2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷含答案

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，0，1，，，，2，，则A． B．， C．，， D．，，0，1，2，2．计算A． B． C． D．3．函数的最大值是A．1 B． C．2 D．4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．5．已知平面向量，，则A．“，”是“”的必要条件 B．“，”是“”的充分条件 C．“，”是“”的必要条件 D．“，”是“”的充分条件6．已知函数，则A．是奇函数，不是增函数 B．是增函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是增函数 D．既不是奇函数，也不是增函数7．若的展开式中的系数是，则A．1 B． C． D．8．圆与圆交于，两点，则直线的方程为A． B． C． D．9．已知和都是函数的极值点，则的最小值是A．4 B．2 C．1 D．10．抛物线的焦点为，上的点到的距离等于到直线的距离，则A．2 B．1 C． D．11．正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球的球面上，到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是A． B． C． D．12．已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13．用1，2，，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有个．14．记等差数列的前项和为，若，，则．15．不等式的解集为．16．函数的最小值为．17．已知函数的定义域为，若，（1），则（9）．18．已知二面角的大小为，正方形在内，等边三角形在内，则异面直线与所成角的余弦值为．三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（15分）已知△中，，．（1）求；（2）求．20．（15分）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求．21．（15分）记数列的前项和为，已知，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式．22．（15分）已知椭圆的左焦点为，点，，过的直线交于，两点．（1）求的坐标；（2）若点在直线上，证明：是的角平分线．

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，0，1，，，，2，，则A． B．， C．，， D．，，0，1，2，【解析】：，，0，1，，，，2，，则，，．故选：．2．计算A． B． C． D．【解析】：．故选：．3．函数的最大值是A．1 B． C．2 D．【解析】：．，当时，函数取得最大值2．故选：．4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【解析】：双曲线的离心率为，可得，即，可得．双曲线的渐近线方程为：．故选：．5．已知平面向量，，则A．“，”是“”的必要条件 B．“，”是“”的充分条件 C．“，”是“”的必要条件 D．“，”是“”的充分条件【解析】：对于，若，则，即，充分性不成立，错误，对于，当，时，则，不成立，错误，对于，若，则，必要性不成立，故错误，对于，当，时，则，，，充分性成立，故正确．故选：．6．已知函数，则A．是奇函数，不是增函数 B．是增函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是增函数 D．既不是奇函数，也不是增函数【解析】：函数的定义域为，，所以，所以为奇函数，，错误；当时，单调递增，根据奇函数的单调性可知，在上单调递增，根据复合函数单调性可知，为增函数，错误，正确．故选：．7．若的展开式中的系数是，则A．1 B． C． D．【解析】：的展开式中的系数是，．故选：．8．圆与圆交于，两点，则直线的方程为A． B． C． D．【解析】：圆，即①，圆，即②，②①可得，化简整理可得，，故直线的方程为．故选：．9．已知和都是函数的极值点，则的最小值是A．4 B．2 C．1 D．【解析】：因为和都是函数的极值点，所以周期为，所以，所以，即的最小值是4．故选：．10．抛物线的焦点为，上的点到的距离等于到直线的距离，则A．2 B．1 C． D．【解析】：抛物线的焦点，，准线方程为，上的点到的距离等于到直线的距离，可得，解得，故选：．11．正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球的球面上，到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是A． B． C． D．【解析】：正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球的球面上，到该正四棱柱侧面的距离为，正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为，则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径，，即，，该正四棱柱的体积为．故选：．12．已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，A． B． C． D．【解析】：根据题意，为偶函数，则，又由的图像关于直线对称，则，则有，当时，有，则，则有．故选：．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13．用1，2，，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有280个．【解析】：，2，，9这9个数字中奇数共有5个，用1，2，，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有个．故答案为：280．14．记等差数列的前项和为，若，，则．【解析】：设等差数列的首项为，公差为，由，，得，即，解得．所以等差数列的通项公式为，．故答案为：．15．不等式的解集为，．【解析】：，则，化简整理可得，，解得，故所求解集为，．故答案为：，．16．函数的最小值为．【解析】：，令，解得．可得：函数在上单调递减，在上单调递增．时，函数取得极小值即最小值，．故答案为：．17．已知函数的定义域为，若，（1），则（9）11．【解析】：函数的定义域为，，（1），（1）（3），（3），（3）（5），（5），（5）（7），（7），（7）（9），则（9）．故答案为：11．18．已知二面角的大小为，正方形在内，等边三角形在内，则异面直线与所成角的余弦值为．【解析】：过作，在平面过作轴，因为二面角的大小为，所以平面，设正方形的边长为2，由题意，可得，0，，，0，，，0，，，2，，则，0，，，2，，所以，，，所以，．所以异面直线与所成角的余弦值为，．故答案为：．三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（15分）已知△中，，．（1）求；（2）求．【解析】：（1）由，可得，由正弦定理，可得，又，，所以，由诱导公式，可得，所以或，，又，所以，，又，故；（2）由（1）知，，，则，所以．20．（15分）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求．【解析】：（1）设事件表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，则（A）；（2）因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为，则，所以．21．（15分）记数列的前项和为，已知，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式．【解析】：（1）证明：，，，，，，，又，数列是以首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得，①，当时，②，①②可得，又，也满足上式，，．22．（15