勾股定理的证明和应用0001

1、知识结构：第 3 章 勾股定理1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方1.勾股定理2）勾股定理的验证用拼图法 ,借助面积不变的关系来证明1.在直角三角形中已知两边求第三边3）应用2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三 角形勾股定理2.勾股定理 的逆定理2）勾股数1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾 股数1)3,4,52.常见的勾股数（2） 5,12,133)8,15,17求几何体表面上两点间的最短距离1）勾股定理的简单应用3.应用解决实际应用问题2）勾股定理逆定理的应用判定某个三角形是否为直角

2、三角形3.1 勾股定理 一、求网格中图形的面积求网格中图形的面积，通常用两种方法：割”或“补”。二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。所以必须注意 “在直角三角形中 ”拓展延伸 ：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系， 这一前提。2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。三、勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。3.2勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

3、形。斜边”直角边”。注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示:勾股定理勾股定理的逆定理在 RtAABC 中，/ C=90 , a, b, c在 ABC 中，a2+b2=c2, a, b, c 分别条件分别为/ A , / B, / C的对边为/ A, / B, /C的对边结论a2+b2=c2/ C=90°勾股定理是以一个三角形是直角勾股定理的逆定理是以一个三角形的三角形”为条件，进而得到 这个三三边满足a2+

4、b2=c2”为条件，进而得到区别角形的三边满足a2+b2=c2”，即由这个三角形是直角三角形”，即由 数”形”到数”到形”联系都与一个三角形的三边关系a2+b2=c2”及 直角三角形”有关二、勾股数满足关系a2+b2=c2的3个正整数a, b, c称为勾股数。详解：（1）如：32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5; 5,12,13; 6,8,10等。勾股数必须是正整数。一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。记住常用的勾股数可以提高做题速度。3.3勾股定理的简单应用一、勾股定理的应用应先运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际

5、问题时, 构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。注意:应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边, 以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直 角三角形，以便正确运用勾股定理。二、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其 中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。【勾股定理的证明】C,请你动动脑筋，将它们例1如图，是用硬纸版作成的两个小直角三

6、角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为 a和b，斜边为C,大直角三角形直角边都为拼成一个能证明勾股定理的图形。画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。(2)用这个图形证明勾股定理。例22数学实验室: 实验材料：硬纸板、剪刀、三角板 实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空。操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、C,如图。(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图、图可发 现，图中两个小正方形的面积之和 图中小正方形的面积(填 大 于”“于”等于”，用关系式可表示为(2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图

7、形可以发现，图中共有 正方形，它们的面积按大小顺序分别记为 S大、S中、S小，其关系是 用a、b、c可表示为，用a、b、c可表示(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小，其关系是(思考题)如图，在 ABC中AB 2=AC 2=3, D是BC上一点，且AD=1 ,则BD?DC=【勾股定理的应用】例1(基础题)利用勾股定理求三角形的边长 已知 ABC中，/ C=90 , AB=c , AC=b (c为斜边、a、b为直角边)(1)如果 a=7, b=24,求 c；(2)如果 a=15, c=17，求 b.例2已知直角三角形的一边和另外两

8、边的关系，求另外两边的长 填空:(1)直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5,已知这条直角边的长是12,则斜边长(2)在 RtA ABC 中，/ C=90 ° , / B=60 ° , b=6 (c 为斜边，a、b 为直角边)贝U c=a=_例3利用勾股定理说明边的关系如图,AD是ABC的中线，试说明:AB2 + AC2=2(AD2 + CD2)I利用勾股定理求面积：如图,有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm,BC = 8cm,现将直角边,AC沿直线折叠，使它落在斜边 AB上，且点C落到E点,求 ACD的面积是多少？例5求等腰三角形底边上的高如图，在 ABC中，

9、AB=AC=5,BC=6,AD 是BC边上的中线，求 AD的长。利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形已知a、b、c为 ABC的三边，且满足a2+ b2 + C2+ 338=10a + 24b + 26cDC宜试说明:这个三角形是直角三角形。勾股定理及其逆定理的综合应用:(1)如图，”四边形ABCD中，AB=3 ,BC=4 , CD=12 , AD=13 ,/ B=90，求四边形 ABCD的面积。(2)、下列几组数中是勾股数的是132、42、52 5、12、13 一、34 (填序号)1 1 -、一 0.9、1.2、1.55D(3)如图，在 RtA ABC中，/ ACB = 90&#

10、176; AD、BE、CF分别是三边上的中若 AC = 1, BC =7?.求证：AD2 + CF2= BE2 ;是否存在这样的 Rt ABC，使得它三边上的中线 AD、BE、CF的长恰好£是一组勾股数请说明理由.(提示：满足关系 a2+ b2= c2的3个正整数a、b、c称为勾股数.)例8构造直角三角形求角的度数如图，在 ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC ,卩是ABC 内的一点，且 PB=1 ,PC=2, PA=3.把 ACP绕C点逆时针旋转90°使点A和点B重合，得到四边形 ABDC，求/ BPC的度数。例9勾股定理在实际生活中的应”用A市接到台风警报时，台

11、风中心位于A市正南方向125 km的B处,正以15km/h的速度沿BC方向移动。(1)已知A市到BC的距离AD=35 km，那么台风中心从 B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中心 40 km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到1分钟)?例10最短路径问题1、有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到蚁爬行的最短距离2、如图1,长方体的长为 20,宽为10,高为25,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2

12、0cm、3cm、2cm. A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程>1C处，求蚂CSSB处4、如图所示：有一个长、宽都是 2米，高为盒，一只小蚂蚁从 A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路3米的长方体纸径为米。圈1总结1利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面:（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短。总结2:利用勾股定理求最短路径问题一般步骤:（1）画出展开图；（2）确定点的位置；（3）连接线段；（4）用勾股定理求解。简化步骤 是：画图 定点 连线 求解注意：如果不是两个相对顶点 的最短路径，不能用之前给的公 式去求解。例11 探究题1、探索与研究：方法1：如图（a）,对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90。所得，所以/ BAE = 90°,且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于 Rt BAE和Rt BFE的面积之和,根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图（b），是任意的符合条件的两个全等的Rt BEA和Rt ACD拼成的，你能AcAI L b FABCb)口 D对的边分别记作a、b、根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗2、已知：在Rt ABC中，/ C=90 / A、/ B、/ C 所c.如图1,分别以 ABC 的