2020年电大高等数学基础形成性考核手册答案必考重点【精编打印版】.(一)

1、高等数学基础形考作业1答案函数极限与连续(一)单项选择题L下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.A. f(x)=(Jx)2, g(x)=x B. f (x)= Ax2, g(x)3XizlC. f(x)=lnx , g(x) =3ln x D. f(x)=x+1 , g(x)=x-12,设函数f(X)的定义域为(F危), 贝炳数f (x)+f (-X)的图形关于(C)对称.A.坐标原点B. x轴c. y轴D.3.下列函数中为奇函数是(B).2、A. y =ln(1 x )X -X7( a aB.y=xcosxD.y =ln(1 x)4,下列函数中为基木初等函数是(C).A. y = x 1B

2、. y =一1 ,x<0C. y=x、D. y=j5.下列极限存计算不正确的是（D）.A“X lim= 1,二 x 2 sin xC. lim=0«F： x6.当XT 0时，变量是无穷小最.sin xA.1C. xsin 7.若函数f （x）在点为满足（A）,贝ijfA. lim T (X) = T fY.)1,X 芝 0B iim ln(l x) = u x1 limD. xsin = 0旷xB.D.In(x 2)(x)在点xo连续。B.f (X)在点X。的某个邻域内有定义C. lim f(x) = f(xo) x%D. lim f (x) = lim f (x)x>X

3、O-（二）填空题1 .函数f(x)=" +ln (1+x)的定义域是(3,危).x-32,已知函数 f(x+1) = X2+X.贝 U f 仅)=X2 X .13. Iim(1 )' = e2«2x若函数 f(x) =("x)«.xv。，xk,x_o 在 x=0 处连续，则 =e5 ,函数y = *,sin x,xO的间断点是6若 lim f(x) = A.«-ro则当XT Xo时，f(x)A称为XT Xo时的无穷小量。L设函数f(x)求：f(-2),f(0),f(1).解:f(-2)=-2 , f(0) = 0, f 1 = e= e

4、.、-2x 12.求函数y=lg的定义域.2x-1 .一,、解：y=|g-一-有息义，要求解得xa或x。X2x = 01则正义域为X I x t OWcx -23,在半径为R的半圆内内接梯形，梯形的个底边与半圆的直径重合,个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h,即OE=h，下底CD = 2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=. .OA-OEfR2 m则上底=2AE = 2R-h,故 S 于 k2R - 2. FMv)=h R-R2- hA2 sin 3x hm .I sin 2x 4家sin3x c sin3xsin3x lim3X=l

5、im= limx»sin2x xx) sm2x 2x x 力 sin2x 2 122x 2x另一底边的两 i解：醺*=lim e十*«A1 sin(x 1)=hm,77x= sin(x_1)V11tan3x6.求 lim,13=11涅 tan3x lim sin3_X_1 xsin3 x -侔：c =limXJcos3x ，C0S3X7 .求1 XEsin x解:lim x0 sinlim x)o(.1 x21 )sin x 0_11 1=lim xO2Sinx(成卜X -1 v8 .求网切x -1 v解：蜒日）(1 与lim；)狞尚 j=lim xr3 xX:1(1 9

6、邛x(1 y9 .求 lim 乂.6XglxxSxA 7,方象呼户厂杰二时(x-2> ,f(X) = x,X1,讨论f(X)的连续 性。3=3解：分别对分段点X = -1,x= 1处讨论连续性lim f x = lim x - -12XX.1 开 ljX.1X n,limfxlimx 1 -11=0.1 X2 1 )sin xX.1 X.1 所以lim f(x)# lim f(x),即f(xx=1处不连续 x tlX>1-lim仅=limx 2 = 1- F2 = 1x 1 xn.lim f x = lim x = 1x1 -xn_f 1 =1所以 limfx =lim f (x)

7、= f即 f(x)在 x=1 处连续 x)1-由(2)得f (x)在除点x=1外均连续高等数学基础作业2答案:第3章导数与微分(一)单项选择题1.设 f(O)=O 且极限 lim 5 存在，则 lim%!= (C) «) <»x x aA. f(O)B. f(O)C-f(x)D. 0 cvx2,设f(x)在x。可导,则limh)0B.2hf(x.)C. 2f (x«)D,-f(x-)A. 6 B. 2e C. 6 D. e 244 .设 f(x) =x(x 1 )(x -2). (x -99),贝 uf(O) = (D).A. 99 B. -99C. 99!

8、D. -99!5 .下列结论中正确的是(C).A.若f(x)在点X。有极限，则在点X。可导.Bf(x)在点X。连续，则在点X。可导.C.若f(x)在点X。可导，则在点X。有极限.D.若f(x)在点X。有极限，则在点X。连续.（二）填空题2.x sin- xL设函数f(x)=<0,贝 i(0)=2,设 f(e, )=e-5ex,则 * = 3 1 dx xx3 .曲线f (x) = jx+1在(1,2)处的切线斜率是k=1o24 .曲线f(x)=sinx在(')处的切线方程是y=1”5 . 设 y = X(三)计算题 .求下列函数的导数y'：2 y = (x. x 3)e&

9、#171;3解：xx 3 e x x 3 ex)= (x, 3)e, -xe212sx(6) y = x* -sin xln x解 y = x i isinx In xsin x In x ): =4x.2 sin x x2 3”.贝 u y_=_2xA(1Jn_x)16 .设 y = xlnx.贝 uy = c xIn xX,In x - xdn x 2xln x xIrvxIrvxcosx 2*c x 2<x3 - © x 2*yx( sin x 2* In 2) 3(cosx 2)In x-xtt= sin xin x - xAsin x - in x - x, ss x

10、(- - 2x) -( x - x, )c x xsin xcosxln xsxx3 sxx, 83, (cosx 2x)(sirx x, )8ln33A(8) y = e-tan x In xe«tan x 2解 y = ie-tan x e«tan x In x =cos x x(9) 下列函数的导数y:解：y' = (e、) = (e * x) x 222、x y = In cosxe ,1 >sinx .解：y =(sinx)=tanxcosxcos(10) y = . x x xFf 7解：y = X8=8)8仞 y = sirvx解：y = 2si

11、n x sinx = 2sin x cosx = 2sin2x (5) y = sin x解：y =cosx2 2x = 2xcosxxcose222解：y Srsinex ex =- 2xex sine(7) y =sin -x cos nxy = sin-x cosnx sin-x cosnxn-fn=ns xc xc nx-ns xs nx)5sin X解：y* =5-ln5 cosx =ln 5cosx5-cosx(9)y = e解：V = ecosx - sinx .sinxecosx3.在下列方程中，y = y(x)是由方程确定的函数，求y*:(1) y cosx = s2y.y

12、sin x解 y cosx - ysin x = 2e yy cosx-2eA=cos yin x1cosy解 y = sin y.y In x cosy. x y ” ：、.,Jx(1 sin y In x)(3) 2xsin y = y解：2xc cy.ys 2s iy n2yxy (2xcosyX,号-2sinyyy= 2xy_-2ysiny一222xy co g x=x In y°y° 醉 y = -1yx e» = y,(。刖解：y = 2yyx'-y 一x(2y-e0(6) y»1 = esin ye-sin y解：2yy =e*co

13、sy.y sin y.ey、2y-e cosyyx2h解：e y = e_3y y(8) y =5X- 2,A.在(a, b)内连续B.在(a, b)内可导C.在(a,b)内连续且可导D.在a,b内连续，在(a,b)内可导2,函数f(x)=x?+4x 1的单.调增加区间是(D).A.(-二 2)B. (-1,1)C. (2,二)D. (2)3 .函数y=x+4x5在区间(6,6)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单.调上升再单调下降D.单调上升4.函数f (x)满足f (x) = 0的点，一定是f (x)的(C ).A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点5,设f(x)在(a

14、, b)内有连续的二阶导数，x°w(a,b),若f(x)满足(o,则f(x)在x (取到极小值.A. f (Xo) 0,f (Xo) =0B. f (Xo): 0, f (Xo) = 0C. f(x-) =0,f (x-)0 区间内是(A)D. f (x-) =0,f (x«) : 0A.单调减少且是凸的B.机调减少且是凹的C.取调增加且是凸的D.单调增加且是凹的6.设f(x)在(a, b )内有连续的二阶导数,且f(x)vO, f(x)vO,则f(x)在此(二)填空题1 .设 f (xFE(a, b)内可导，xow (at b),M 当 x <Xo 时 f '

15、;(x) v 0 ,当 xaA时 f(x)AO,则x。是f(x)的既I业点2 .若函数f (X)在点X。可导，且X。是f(x)的极值点，贝Uf(Xo)=3 .函数y=ln(1+xO的单调减少区间是(,0)24 .函数的单调增加区间是(0,_二)5 .若函数f(x)在a,b内恒有f(x)vO,则f(x)在a,b上的最大值是f(a).6 .函数 f(x) =2+5x3X3 的拐点是(0,2) (三)计算题2L求函数y = (x+1)(x 5)的单调区间和极值.2解：令 y=.x-5(x1)2(x-5)=3(x5)(x1)n驻点X=1,X=5列表:极大 值:f (1)=3X(F)1(1,5)5(5*

16、)Fy+00y上升极大值32下降极小值0上升U： d = (x- 2>y2 = . (x- 2>2xAJ.n最小值f=23.求曲线y, =2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.解：设p(x, y)是y2=2x±的点,d为p到A点的距离，贝2(x- 2) 2Ax-12(x2), 2x (x-2>2x=02,求函数y=x-2x+3在区间0,3内的极值点，并求最大值和最小值.解：令：y'=2x 2=0nx=1(驻点)，列表:X(0.1)1(1,3)Fy+0y上升极大值2下降2y =x-2x 3 = x-1f(0) = 3f =6f=2二极值点：f(1 )=2

17、y, =2x上点(1,J2 )或(1,-卷到点A(2,0)的距离最短4. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解:设园柱体半径为R,高为园则体SIV = nRAh = JT(b hAh令：V*=A h(-2h) h,=兀F3 卜n L= V3h=0区=1？-当11=、干=，时其体积最大。33,35. 体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时代面积最小？解：设园柱体半径为R,高为h,则体积V = AR： h-2V_ZS 表面枳=2 二 Rh 2- R2 = 2R 2%n最大值f(3)=6A./V3V4V令：s =2VR +4nR = On=R3n

18、R=3Jh = 3 2-2-：4V谷：当R=3(Lh=3 一时表面积最大。.2 二.二6.欲做个底为正方形，容积为62.5立方米的於方体开口容琳，怎样做法用料最省？解：设底长为x,高为h。贝U:5 云 262.562.5 = x h = h =2-x o o 250侧面积为：S=x 4xh = x x.250- 3令 S =2x_ 5°=0=x =125= x =5x答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。(四) 证明题1.当X。时，证明不等式x>ln(1+x).证：在区间1,1+X il:对函数f(x)=lnx应用拉格朗日定理，有1 In 1 x Tn1 =x 1 其中1

19、 v-v1+X,故wv1,于是由上式可得xln(1 +x)2.当X。时，证明不等式 x+1.证：设f(x)=e,(x+1)f(x) = ex-1 > 0(当x0时)n当x>0时,f (x)帆调上升且f (0).f(x)»，即 e« (x 1)高等数学基础形考作业4答案：第5章不定积分 第6章定积分及其应用()单项选择题L若f(x)的个原函数是L则f(x)=(D)x1A. In xB.-2xC. 1D. M2.卜'列等式成立的是(D).df (x) = f (x) c.rdr D. f (x)dx = f (x)dxA f (x)dx = f (x)B.d

20、. f (x)dx = f (x)3. 若 f(x) = cosx.则f(x)dx = (B)A. sinx+cB. cosx+cD. -cosx c8. x4(xA)1 3D.f(x)B. 2F (. x) c1D.F( ,x) c.xC. -sinx c4. a Jx2f(x3)dx= (B). dx f(x、)A.1C. 30)5. J f (x)dx = F (x) +c 测 若A. F - x) cC. F(2 .x) c6 .下列无穷限积分收敛的是(D).D.(二)填空题L函数f(x)的不定积分是f(x)dxo2 .若函数F (x)与G(x)是同一函数的原函数,则F (x)与G(x

21、)之间有关系式F(x)G(x)=c (常数)。3 .d 1edx =e、。4 . (tan x) dx = tan x c»5 .若 J f (x)dx = cos3x + c,贝 U f(x)= 9cos(3x)»1 516 . (sin x )dx = 3H2一、=17 .右无分积分fdx收敛，W UPAOo1 cosTxJ_11. J1. 2l dx cos d(一) sin cXXXX2. dx = 2 Je.cTx = 2e*x + c x 113. dx =d (In x) = ln(ln x) cxln x In x.1 Bc 1-1.1-1,xsin 2xd

22、x = - - xd cos2x = - - xcos2xcos2xdx = - - xcos2x -sin 2 22224,e3 + Inx e.,1, e5. fdx=J (3 +ln x)d(3+ln x) = -(3+ln x) 1x2-2X6 oxe dx1 -2Xcy/211J. 1 c2oIn2,22 乂 vrlvIn v2-vrlv -21 -2x13c0 -C44e 112(228,14ee1dx =1 VInx ,1, o2xdx =In x +x 1(四)证明题1.证明：若f(x)在a,a士可积并为奇函数，则f(£)dx = O.a_aaa证：令 x =tf f

23、(x)dx = - f f(t)dt= r f(t)dt = f(t)dt-aaan f(x)dx = f(x)dx n f f(x)dx=O 证毕 _a ._a ._a2. 证明：Af(xHa,a士可积并为偶函数.贝U i fjx)dx = 2 f (x)d证:q f (x)dx = q f(x)dx. if (x)dx令乂=-t,则 Lf(x)dx = af(t)dt=of (t)dt I f (x)是偶函数q f(x)dx =J f &)dx °f (x)dxaT ef (x)dx - f (x)dx =2 of(x 肉 x证毕y = log ax (a 0, a =

24、1)高等数学(1)学习辅导(74 .了籍夏春涛数、初等函数的概念，会把个复合函数分解成较简单的函数L理解函数的概念：掌握函数y顼X)中符号f()的含义：了解函数的两要素：会求函数的定义域及函数值：会判断两个函数是否相等 O两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同2,了解函数的主要性质.即单调性、奇偶性、有界性和周期性 O若对任意X,有f(-O = f(x),则称为偶函数，偶函数的图形关于*对任意X,有)则伽称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。掌握奇偶函数的判别方法掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点对数函数:三角函数：反三角函数:sin x, cosx, tan x, co

25、txarcsin x, arccosx, arctanx如函数arctan2 (1 r) y = eU2可以分解y = e, u = v,v = arctanw, w=1 + x。分解后的函数前三个都是基木初等函数.而第四个函数是常数函数和藉函数的和<>5 .会列简单的应用问题的函数关系式 O例题选解、填空题E。)，则 f(x)=3,熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形基本初等函数是指以下几种类型:常数函数:藉函数:=x° （a为实数）指数函数：y = a(aO,a=1)t= x=l解：龙X,则tf (x)=, 5_x2 .函数n(x2) 二 的定义域

26、是解：对函数的第一项，要求x20且In (x2) #0,即x>2且x#3：时函数的第二项，要求5-x芝。，即xv5。取公共部分，得函数定义域为(2,3) J (3,5。3 .函数f (x)的定义域为QU,则f Cnx)的定义域是 f (%)有意义，必须使Ovlnx”由此得Wnx)定义域为1,e » 解：要使xi-9y4.函数x-3的定义域为x*-9*3C2 C J-、解：要使x3有意义，必须满足x_9芝。且x30,即Ix*3成立,x 3 或 x - -3对称解不等式方程组，得出4*故得出函数的定义域为d% (3M°，则函数的图形关于解：明的定义域为(一虬+勺，且有即&

27、amp;X)是偶函数，故图形关于 v轴对称。二、帆项选择题L下列各对函数中，()是相同的。A, f (x) = Xg(x)= x.B f (x) = In x , g(x) = 2ln x .Wx)=, g(x) = x 3Cf (x) =lnx , g(x) =3ln x .D.解：A中两函数的对应关系不同B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以AB, D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。2.设函数的的定义域为(9, +勺，则函数(- x)的图形关于0对称。A.y = X：B.x轴：C.y轴：D.坐标原点解：设F (x) = f(x) f(

28、X),则对任意X有F(_x) = f(_x- f( - (-x) = f(-x)-f(x)= (f(x-f(-x) =-F(x)即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。3,设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x),f(-x)是0A.单调减函数：B.有界函数：C.偶函数：D.周期函数解：A, B, D三个选项都不定满足。设F(x)=f(x), f(X),则对任意x有F( - x) = f(-x) f (-(-x) = f ( - x), f (x) = f (x) f(-x) = F (x)Iim(1 -=e iim( 1 x)=e X*X(或T重要极限的般形式：limti

29、回=1:.其(x)若f (X)在点乂 = 的左、右极限有个不存在，则乂=乂。称为f (X)的第二类间断 点。6.理解连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。>lim (1 g(x)二 eg(x)(或g(*)TsM)典型例题解析利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如.sin x nm x-fsin3xsinx lim sx =1sin3x 3 lim Mxx2x mi)(1 2> =lim x_ 2m

30、 耽【(1 x 广 1 x(1)T x=)» x、填空题2.x sin-lim1 .极限 zsinx2cr,x sin-x1 Xlim=lim(xsin ) = lim xsin lim-解：zsinx用 x sin x zsin x1 X祐 =oi=o5.理解函数连续性的定义：会判断函数在点的连续性：会求函数的连续区间：r 解函数间断点的概念：会对函数的间断点进行分类。间断点的分类：lim xsim = 0 xTX(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)X 1 limXT sin x I sir?xsi,x limsin x lim八 I Oil I A I Ol I I Ay.XXA

31、，其中i°x=1是第个重要极限。已知点X=X。是的间断点,若f(X)在点XK的左、右极限都存在，则X=X0为f (X)的第类间断点:1 xsinf(x)= <2.函 数x 二 0XO的间断点是因为1 lim xsin -x1)=1 f(0)=1«»- x所以函数X)在x=。处是间断的，又f(x)在。)和匕少都是连续的，故函数0)的间断点是x = 0。23. 4. 5. 6.设 f(x)=x-3x2,Ri| f f(x)=c解：由也)是分段函数，x=0是的的分段点，考虑函数在x = 0处的连续性。解：f似)="-3,故f f (x) =(2x -3)

32、2-3(2x -3) 2 =4x«-18x 20-2、7.函数y印4+x)的单调增加区间是二、刑项选择题 1f (x) = xsin L函数x在点x=o处0.lim xsin- = 0“X （无穷小量乂有界变量=无穷小量）故选项B正确。2.下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量.A.eA(xT 叨:sinxB.XC. In(1 +X),(XT1).解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以sin x nmr： x而A, C, D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。三、计算应用题A.有定义且有极限:B.无定义但有极限C.有定义但无极 限：D.无定义且无极限解：0）在点x = 0

33、处没有定义, 但x -3x 2 x -11limlim4x-12="x6(1 = x 3. <x-1>=limlim ()= lim (n.二 3 xn_-x -1 J' x 3(1啊(二)3 33忡 Cd ir(3)题目所给极限式分广的最高次项为10515x(2x) =32x分母的最高次项为12 X,由'此得105(x-1)W2x 3),32hm 12(x-2) 1512(4)当XT 0时，分上、分母的极限均为。，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第个重要极限计算，却m旦匕匹一H.)»sin 3x( d - x -1)

34、1 -x-1sin 3x(-1 - x 1)lim .,”sin3x( 1 -5 1)土言肺;顼3 x»sin 3xx). -1 _x 13262 .设函 数xsin x x a sin x ox=0有极限存在？x 0问(i) m为何值时，心)在x=0处lim f (x) = lim f (x) x)o-x J o-(2), b为何值时,0)在x=0处连续?解：(1)要，(x)在x=。姓有极限存在，即要lim f (x) = ii Fh:=1X)0hx>0bX,1lim f (x) = lim (xsin b) = b 因为 XT-X-X处有极所以，当b=1时，有惧啊=蚂f(x

35、)成立，即b=1时，函数在x存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关.所以此时(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是lim f (x) = lim f (x= f (x0) X-于是有b =1 = f (0) = a,即a = b= 1时函数在x = 0处连续。第三章导数与微分导数与微分这章是我们课程的学习重点之。在学习的时候要侧重以下几点:l理解导数的概念：r解导数的几何意义：会求曲线的切线和法线：会用定义计算 简 单函数的导数：知道可导与连续的关系“X）在点x=x。处可导是指极限 lim, -X-.0存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极

36、限lim也二些XXo函数二）在点X=X, 姓的导数，构的几何意义是曲线y二"X）上点（砂.）处切线的斜率曲线=f（X）茬点版，吸）处的切线方程为(Xo) (X-Xo) f (Xo),“ =f （x）在X。点可导，则在&点连续。反之则不然，函数y = Nx）在治点 连函数 续，在点不一定可导02, 了解微分的概念：知道阶微分形式不变性3.熟记导数基木公式，熟练掌握下列求导方 法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则(3)隐函数求导方法(4)对数求导方法(5)参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如般当函数式达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对

37、数求导法，y=vX”h例如函数7x,求V。在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦些，而且容易出错 O如果我们把函数先进行变形，即(x-1>x2-2x 1rx=M再用导数的加法法则计算其导数，于是有这样计算不但简单而且不易出错 OX1»»3x又例如函数求y 显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对微得1（X2）.两端求导得匕 1y-2(x1)3(x -2)整理后便可得x 1 x-8V-co.X -2 6(x - x - 2)若函数由参数方程；xK(t):y=%t)的形式给出，则有导数公式dy_、dx : (t)能够熟练地利用导数基木公式和

38、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数.能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。4熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似阶微分形式的不变性d(u -v) =du -dvd(u v) = vdu udv,u、vdu udv d(-)=2 (v=0)V Vdy = ywdx = yu Uxdx = yudu微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。6.了解高阶导数的概念：会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的阶导数。要求

39、函数的n阶导数就要先求函数的n-1阶导数。笫三章导数与微分典型例题选解、填空题1 y =2 ,曲线3X空点(1,1)处切线的斜率是1 ,设函数Rx)在x=0邻近有定义,且f (0) = 0, f(0) = 1 ,则liMTx »lim 里=亚2AH(0) = 1解：x)oxx)0x-0故应填1。解：由导数的几何意义知，曲线f(x)在x=x。处切线的斜率是。(XQ,即为函数在该点处的导数，于是故应填2o3设 f(x)= Jx+5,则 ff*(x)=解:NX"，故f f(x) =(2x -4)2-4(2*4) 5 =4x-24x 37.2故应填X24X37二、帆项选择题L设函数

40、腿二妒，则1淳4x-2A.D不存在2x：， f(x).f(2)且 f (x) =zlimx-2 =f(2)解：因为g所以2)=么1f (J=x=(xy Mx 祝 7A. xB.xC.D. x解：先要求出nx），再求f(x)因为即选项D正确。f(x) = (x1)x(x-1)(x- 2)则 f e)=A.O;D.-2f(x) = x(x-1 )(x-2) (x 1 )(x-1 )(x- 2) (x 1 )x(x- 2) (x 1 )x(x-1)s中的三项当x = 0时为0,所以f(0) =(0 1)(0-1)(0-2) = 2故选项c正确。4 .曲线y = x二在点。处的切线斜率等于0。A.B.

41、(LO)；D (T,0)5 .二令y=.得X = 0。而舛）=一1,故选项C正确。解：y =1 e5y=sinx2,则 V).A. cosx： :B. -cosxz:C. 2xcosx： : D.2xcosx,2/22解. y = cosx (x ) =2xcosx故选项c正确。三、计算应用题E叽里£尸曲2叫2，求七解：(1)由导数四则运算法则和复合函数求导法则由此得,2dyL= co&22 .设y = "Be也).其中你)为可微函数，求y解 y 二f(e*)e“-f(e)e 呵=f (e-)e« e«f(e«)eC!f(x)J (e&

42、#171;)e-e«o- f(e-)e<-»f (x)=冷 f(e«)f(x)求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基 本初等函数复合而成的特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开 始，逐层使用复合函数求导公式，层层求导，关键是不要遗漏.最后化筒3 .设函数y = y(x)由方程vmy确定，求瓦。解：方法：等式两端对X求导得-y y y - xy y xy y e = 2-xy整理得2yxy2yx y xye x方法二：由阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得左端=d(xy e») =d(xy) d(eA) = yd

43、x xdy e«dy=d(")QdQ)只生迪右端yxyxy由此得.y ydx xdy ydx + xdy + e Ayj=整理得取冷 ArAyey + x4,设函数丫=1)由参数方程dy确定，求dx。解由参数求导法dydX EK25 设 y =(Mx2)afctanxt 求2、1y = 2xarctanx (1 x )*= 2xarctanx 1解1 -X=(zxarcianx i) =zarcianx第四章导数的应用典型例题、填空题1 ,函数ym (ix)的单调增加区间是2Xy = -2c/c解：1+x,当x>0时y<。.故函数的单调增加区间是(q,。)In

44、x lim-2.极限7 1-x解：由洛必达法则斜mf(1 刈 X/I11 X X f(x)=ti (e« e)2 的极小值点为3.函数f(x)小解：2但)令f,x) = O,解得驻点x=。,又XV。时，代x)v。：xAO 时，(x)A。,所以X = 0是函数f(x)(e /)2的极小值X1在区间左】上是（A）单调增加B）单调减少C）先单.调增加再单调减少D）先单调减少再单调增加解：选择D/ = 2x,x<0W, M（x）<0；当 x>0 时 J（x）>0：所以在区间-2,2上函数y -x 1先帆调减少再单调增加。2 .若函数y = f （x）满足条件C，则在（

45、a,b）内至少存在点土（a<£<b）,使得f （） f （） f （a）f （） b -a成立。A）在: b）内连续：B）在:b）内可导：C）在S, b）内连续，在（a, b）内可导：d）在（a, b）内连续，在（气b）内可导。解：选择D。由拉格朗日定埋条件.函数仅）在&由内连续，在（8,b）内可导，所以选择D正确。3 .满足方程f8=0的点是函数y = f （X）的（）oA）极值点B）拐点C）驻点D）间断点解：选择c。依驻点定义，函数的驻点是使函数阶导数为零的点。4 .设函数任）在（气b）内连续，"B,b）,且f, （X= ） = （3） =0,则函数

46、在x=x。B）取得极小值A）取得极大值C） 一定有拐点）D）可能有极值，也可能有拐点解：选择D函数的阶导数为零，说明X。可能是函数的极值点：函数的二阶导数为零，说明X。可 能是函数的拐点，所以选择D。三、解答题1 .计算题求函数y = xIn（1+Q的单.调区间。解：函数y = xlnJx）的定义区间为（1.勺，由于1 X= 1 X 1 X令蛆=° .解得X-,这样可以将定义区间分成（T,。）和。，*艺）两个区间来讨论。当 J（x<。时，尸<0：当 o<x<+* 是，V、°。由此得出，函g （y = xTM在（ 7,。）内单调递减，在，*勺内单调增加

47、。2 .应用题欲做个底为正方形，容积为108 B方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？解：设底边边长为X,高为h,所用材料为y108 h =108, h=x： 4xh=xz4x108 = x,432x2-xXc-432 2x -432=2x2 x令 y' = 0 得 2 (x,-216) =0n x=6,且因为XA6, y%0; xv65 y, V。,所以x = 6, y=108为最小值.此时h=3。于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。3 .证明题：当XA1时，证明不等式xe xe证设函数心）=岫，因为徊在（0,+气上连续可导，所以心）在（1,x上 满足拉格朗日中值

48、定理条件，有公式可得两边同时取以e为底的指数，有所以当XA1时，有不等式第5章学习辅导（2）典型例题解析、填空题1 .曲线在任意点处的切线斜率为2X.且曲线过点（2,以则曲线方程为万 2xdx = x»c 解：，即曲线万程为yx2*Cc将点（2,5）代入得c=1,所求曲其中1 VCVX,即又由于C>1,有c故有1In x Tn 1 = (x T) c线方程为y = X2 12,已知函数心）的个原函数是浙湘弗七则板）二2、2xf (x) = (arctan x )=:解：IXf2x2 (1 x, ) -8x, _2-6x(X)(1x)f (ax b)dx =4、2 4、21 x

49、(1 x)3.已知(x)是，(x)的个原函数，那么1 f(ax b)d(ax b) a1解：用凑微分法f (ax b)dx =- a 1 Kaxb)d(ax>-1=F (ax b) = F (ax b) c a二、单项选择题f (x)dx =xln x c .f (x) 口 ,则1 .设啷。A.B.lnx+1 ；Inx；C.x 解：因Xf (x) = (xln x) = In x = In x 1 x故选项A正确2.设F (x)是Hx)的个原函数.则等式()成d立.F (x)dx = f(x) cj1 (. f(x)dx) =F(x) A.女F (x)dx= F(x) AA/.F (x)dx = F(x) c故选项D正确.D.dx 叫解：正确的等式关系是 ?(f(x)dx)=f(x) dx3,设F(x)是f(x)的一个原函数，则M(LxRx= ()oA. C:12D. F(x) + cF(1 -x) c C.2 解：由复合函数求导法则得故选项C正确.二、计算题1 .计算下列积分dx乂 2- dX,1X解：利用第,换元法2- dx :1 -x 2d -xd(x):2- d(1 -x)=-d(. 1 X2) = . 1 X,利用第二换元法，设乂=驴 dx =costdt1 cost cost 乙 Lx=1 -sin ddt