第七章无穷级数

1、第七章第七章 无穷级数无穷级数一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念第一节第一节 基本概念与性质基本概念与性质1nnunuuuu321无穷级数无穷级数级数的一般项级数的一般项级数的前级数的前 n 项和项和nkknus1称为级数的称为级数的部分和部分和nuuuu321limnnss若若 存在，则称无穷级数存在，则称无穷级数收敛收敛，并称并称s为级数的和，记作为级数的和，记作1nnus若若 不存在，则称无穷级数不存在，则称无穷级数发散发散.limnns1111(1)ln (2)(1)nnnnn n解解: (1) 12lnnsnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(

2、所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln例例7-1. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性(2) ) 1(1431321211nnsn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和)0(20aqaqaqaaqannn解解: 1) 若若,1q12nnqaqaqaasqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qanns1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnns则部分和则部分和因此级数发散 .其和为例例7-2. 讨论

3、几何级数（讨论几何级数（ 称为公比）的敛散性称为公比）的敛散性.q2). 若,1q,1时当qansn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nsn 为奇数n 为偶数从而nnslim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.收敛收敛级数级数1nnsulim0nnulim0nnu二、级数收敛的必要条件二、级数收敛的必要条件lim0nnu1nnu收敛收敛？1nnu发散发散例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般

4、项为其一般项为1) 1(1nnunn不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散.nun,时当三、无穷级数的基本性质三、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 s ,1nnus则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,即即其和为其和为 c s .性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnus1nnv)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.s说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1nnnvu 必必发散发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不

5、一定发散不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .第二节第二节 正项级数正项级数一、正项级数定义一、正项级数定义若若,0nu1nnu则称则称为为正项级数正项级数 .二、正项级数收敛的充要条件二、正项级数收敛的充要条件定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和序列部分和序列ns),2, 1(n有界有界 .设设 为正项级数，且为正项级数，且 ，则，则nu1（1）当）当 时，级数时，级数收敛收敛；（2）当）当 或或 时，级数时，级数发散发散；（3）当）当 时，判别法失效时，判别

6、法失效.定理定理2. 比值判别法比值判别法11limnnnuu1 三、正项级数收敛的判别法三、正项级数收敛的判别法例例7-3. 讨论下列级数的敛散性讨论下列级数的敛散性.11!(1)(2)24nnnnnnn11(3)(0)nnnxx设设 为为正项级数正项级数，且，且 ，则，则,nnuv定理定理3. 比较判别法比较判别法nnvku (1) 若若强强级数级数 收敛，则收敛，则弱弱级数级数 也收敛；也收敛；nv(2) 若若弱弱级数级数 发散，则发散，则强强级数级数 也发散也发散.nununv01111123ppppnnn (常数常数 p 0)调和级数调和级数nnn13121111p 级数级数11pp

7、收敛收敛发散发散发散发散是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu则有则有11(1)(1)nn n证: （1）因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数而级数111nn21kk发散发散.根据比较判别法可知根据比较判别法可知,所给级数发散所给级数发散.例例7-4. 讨论下列级数的敛散性讨论下列级数的敛散性.221sin ()(2)1nnn设设 为为正项级数正项级数，且，且 ，则，则,nnuv定理定理4. 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式limnnnulv(2) 当当 l = 0 且且 （分母）

8、收敛时，（分母）收敛时， 也收敛；也收敛；nv(3) 当当 l =且且 （分母）发散时，（分母）发散时， 也发散也发散. (1) 当当 0 l 时时,两个级数同时收敛或发散；两个级数同时收敛或发散；nunvnu特别取特别取,1pnnv 可得如下结论可得如下结论 :对正项级数对正项级数,nu,1p l0limnnulpn,1p l0发散nu收敛nu例例7-5. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性11(1)sinnn211(2)ln 1nnnnn1lim解解: nlim1根据比较判别法的极限形式知根据比较判别法的极限形式知.1sin1发散nnnn1sin解解:nlim221limnnn1根据

9、比较判别法的极限形式知根据比较判别法的极限形式知.11ln12收敛nn2n211lnn42124(3)365nnnn311(4)21sinnnn2424224242(limlim)3365365nnnnnnnnnn55223311(lim21sinlim212)nnnnnnnn 设设 为正项级数，且为正项级数，且 ，则，则nulimnnnu11（1）当）当 时，级数收敛；时，级数收敛；（2）当）当 时，级数发散；时，级数发散；（3）当）当 时，判别法失效时，判别法失效.定理定理5. 根值判别法根值判别法1第三节第三节 任意项级数任意项级数一一 、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法则各项符号

10、正负相间的级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数 收敛收敛.1(1)(1, 2,);nnuun(2)lim0,nnunnnu11) 1(,2, 1,0nun设递减递减收敛收敛111(1)( 1)nnn111(2)( 1)!nnn11(3)( 1)10nnnn收敛收敛例例7-6.用用leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性.111nn1lim0nn11!(1)!nn1lim0!nn收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的

11、级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?11111111( 1)( 1)nnnnnnnn11111111( 1)( 1)!nnnnnnnn11111( 1)( 1)101010nnnnnnnnnnn收敛收敛收敛收敛发散发散11111110limlimlim1101010nnnnnnnnunnun111(1)!limlimlim0111!nnnnnununn绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 对任意项级数对任意项级数 ，若，若 收敛，则称原级收敛，则称原级数数 绝对收敛绝对收敛.1nnu若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对

12、值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则则称原级数称原级数 条件收敛条件收敛.1nnu1nnu1nnu绝对收敛的级数必收敛绝对收敛的级数必收敛.例例7-7. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.

13、 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值判别法 limn1nunu根值判别法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较判别法用它法判别部分和极限13. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称第四节第四节 幂级数幂级数一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性1.幂级数的定义幂级数的定义形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(

14、nan当当 时，级数变为时，级数变为00 x0nnnxannxaxaxaa2210称为幂级数的称为幂级数的系数系数 .nnxxa)(0若幂级数若幂级数 在点在点 收敛，则对满足不收敛，则对满足不等式等式 的一切的一切 ，幂级数都绝对收敛，幂级数都绝对收敛，0nnnxa0 xx0 xx 反之反之, 若当若当 时该幂级数发散，则对满足时该幂级数发散，则对满足不等式不等式 的一切的一切 ，该幂级数也发散，该幂级数也发散.2.2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性x0 xx0 xxx0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间的收敛域是以原点为中心的区间.幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;用用r 表示幂

15、级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,则有则有r = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;r = 时时,0 r幂级数在幂级数在 (r , r ) 收敛收敛 ;(r , r ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.r 称为称为收敛半径收敛半径 ， （r , r ）在在 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .rx在在 外发散外发散;(r , r ) 称为称为收敛区间收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散rr0nnnxa1limnnnara（1 1）当）当 时时, ,收敛域为收敛域为 二、幂级数的收敛半径及其收敛域的求法二、幂级数的收敛半径及其

16、收敛域的求法定理定理2. 2. 若若 的系数满足的系数满足 ，则则收敛半径收敛半径0r (, )r rxr 端点端点 处的敛散性要另外讨论处的敛散性要另外讨论. .（2 2）当）当 时时, ,收敛域为收敛域为 r (,) （3 3）当）当 时时, ,收敛域为收敛域为 0r 0 x (系数模比值法）系数模比值法）对端点 x =1, 1limnnnaar11( 1)nnnxn解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为 limn例例7-8.求下列幂级数的收敛半径及其收敛域求下列幂级数的收敛半径及其收敛域.（1

17、）21( 1)25nnnxn（2）001!.!nnnnxn xn解解: (3) limlim1nnnnaar!1n) 1(limnn所以收敛域为所以收敛域为. ),(4) limlim1nnnnaar!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .! ) 1(1n（3）（4）1(1)2nnnxn解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaarlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,) 1(1nnn此级数

18、条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x（5）（6）21(21)(31)nnnx求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法（1）对标准型幂级数）对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径（比值法）（比值法） , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .（2）对非标准型幂级数）对非标准型幂级数(通项为复合式通项为复合式)0(0nnnnaxa可通过可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求 .小结：小结：)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn若函数若函数 在在 的某领域内具有的某领域内具有 阶导

19、阶导数，则在该领域内有数，则在该领域内有( )f x此式称为此式称为 的的 阶泰勒级数阶泰勒级数. .三、函数的幂级数展开三、函数的幂级数展开1.泰勒级数泰勒级数0 x1n( )f xn当当 时时, , 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 . .00 x 2000( )00()( )()()2!()()!nnfxf xf xf x xxfxxxn2. 函数的幂级数的直接展开法函数的幂级数的直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, , 函数函数 展开成幂级数的步骤展开成幂级数的步骤如下：如下：第一步求出函数及其各阶导数在第一步求出函数及其各阶导数在 处的值；处的值；第二

20、步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径 . .( )f x0 x r解解: ,)()(xnexf( )(0)1, (0,1,)nfn其收敛半径为其收敛半径为 1!lim1(1)!nnrn 2301111( )12!3!xnnnf xexxxxxnn 故得级数故得级数 xexf)(例例7-9.（1） 将函数将函数 展开成展开成 的幂级数的幂级数.x),(x收敛域为收敛域为 （2） 将函数将函数 展开成展开成 的幂级数的幂级数.x1( )1f xx2111nxxxx ,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x11x0( 1)nnnx0nnx) 1, 1(x解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从从 0 到到 x 积分积分, 得得xxxxnnnd) 1()1ln(0010( 1)1nnnxn11x)1ln()(