圆的相关知识点

1、圆的相关知识点板块一：圆的有关概念一、圆的定义：1. 圆的相关知识点OA绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中 固定端点0叫做圆心，0A叫做半径.2. 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径.3. 圆的表示方法：通常用符号 O表示圆，定义中以0为圆心，0A为半径的圆记作“ OO”，读作“圆0”.4. 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等.二、弦和弧1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.2. 直径：经过圆心的

2、弦叫做圆的直径 ，直径等于半径的2倍.3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以 A B为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB .5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.三、圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.2. 圆周角：顶点在圆

3、上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 ，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的

4、对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形 ，对称轴是经过圆心的任意一条直线.2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合.二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2. 推论1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径 ，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点

5、在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.设OO的半径为r，点P到圆心0的距离为d，则有：点在圆外d . r ;点在圆上：=d =r ;点在圆内 =d : r.如下表所示：宀护方 位置大糸图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d r二点P在O0的外部.点在圆上点在圆周上d =r=点P在O0的圆周上.点在圆内点在圆的内部d r=点P在O0的内部.二、确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小.只有当圆心和半径都确定时，远才能确定.2. 过已知点作圆经过点A的圆：以点A以外的任意一点 0为圆心，以0A的

6、长为半径，即可作出过点 A的圆，这样的圆有 无数个.经过两点 A B的圆：以线段AB中垂线上任意一点 0作为圆心，以0A的长为半径，即可作出过点 A B 的圆，这样的圆也有无数个.过三点的圆：若这三点 A B C共线时，过三点的圆不存在；若A B、C三点不共线时，圆心是线段 AB 与BC的中垂线的交点，而这个交点0是唯一存在的，这样的圆有唯个.过n n _4个点的圆：只可以作 0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：“不在同一直线上”这个条件不可忽视“确定” 一词的含义是“有且只有”4. 三角形的外接圆，换句话说，在同

7、一直线上的三点不能作圆; ，即“唯一存在”.6 / 5经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外心的性质: 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.板块四：直线和圆的位置关系一、直线

8、和圆的位置关系的定义、性质及判定设OO的半径为r ,圆心0到直线I的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:宀护方 位置大糸图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点.d nr二直线1与OO相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.d =r=直线1与OO相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.d cr二直线I与OO相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示:直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离 d与半径r的关系d crd =rd Ar公共点名称交占八、切点无直线名称割线切线无、切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于

9、过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3. 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长 ，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹 角.，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做、三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆圆的外

10、切三角形.2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.板块五：圆和圆的位置关系一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设OOi、O O2的半径分别为 R r （其中R . r ），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表:宀护方 位置大糸图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上 的点都在另一个圆的外部.d nR+r二两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这 个公共点之外，每个圆上的点都在 另一个圆的外部.d = R+r二两圆外切相交两个圆有两个公共点.R-r cd vR + r二两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这 个公共点之外，

11、一个圆上的点都在 另一个圆的内部.d = Rr二两圆内切内含两个圆没有公共点 ，并且一个圆上 的点都在另一个圆的内部 ，两圆冋 心是两圆内含的一种特例.0兰d cR r二两圆内含说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数 ，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分 ，又 可分为三大类：相离、相切、相交 ，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个 公共点，它包括内切与外切两种情况.、两圆的连心线1. 定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线.2. 性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上; 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.三、两圆的公切线1.定义：和两个

12、圆都相切的直线叫做两圆的公切线.外公切线：两个圆在公切线同侧时 内公切线：两个圆在公切线两侧时2.公切线条数与两圆的位置关系若两圆外离，则外公切线条数为若两圆外切，则外公切线条数为若两圆相交，则外公切线条数为若两圆内切，则外公切线条数为，这样的公切线叫做外公切线;，这样的公切线叫做内公切线.2，内公切线条数为2，内公切线条数为2，内公切线条数为1，内公切线条数为2，公切线总数为4 ;1，公切线总数为3 ;0,公切线总数为2 ;0,公切线总数为1 ; 若两圆内含，则外公切线条数为 0，内公切线条数为0，公切线总数为0 ;3. 性质： 若两圆有两条外（内）公切线 ，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线的夹角； 若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切，则两圆的连心线垂直两圆的外公切线.特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行.4. 公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.5. 公切线长定理：