4可为：1, 2, 3, 6 k 4k 为：5, 6, 7, 10答：自然数k的值为：5, 6, 7, 10.巩固练习题一、选择题1 .关于x的方程3x+5 = 0与3x+3k = 1的解相同，贝U k的值为（）.4 - 3 D2 C4 - 3 B2-A2.下列说法正确的是（）A

12、 .由 7x=4x-3 移项得 7x-4x=-3,2x 1. x 3 , B.由 1 去分母得 2（2x-1） =1+3（x-3）32C.由 2（2x-1）-3（x-3） =1 去括号得 4x-2-3x-9=4D .由2（x-1） =x+7移项合并同类项得 x= 52x 1 x 13.将方程 1去分母得到方程 6x-3-2x-2 = 6,其错误的原因是（）23A .分母的最小公倍数找错B.去分母时，漏乘了分母为 1的项C.去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D.去分母时，分子未乘相应的数4 54.解方程x 307,较简便的是（）.5 4A.先去分母B.先去括号 :C.先两边都除以

13、-D.先两边都乘以 -555 .小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：1 152y y ,怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是y 一,于是2 23小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业.同学们，你们能补出这个常数吗？它应是（）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 46 .（山东日照）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏货T的距离为 36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）A. 54 盏B. 55 盏C. 56 盏D. 57 盏7 .表示一种运算符号，其意义是a b 2a b ,若x

14、（1 3） 2,则x等于（）。A. 1 B. - C. D. 2228.关于x的方程（3m 8n）x 7 0无解，则mn是（）A.正数B.非正数C.负数 D.非负数二、填空题9.（福建泉州）已知方程|x |2 ,那么方程的解是10.当 x=时，x-x的值等于2.11 .已知关于x的方程的33 a23解是4,贝U （a)2 2a12 .若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数13 .已知关于x的方程mx 32（ x m）的解满足x14 . a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算:ad bc,那么当18时,三、解答题15 .解下列方程:(1)5 2y10 4y10(2)(3)0.1

15、5x0.1330x200.07301 0.3x0.20.117.如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD ,其中,(1)(2)(3)GH=2cm , GK=2cm ,设 BF=xcm , 用含x的代数式表示 CM=cm, DM=cm .若DC=10cm ,求x的值.求长方形ABCD的面积.ifG KH【答案与解析】一、选择题1 .【答案】C5【解析】万程3x+5 = 0的解为x ，代入方程3x+3k=1,再解方程可求出 k.32 .【答案】 A .2x 1 x 3【解析】由 7x=4x-3 移项得 7x-4x = -3; B. 1 去分母得 2(2x-1) =

16、6+3(x-3);3 2C 把 2(2x-1)-3(x-3) =1 去括号得 4x-2-3x+9 = 1; D. 2(x-1)=.x+7, 2x-2 = x+7, 2x-x = 7+2, x =93.【答案】C2x 1 x 1【解析】把万程 1 去分母，得 3(2x-1)-2(x-1) =6, 6x-3-2x+2=6 与 6x-3-2x-223=6相比较，很显然是符号上的错误.4.【答案】B4 5【解析】 因为一与/互为倒数，所以去括号它们的积为1.5 45.【答案】B 115【解析】设被污染的方程的常数为k,则方程为2y - -y k,把y 5代入方程得2 2310 15 ,5 1 10,一

17、k ,移项得 k 一 ,合并同类项得-k=-2,系数化为1得k = 2,故选B.3266236 .【答案】B【解析设有x盏，则有(x 1)个灯距，由题意可得：36(106 1) 70(x 1),解得：x 557 .【答案】B 【解析】由题意可r得：”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：13 2 131,1而 x (1 3) x ( 1) 2x 1 2,解得：x 28 .【答案】B【解析】原方程可化为：(3m 8n)x 7,将3m 8n”看作整体，只有3m 8n 0时原方程才无解，由此可得 m,n均为零或一正一负，所以 mn的值应为非正数.二、填空9 .【答案】Xi 2, x22110 .

18、【答案】x 3211 .【答案】2434 一.【斛析】把x=4代入方程，得一a 4 3 ,解得a= 6,从而(-a)2-2a =24.2212 .【答案】2或3L解析】由题意，求出方程的解为：ax 4x 1 32 一，、 一 一一(a 4)x2, x ，因为解为正整数，所以 a 41或 2,即a 2或3.a 413 .【答案】5或1【解析】由|x 2 3 0,得：x 2 M -3,即x为5或-1。当x 5时，代入mx 3 2(x m)彳导,m 1；当x 1时，代入得m 5.14 .【答案】3【解.析】由题意，得2X5-4(1-x) = 18,解得x=3.三、解答题15 .【解析】解：(1)原方程可化为：1 -22解得：y 4(2)原方程可化为：x 1x 1x 2-2x -34322r12移项，合并得：x 1 x 23x 943解得：x 93x 1215x 13 3x 2 ,(3)原万程可化为： 173去分母，化简得：15x 1313解得：x 131516 .【解析】 解：原方程可化为：(a 4)x b 8当a 4时，方程有唯一解:当a 4, b 8时，方程无解;当a 4, b 8时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解.(2) (m 1)x