分类讨论在中考中的应用

1、“分类讨论”在数学中考中的应用分类讨论的思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵 活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中 才不会出现漏解的情况。利用分类讨论思想和方法解决的问题大概分成两类，一类是涉及代数式或函数 或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；一类是根据几何图形的 点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。分类讨论的一般步骤：确定分类对象；进行合理 分类；逐类进行讨论；归纳作出结论 .近几年来，“分类讨论”在各地中考命题中频频出现，此类题综合性强，难度较大，对考生的

2、能力 要求较高，具有选拔性，考生在做此类题时，常常感到很困难，答不完整，易丢分，因此针对这种题型 的特点和重要性，结合一些中考题，对一些常见的分类讨论的思想做如下简单的总结。例1.已知两数4和8,试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是另外两个数的比例中项，求第 三个数。分析：这是一道开放性题目，它需分几种情况讨论。不妨设第三个数为x,.,2由4 =8x可得x = 2 ；2由 4x=8 得 x=16；由 x2 =4父8可得 x = ±47r2。故第三个数为2,或16,或±4及。例2.某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数 m0Vme

3、100100<m< 200m>200收费标准(元/人)908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于 100人,乙校报名参加的学生人数少于 100人.经核算，若两校分别组团共需花费 10 800元，若两校联合组团 只需花赞18 000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗？为什么？(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？解：(1)设两校人数之和为 a.若 a>200,贝U a=18 000 +75=240.13若 100v aw 200,贝U a =18000丁85 =211，不合题意.17所以这两所学

4、校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人.3分(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则_ t，义 n =240,/口 x =160,当100<xw200时，得，解得i85x 90y =20800. y =80.-X y = 240,当x>200时，得，75x 90y =20800.x =531,解得 3 2 y =186.3此解不合题意，舍去.甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人.二、与方程有关的分类讨论例3.关于x的方程ax2 -2x +1 =0有实数根，求a的取值范围。分析：本题是“关于 x的方程a

5、x2 -2x+1 =0有实数根”，而不是有两个实数根，也没说明该方12程是一兀二次万程，所以a可以为0.当a=0时，万程的根是 x =,当awo时，b 4ac > 0 ,即：2(2 ) 4a之0 ,解得：aw 1,综上所述，当a< 1 B. a wo时，方程ax2 2x +1 = 0有实数根.评析：当遇到方程的二次项系数带有字母时，要对二次项系数进行讨论，以确定题中给出的方程是一元一次方程还是一元二次方程.方程的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.三、与函数有关的分类讨论例4.

6、若直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1,求b的值.分析直线y=-2x+b可以过一二四象限，还可以过二三四象限，当 x=0时，y=b,当y=0时，x=,所 以？b=1, b=±2.说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时，要进行分类讨论，防止漏解例5.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形 OABC勺边OA OC分别在x轴、y轴上，k点B的坐标为(2,2),反比例函数 y= (x>0, kw。)的图像经过线段 BC的中点D.x(1)求k的值;(2)若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动(不与点 D重合)，过点P作 M PFRLy轴于点R,作PQLBC所在直

7、线于点 Q记四边形CQP曲面积为S,求S关于xC- 的解析式并写出 x的取值范围。分析：(1)首先根据题意求出 C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数 y=- (x>0, kw0)的图象经过线段 BC的中点D, D点坐标代入°解析式求出k即可;综上S=一工二2-2工 0<x<lP(2)分两步进行解答，当D在直线BC的上方时，即0<x< 1,如图1,根据S四边形cqp=CQPD列出S关于x的解析式 S四边形cqp=CQPD=x? (2-2) =2- 2x (0vxv1),当D在直线BC的下方时，即 x>1,如图2,依然根据 S四边

8、形cqp=CQPD列出S关于x的解析式S四边形cqp=CC?PD=x? (2-2) =2x - 2 ( x解：(1) 正方形 OABC勺边OA OO别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2, 2),C (0, 2),. D是BC的中点, D (1, 2),反比例函数 尸星(x>0, kw0)的图象经过点 D, 1. k=2 ；(2)当D在直线BC的上方时，即0vxv1,如图1, 点P (x, y)反比例函数的图象上运动,2-y=-, S四边形 cqp=CQPD=<? (22) =2- 2x (0vxv1),，一 一一 一 _ 9,.如图 2,同理求出 S 四边形 cqp=CQPD=x?

9、(2-) =2x- 2 (x>1),评析：函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然 后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情 况.四、与三角形有关的分类讨论例6. 一个等腰三角形两边的长分别为4和5,那么这个三角形的周长是A. 13B. 14C. 15D. 13 或 14 £分析：等腰三角形两边的长分别为4和5,若以4为腰，则底边为5,因为4 + 4 A 5,满足三角形任意两边之和大于第三边，此时这个三角形周长为4+4+5=13,若以5为腰，则底边为4,因为5 + 4 >5,满足三角形任意两边之和大于第三边，所以此时这个三角形的周长为5+