第七章 无穷级数40301

1、1第七章无穷级数第七章无穷级数第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质第三节正项级数第三节正项级数第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛第五节幂级数第五节幂级数第六节泰勒公式与泰勒级数第六节泰勒公式与泰勒级数第七节第七节某些初等函数的幂级数展开式第八节第八节幂级数的应用举例12-14学时学时2第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念无穷级数无穷级数：给定一个数列un， 则表达式 u1 u2 u3 un 叫做无穷级数(简称级数) 简记为1nnu 即 其中第n项un叫做级数的通项 1nnuu1 u2 u3 un ,3第一节无穷级数的概念

2、第一节无穷级数的概念级数的部分和：级数的部分和：级数的前n项和sn u1 u2 u3 un称为级数的第n次部分和 部分和s1 , s 2 , , sn 构成一个数列4第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念级数敛散性定义级数敛散性定义：，ssnn lim 如果当 n时 级数1nnu的部分和数列 sn有极限 s 即 则称级数1nnu收敛 这时极限 s 叫做这级数的和 并写成 如果 sn没有极限 则称级数1nnu发散 1nnusu1 u2 u3 un ；5第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念级数的余项级数的余项：nnssr = un+1 un+ 2 ， 当级数1nnu收敛时 其部分和sn是这级

3、数的和s 的近似值 它们之间的差值叫做这个级数的余项 用sn作为s的近似值所产生的误差，就是余项的绝对值.nr6第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念例例1.讨论几何级数讨论几何级数 (等比级数等比级数) 的敛散性的敛散性解解： 如果q1 则部分和 qqaaqaqaqasnnn 1)1 ( 12 当q 1时 当|q|1 时 级数 当|q|1 时 nnslim 当 q1 时 snna 因此级数从而 sn的极限不存在 这时级数qqaaqaqaqasnnn 1)1 ( 12 当|q|1 时 级数nnaq0收敛于qa1 此时级数nnaq0发散 当|q|1 时 nnslim 此时级数当 q1 时 sn

4、na 因此级数当 q1 时 snna 因此级数nnaq0发散 sn的极限不存在 这时级数nnaq0也发散 sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零 )0(0 aaqnn,1limqasnn 7第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念例例2. 判定级数级数解解： )1(1431321211)1(11nnnnn 解 由于 111) 1(1nnnnun 因此 ) 1(1 431321211 nnsn 111)111( )3121()211 ( nnn 从而 1)111 (lim limnsnnn 所以这级数收敛 它的和是1 的敛散性若级数收敛，求此级数的和的敛散性若级数收敛，求此级数的和8第一节无穷级

5、数的概念第一节无穷级数的概念例例3. 判定级数级数解解： nnnnn134ln23ln12ln1ln1的敛散性的敛散性 解 由nnnnln) 1ln(1lnnnnnln) 1ln(1ln(n1, 2, ) 得到 (n1, 2, ) 得到 nnsn1ln34ln23ln12ln (ln2 ln1) (ln3 ln2) (ln4 ln3) ln(n 1) ln n ln(n 1) 因此 ) 1ln(limlimnsnnn 所以级数发散 9第一节无穷级数的概念第一节无穷级数的概念级数举例：级数举例：级数的展开形式备注一般项简写形式 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn 1 3121

6、111 nnn调和级数 ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn 20 nnnaqaqaqaaq 20 nnnaqaqaqaaqaqn1几何级数等比级数 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnnp级数 10第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质定理定理7 1 如果级数1nnu与级数1nnv都收敛 它们的和分别为s及w 则级数)(1nnnvu 也收敛 且其和为 sw 这是因为 设1nnu、1nnv、)(1nn

7、nvu 的部分和分别为 sn、wn、tn 则则 )( )()(limlim2211nnnnnvuvuvut wswsnnn)(lim ) () (lim 2121nnnvvvuuu 11第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质定理定理7 2 如果级数1nnu收敛 且其和为 s 则它的每一项都乘一个 不为零的常数a后 所得到的级数 211 nnnauauauau 也收敛 且其和为as 证证： 证 设1nnu与1nnau的部分和分别为 sn与 wn 则 ) (lim lim 21nnnnauauauw ) (lim 21nnuuua assannlim ) (lim 21nnuuua as

8、sannlim 这表明级数1nnau收敛 且和为 as 若级数 1nnu发散， 则级数发散 1nnau12第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质例例1. 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性解解： 1)5231(nnn 131nn 152nn因级数和级数都收敛，故级数 1)5231(nnn收敛例例2. 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 11ln3nnn解解： 因级数 11lnnnn发散， 故级数 11ln3nnn发散13第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质定理定理7 3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项 级数的敛散性不变 例如：例如： 因为 ) 1(1 43132121

9、1 nn是收敛的 所以级数 是收敛的 所以级数 ) 1(1 43132121110000 nn ) 1(1 651541431 nn和级数 都是收敛的 1000021 证明见教材证明见教材14第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质例例3. 设级数的，判定级数设级数的，判定级数 的敛散性，若收敛，求它的和的敛散性，若收敛，求它的和解解： 1nnu因故级数收敛因级数故级数收敛12 nnsn 12nnu,2112limlim nnsnnn 1nnu 12nnu,211uuunn 12nnu又因221suu ,32 故 12nnu3221 .61 15第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的

10、基本性质定理定理7 4如果一个级数收敛 则加括号后所成的级数也收敛 且与原级数有相同的和注意：如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如：级数(11)+(11)+ 收敛于零，如果加括号后所成的级数发散 则原级数也必发散 但级数 11+11+ 却是发散的对正项级数，无论加括号或去括号，都不影响原级数的敛散性 证明见教材证明见教材16第二节无穷级数的基本性质第二节无穷级数的基本性质定理定理7 5(级数收敛的必要条件) 注意：级数的通项趋于零不是级数收敛的充分条件 如果级数 211 nnnuuuu 收敛 则0lim0nnu 证 设级数1nnu的部分和为 sn 且ssnnlim

11、 则 0lim lim )(lim lim110ssssssunnnnnnnnn0lim lim )(lim lim110ssssssunnnnnnnnn0lim lim )(lim lim110ssssssunnnnnnnnn0lim lim )(lim lim110ssssssunnnnnnnnn 证证： 由此可见：若级数的通项不趋于零，则级数发散 12nn 11nnn 11lnnnn17 因为正项级数的部分和数列sn是单调增加数列正项级数的部分和数列sn是单调增加数列， 即第三节正项级数第三节正项级数（一）正项级数收敛的基本定理正项级数证证： 各项都是正数或零的级数称为正项级数 正项级数

12、收敛的充分必要条件是 它的部分和数列 sn有界 s1 s2 sn 1 sn 定理定理7 6而，单调有界数列是收敛的18第三节正项级数第三节正项级数（二）正项级数的比较判别法定理定理7 7证证：见下页：见下页 如果两个正项级数1nnu和1nnv满足关系式 un cvn ( n 1, 2, ； c 是大于是大于 0 的常数的常数 )， 那么 (1)当级数1nnv收敛时 级数1nnu也收敛 (2)当级数1nnu发散时 级数1nnv也发散 例例119（二）正项级数的比较判别法定理定理7 7证证： 证 设级数1nnu与1nnv的部分和分别为 sn与 wn 因为 un cvn ，所以 sn cwn (1)

13、如果级数1nnv收敛 则 wn有界 因此 sn也有界 所以级数1nnu收敛 (2)如果数1nnu发散 则 sn无界 因此 wn也无界 所以级数1nnv发散 如果0uncvn (n1 2 c0 为常数) 那么 1nnv收敛1nnu收敛 1nnu发散1nnv发散 20（二）正项级数的比较判别法例例1 判定调和级数解解： 的敛散性 解 1 3121111 nnn )81716151()4131()211 ( )81818181()4141(21 21 21 21 易见，调和级数加括号后的各项，均大于后一个级数易见，调和级数加括号后的各项，均大于后一个级数的对应项的对应项，而后一个级数发散而后一个级数

14、发散，故调和级数发散故调和级数发散 解 1 3121111 nnn 21（二）正项级数的比较判别法例例2 判定 p-级数解解： 的敛散性 解 当 p1 时 解 当 p1 时 nnp11 而调和级数nnp11 而调和级数11nn发散 所以级数 发散 所以级数 11npn发散 当 p1时 有 )151 81()71615141()3121(111ppppppppnpn 它的各项均小于等于均小于等于级数 )81 81()41414141()2121(1pppppppp因此级数11npn收敛 的对应项 而后一级数是公比 而后一级数是公比1211pq的收敛的几何级数 1 31211 11 pppnpnn

15、22（二）正项级数的比较判别法例例3 判定级数解解： 1 312111321 nnnnn的敛散性 解 因为1211nnn 而级数1211nnn 而级数1121nn收敛于 2 故所给级数也收敛 且其和小于 2 211nnn 23（二）正项级数的比较判别法例例4 判定级数解解： 的敛散性 1231nnn2223131nnnn 因因), 2 , 1(21 nn发散，发散，级数级数 121nn 1231nnn发散发散故级数故级数24（二）正项级数比较判别法（极限形式）推论推论 设设,lim11lvuvunnnnnnn 均均为为正正项项级级数数，且且和和有有相相同同的的敛敛散散性性；与与则则级级数数若若

16、 11,0)1(nnnnvul；收收敛敛收收敛敛，则则级级数数且且级级数数若若 11,0)2(nnnnuvl发散发散发散，则级数发散，则级数且级数且级数若若 11,)3(nnnnuvl lvunnnlnn:,0,对对 lvulnnnnnvluvl)()( nnnvuv mvunnnmnn :,0,0nnmvu nnvu 252331341limnnn 因因,21341lim3 nn（二）正项级数的比较判别法（极限形式）例例5 判定级数解解： 的敛散性 13341nn收敛，收敛，而级数而级数 1231nn 13341nn收敛收敛故级数故级数34lim33 nnn311312 nnn26（二）正项

17、级数比较判别法（极限形式）例例6 判定级数解解： 的敛散性 12)11ln(nn，因因11)11ln(lim22 nnn收敛，收敛，级数级数 121nn 12)11ln(nn收敛收敛故级数故级数.)11ln(1 nn27（二）正项级数比较判别法（练习题） 1.判定级数解解： 和 1)12(nnnnnnn1)1ln(1lim 因因 1)1ln(1nn的敛散性 nnn)12( nnn)2( .)21(n )1ln(lim nnn111lim nn)1(lim nn. 28（二）正项级数比较判别法（练习题）2. 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.解解：)0(111 nn发散发散故故 111nn ，

18、时，时，当当011lim1 nn ，时，时，当当nnn)1(1111 .111收敛收敛故故 nn 29第三节正项级数第三节正项级数（三）正项级数的比值判别法定理定理7 8 (达朗贝尔比值判别法) 若正项级数 211 nnnuuuu(un0 n1 2 ) 满足条件luunnn1lim 则 (1)当当 l 1 时级数收敛时级数收敛 (2)当当 l 1 时级数发散时级数发散 (3)当当 l 1 时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 21nun nun1 证明见教材证明见教材30（三）正项级数的比值判别法例例7 判定 级数解解： 的敛散性 因为 xxnnnxnxuunnnnnnn1lim1

19、limlim11xxnnnxnxuunnnnnnn1lim1limlim11xxnnnxnxuunnnnnnn1lim1limlim11xxnnnxnxuunnnnnnn1lim1limlim11 所以该级数当0 x 1时收敛，当x1时发散，)0(1 xnxnn当x=1时，也发散.31（三）正项级数的比值判别法例例8 判定 级数解解： 的敛散性 1223cosnnnn 解 因为nnnnn223cos2nnnnn223cos2 而级数nnnnn223cos2 而级数nnn21满足 12121lim221limlim11nnnnuunnnnnnn12121lim221limlim11nnnnuun

20、nnnnnn12121lim221limlim11nnnnuunnnnnnn12121lim221limlim11nnnnuunnnnnnn 级数nnn21收敛 所以级数收敛 所以级数1223cosnnnn也收敛 即即32（三）正项级数的比值判别法(练习题)判定 级数解解： 的敛散性 11!5nnn12121lim221limlim11nnnnuunnnnnnn和 1)1(2nnnn!5)!1(5lim11)1(nnnnn 15lim nn0 . 1 12121lim221limlim11nnnnuunnnnnnn)1(2)2)(1(2lim1 nnnnnnn22lim nnn2 . 1 33

21、第三节正项级数第三节正项级数（四）正项级数的根值判别法定理定理7 9 (柯西根值判别法) 若正项级数 211 nnnuuuu(un0 n1 2 ) (1)当当 1 时级数收敛时级数收敛 (2)当当 1 时级数发散时级数发散 (3)当当 1 时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 ，则，则满足条件满足条件 nnnulim21nun nun1 34（四）正项级数的根值判别法例例9 判定 级数解解： 的敛散性 )0(11 annannnnnu lim因为 nnnnna 1lim1lim nnan,a 所以该级数当0 a 1时收敛，当a1时发散 当a=1时，因 nnu limnnnn 1li

22、m,01 ennn 111lim所以当a1时，该级数发散 35（四）正项级数的根值判别法(练习题) 判定级数解解： 的敛散性 122)11(nnnnnnnu limnnnnn2)11(lim2 e1 nnnnn)11(lim2 nnn2lim nnneln2lim nnneln2lim nne2lim 10 e. 1 36第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛交错级数交错级数正负项相间的级数称为交错级数 它的形式是 ) 1( ) 1(1432111 nnnnnuuuuuu其中 un 0 (n 1 2 ) 定理定理7 10(莱布尼茨定理莱布尼茨定理) 如果交错级数11) 1(nnn

23、u满足 (1) unun1 (n1, 2, 3, ) (2)0limnnu 则级数收敛 且其和 s u1 证明见教材证明见教材37第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛例例1 证明级数证证： 1) 1( 41312111 nn收敛，并估计和 这是一个交错级数因为此级数满足 (1)1111nnunnu(n1, 2, ) (2)01lim lim nunnn 由莱布尼茨定理 它是收敛的，且其和 s u1 1 38第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛定理定理7 11 如果级数|1nnu收敛 则级数1nnu也收敛 绝对收敛与条件收敛： 若级数1nnu发散 则称级条件收敛

24、若级数1|nnu收敛 则称级数绝对收敛 例如： 级数1211) 1(nnn是绝对收敛的 级数111) 1(nnn是条件收敛的 注意：注意： 当当 1 1| | |n nn nu u发散时发散时 我们只能判断我们只能判断而不能判断它必发散而不能判断它必发散 发散时发散时 我们只能判断我们只能判断 1 1n nn nu u非绝对收敛非绝对收敛 证明见教材证明见教材3911)1(lim!) 1()!1(lim|lim11ennnnnnuunnnnnnnn第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛定理定理7 12 (绝对收敛性的判定绝对收敛性的判定) 当1|lim1luunnn时发散 对于任

25、意项级数1nnu 当 当1|lim1luunnn时绝对收敛 解： 因为 所以级数nnnnn!) 1(1绝对收敛 11)1(lim!) 1()!1(lim|lim11ennnnnnuunnnnnnnn11)1(lim!) 1()!1(lim|lim11ennnnnnuunnnnnnnn11)1(lim!) 1()!1(lim|lim11ennnnnnuunnnnnnnn 例 2 证明级数nnnnn!) 1(1绝对收敛 例例2 证明见教材证明见教材4011)1(lim!) 1()!1(lim|lim11ennnnnnuunnnnnnnn第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛定理定理7

26、 12 (绝对收敛性的判定绝对收敛性的判定) 当1|lim1luunnn时发散 对于任意项级数1nnu 当 当1|lim1luunnn时绝对收敛 解： 因为 所以级数对一切 x (x) 绝对收敛 0 |11lim|!|)!1(|lim|lim11xnnxnxuunnnnnnn0 |11lim|!|)!1(|lim|lim11xnnxnxuunnnnnnn0 |11lim|!|)!1(|lim|lim11xnnxnxuunnnnnnn 例 3 判定级数!0nxnn的敛散性 例例3 41 例 4 判定级数nxnn0的敛散性 11)1(lim!) 1()!1(lim|lim11ennnnnnuunn

27、nnnnnn第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛例例4 解解： 因为 它是发散的 级数成为调和级数 当x1时 当|x|1时 级数绝对收敛 当|x|1时 级数发散 故 当 x1 时 级数成为| |1lim|1|lim|lim11xxnnnxnxuunnnnnnn| |1lim|1|lim|lim11xxnnnxnxuunnnnnnn| |1lim|1|lim|lim11xxnnnxnxuunnnnnnn 当 x1 时 级数成为nnn) 1(0 它是条件收敛的 nnn) 1(0 它是条件收敛的 42 例 5 判别级数11nnnx的收敛性 11)1(lim!) 1()!1(lim|l

28、im11ennnnnnuunnnnnnnn第四节任意项级数，绝对收敛第四节任意项级数，绝对收敛例例5 解解： 因为因为 故故级数发散级数发散; 当当|x|1时时 级数绝对收敛级数绝对收敛 当当|x| 1时时 |1lim|)|1(lim|lim11xxnnxnxnuunnnnnnn|1lim|)|1(lim|lim11xxnnxnxnuunnnnnnn|1lim|)|1(lim|lim11xxnnxnxnuunnnnnnn 当当|x| 1时时, 级数发散级数发散(级数一般项不趋于级数一般项不趋于0) 43第四节任意项级数，绝对收敛（练习题）第四节任意项级数，绝对收敛（练习题）1. 判定级数判定级

29、数 的敛散性，绝对？条件？的敛散性，绝对？条件？解解： 1ln)1(nnnn，因因nnn1ln1 发散发散故故 1ln1nnn，因因0ln1lim nnnnennnnnlnlim)ln(lim ， nnln12)ln(11)ln1(nnnnn 收敛收敛故故 1ln)1(nnnnnenn limlnnne limln 2)ln(1nnnn 0 条件条件44第四节任意项级数，绝对收敛（练习题）第四节任意项级数，绝对收敛（练习题）2. 已知级数已知级数 收敛，证明收敛，证明 收敛收敛证证：）（01 nnnaa.0limlim2 nnnnnaaa 12nna（比较极限）（比较极限）3. 若级数若级数

30、收敛，证明收敛，证明 收敛收敛， 12nna 12nnb 12)(nnnba证证：.222nnnnbaba （比较，绝收（比较，绝收收）收）nnnnnnbababa2)(222 45第四节任意项级数，绝对收敛（练习题）第四节任意项级数，绝对收敛（练习题）4.若级数若级数 收敛（其中），收敛（其中），证证： (1)， 1nna 1nnb证明证明：(1) 收敛，收敛，(2) 发散发散0, 0 nnba 1nnnba 11nnnba.222nnnnbaba （比较，绝收（比较，绝收收）收）(2). 01nnba)0, 0(nnba,0limlim2 nnnnnaaa（比较极限）（比较极限）46第五节

31、幂级数第五节幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域形如 )( )()()(020201000 nnnnnxxaxxaxxaaxxa的级数称为(x x0)的幂级数，其中a0 a1 a2 an 都是常数，叫做幂级数的系数 当x0 0时， 上述幂级数成为 22100 nnnnnxaxaxaaxa称为x的幂级数 47分析分析：（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域 对于幂级数nnnxa0 设laannn|lim1 因为 |lim11xlxaxannnnn 所以 (1)如果 l|x|1 即rlx1| 则幂级数绝对收敛 (2)如果 l|x|1 即r

32、lx1| 则幂级数发散 (3)如果l|x|1 即rlx1| 则幂级数可能收敛也可能发散 (4)如果l0 则l|x|01 这时幂级数级数对任何x 都收敛 48收敛区间收敛区间 ：（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域 x的幂级数的收敛域，是一个以原点为中心，半径从 r到r的区间，叫做幂级数的收敛区间，其中，r叫做幂级数的收敛半径 如果幂级数除点 x 0 外，对一切 x 0 都发散， 则规定 r 0 ，此时幂级数收敛区间为点 x 0 如果幂级数对任何 x 都收敛，则记作 r， 此时幂级数的收敛区间为(, ) 当 0 r 时，要对 xr 处幂级数的敛散性专门讨论，以决定收敛

33、区间是开区间、闭区间或半开半闭区间 49 (1)当 0l时 lr1 求幂级数收敛区间的步骤求幂级数收敛区间的步骤：（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域首先求出收敛半径 r如果 0 r , 则再判断 xr 时幂级数的敛散性 最后写出收敛区间 定理定理7 13(收敛半径的确定收敛半径的确定) 如果幂级数nnnxa0的系数满足条件laannn|lim1 则 (2)当 l 0 时 r (3)当 l 时 r 0 1lim nnnaar50例例1 求幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：解： ) 1( 32) 1(13211 nxxxxnxn

34、nnnn的收敛区间 因为 1111lim|lim1nnaalnnnn所以幂级数的收敛半径为 r 1/l=1 当 x1 时 幂级数成为交错级数 当 x1 时 幂级数成为因此 收敛区间为 ( 1, 1 1111lim|lim1nnaalnnnn1111lim|lim1nnaalnnnn 当 x1 时 幂级数成为交错级数nnn1) 1(11 是收敛的 nnn1) 1(11 是收敛的 当 x1 时 幂级数成为nnnnnn1) 1() 1(111 是发散的 nnnnnn1) 1() 1(111 是发散的 51010)11 (111lim1) 1(1lim |lim11ennnnaannnnnnnn 例

35、2 求幂级数111) 1(nnnx的收敛区间 例例2 求幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛（一）幂级数及其收敛半径和收敛域域解：解： 因为 所以幂级数的收敛半径为 r 1/l=1 当 x1 幂级数成为 当 x1 时 幂级数成为因此幂级数的收敛区间为 ( 1, 1) 1 |) 1() 1(|lim |lim11nnnnnnaal1 |) 1() 1(|lim |lim11nnnnnnaal 当 x1 幂级数成为11n 是发散的 11n 是发散的 当 x1 时 幂级数成为11) 1(nn 也是发散的 11) 1(nn 也是发散的 l52 例 3 求级数nnnnx1的收敛区间 例例3 求幂级数（一

36、）幂级数及其收敛半径和收敛（一）幂级数及其收敛半径和收敛域域解：解： 因为 010)11 (111lim1) 1(1lim |lim11ennnnaannnnnnnn所以幂级数的收敛半径为 r 010)11 (111lim1) 1(1lim |lim11ennnnaannnnnnnn010)11 (111lim1) 1(1lim |lim11ennnnaannnnnnnn010)11 (111lim1) 1(1lim |lim11ennnnaannnnnnnn 收敛区间为 (, ) l11limnnnnn53 例 4 求级数nxnn) 12(1的收敛区间 例例4 求幂级数（一）幂级数及其收敛半

37、径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：解： 因为 11lim111lim |lim1nnnnaalnnnnn 故当|2x1|1时 当 x1 时 级数成为当 x1 时 级数成为nnn) 1(1 它是收敛的 幂级数绝对收敛 即 1 x 0时 当 x0 时 级数成为当 x0 时 级数成为11nn 它是发散的 11nn 它是发散的 因此幂级数的收敛区间为 1, 0) nnn) 1(1 它是收敛的 11lim111lim |lim1nnnnaalnnnnn11lim111lim |lim1nnnnaalnnnnn ,2121 x.21 r110 lr54nnaalnnnnnnnn3) 1(13)

38、 1(limlim111 因因例例5 求幂级数的收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：法一解：法一 级数绝对收敛， 1213)1(nnnnnx313lim nnn时时，即即故故当当31312 xx时，时，即，即当当31312 xx级数发散 .31 r时，时，当当31 x级数为 ， 111)1(nnn收敛， .31,31 nx )(23110 lr55nxnxuunnnnnnnnnn21)1(2113) 1(13) 1(limlim 因因例例5 求幂级数的收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：法二解：法二

39、级数绝对收敛， 1213)1(nnnnnx22313limxxnnn 时时，即即故故当当31132 xx时，时，即，即当当31132 xx级数发散 .31 r时，时，当当31 x级数为 ， 111)1(nnn收敛， .31,31 569.求幂级数的收敛半径和收敛域(10)练习p3119(10)(12)(14)解解： 132)1(nnnnnnxx1lim nnnaar11132)1(32)1(lim nnnnnnn,31时时当当 x,31时时当当 x.31 ，发散；，发散； 1 16)1(nnn.)1(611，发散，发散 nnn).31,31( 收敛域为收敛域为nnnnnx 132)1(66)1

40、(16)1(lim21 nnnnn579.求幂级数的收敛半径和收敛域(12)练习p3119(10)(12)(14)解解： 122)1(nnnxnn1lim nnnaa12)12(2)1(lim nnnnnnn,22时时当当 x.22 r.发发散散).22,22( 收敛域为收敛域为 12)(2)1(nnnxnn)1(2)12(limnnnnn 21 212 x22 x, )1(1 nnn原级数为原级数为589.求幂级数的收敛半径和收敛域(14)练习p3119(10)(12)(14)解解： 1112)32()1(nnnnx1lim nnnaa1212lim nnn,1时时当当 x.发发散散.2 ,

41、 1(收敛域为收敛域为. 1 , 132 x,1211 nn原级数为原级数为, 21 x,2时时当当 x,12)1(11 nnn原级数为原级数为.收收敛敛.21 r59性质性质 1 (幂级数的和幂级数的和)（二）幂级数的性质 如果幂级数nnnxaxf0)(及nnnxbxg0)( 收敛半径分别 为 r1 及 r2 ，则 )()()(000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn 其收敛半径 rminr1, r2 性质性质 2 (和函数的连续性和函数的连续性) 如果幂级数nnnxaxf0)(的收敛半径为 r0 则在收敛 区间 ( r, r) 内 它的和函数 f(x) 是连续的 1nnnxa )

42、(xf和函数和函数60性质性质 3 (逐项积分公式逐项积分公式)（二）幂级数的性质 在幂级数nnnxaxf0)(的收敛区间(r, r)内任意一点 x 有 即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是 r xnnnxdxxadxxf000)(01001nnnnxnnxnadxxa xnnnxdxxadxxf000)(01001nnnnxnnxnadxxa xnnnxdxxadxxf000)(01001nnnnxnnxnadxxa xnnnxdxxadxxf000)(01001nnnnxnnxnadxxa 收敛区间端点处的敛散性需要单独判定61性质性质 4 (逐项求导公式逐项求

43、导公式)（二）幂级数的性质 在幂级数nnnxaxf0)(的收敛区间(r, r)内任意一点x 有 )()( 0nnnxaxf110)(nnnnnnxnaxa即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是r )()( 0nnnxaxf110)(nnnnnnxnaxa)()( 0nnnxaxf110)(nnnnnnxnaxa)()( 0nnnxaxf110)(nnnnnnxnaxa收敛区间端点处的敛散性需要单独判定62 例 5 求幂级数11nnnx的收敛区间及和函数 并求级数 例例6 （二）幂级数的性质解解： nnn21的和 因为 11lim |lim1nnaannnn所以幂级数1

44、1nnnx的收敛半径为 r 1 当 x1 时 幂级数成为 当 x1 时 幂级数成为所以幂级数11nnnx的收敛区间为(1, 1) 11lim |lim1nnaannnn 当 x1 时 幂级数成为nn1 它是发散的 它是发散的 当 x1 时 幂级数成为nnn11) 1( 它也是发散的 它也是发散的 l63 例 5 求幂级数11nnnx的收敛区间及和函数 并求级数 例例6 （二）幂级数的性质解解： nnn21的和 幂级数的收敛区间为( 1, 1) 设幂级数的和函数为s(x)，则 11)(nnnxxs)(0nnx2)1 (1)11(xxxxsnn 111xsxsnn 11lim)( 1010)(nx

45、nxdxnxdxxs 1nnx10 nnx111 x) 111()( xxs.)1 (12x 法一法一 64 例 5 求幂级数11nnnx的收敛区间及和函数 并求级数 例例6 （二）幂级数的性质解解： nnn21的和 幂级数的收敛区间为( 1, 1) 设幂级数的和函数为s(x)，则 11)(nnnxxs)(0nnx2)1 (1)11(xx2)211 (121)21(21)21(2122111snnnnnn11)(nnnxxs)(0nnx2)1 (1)11(xx11)(nnnxxs)(0nnx2)1 (1)11(xx11)(nnnxxs)(0nnx2)1 (1)11(xx 2)211 (121)

46、21(21)21(2122111snnnnnn2)211 (121)21(21)21(2122111snnnnnn2)211 (121)21(21)21(2122111snnnnnn2)211 (121)21(21)21(2122111snnnnnn 法二法二)(1 nnx659.求幂级数的收敛半径和收敛域(10)练习p3119(10)解解： 132)1(nnnnnnxx 1132)1(nnnnnnnxx11lim nnnaarnnn22lim1 2 12lim nnnaar133lim nnn31 ,31时时当当 x,31时时当当 x.31 r，发散；，发散； 1113nnnnx.)1(31

47、1，发散，发散nnnnnx ).31,31( 收敛域为收敛域为6610.求幂级数的收敛域及和函数(2)练习p311-31210(2)(4)解解： 1122nnnxnnnuu1lim 12122)1(2lim nnnnxxn,1 时时当当 x.发发散散).1 , 1( 收敛域为收敛域为,2x ,21 nn原级数为原级数为. 11 x12 x 1122)(nnnxxs)(12 nnx)1(22 xx.)1(222xx )(02 nnx)11(2 x.)1(222xx 6710.求幂级数的收敛域及和函数(4)练习p311-31210(2)(4)解解： 1121nnnxn1lim nnnaarnnnn

48、n22)1(lim1 2 ,2时时当当 x,2)1(11 nnn原级数为原级数为.收收敛敛,2时时当当 x,211 nn原级数为原级数为.发发散散).2 , 2 收敛域为收敛域为6810.求幂级数的收敛域及和函数(4)练习p311-31210(2)(4)解解： 1121nnnxn 1121)(nnnxnxs 1)2(11nnxnx 11)2(1)(nnxnxs)(11xsx 11)2(21nnx21121x xdxxsxs01121121)0()().21ln(x 0 x).21ln(1xx 时时0 x.21)( xs69在函数的微分一节中我们有在函数的微分一节中我们有（一）泰勒公式（一）泰勒

49、公式第六节泰勒公式与泰勒级数第六节泰勒公式与泰勒级数 f(x) f(x0) f (x0)(x x0) o(x x0) (当当|x x0|很小时很小时) 略去略去 o(x x0) 我们有求 f(x) 的近似公式f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (当当|x x0|很小时很小时) 其误差为其误差为r(x) f(x) f(x0) f (x0)(x x0) 这种近似表达式精确度不高，可以考虑用n 次多项式pn (x) 近似 f(x) 用微分作近似计算的不足：用微分作近似计算的不足：为了达到一定精确度的要求70设想与分析（一）泰勒公式一）泰勒公式 我们希望找出一个关于 (x x0) 的 n

50、次多项式f (n)(x0) pn(n)(x0) n!an f (x0) pn (x0) 3!a3 f (x0) pn (x0) 2!a2 f (x0) pn (x0) a1 f(x0) pn(x0) a0 pn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an (x x0)n导数相等 来近似表达 f(x) 并且希望 pn(x) 与 f(x) 在 x0 的各阶按此要求有于是nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(! 2)()()()(00)(200000 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(! 2)()()()(00)(200000 71定理定理7 14

51、(泰勒中值定理泰勒中值定理) （一）泰勒公式（一）泰勒公式 若函数f(x)在含有x0的区间(a b)内有一阶直到 (n 1)阶的连续导数 则当x (a b)时 f(x)可以表示为 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)( 00)(xrxxnxfnnn 其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr(在 x0与 x 之间) 上述等式称为 f(x) 按 (x x0) 的幂展开的 n 阶 泰勒公式，rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项 72定理定理7 14 (泰勒中值定理泰勒中值定理) （一）泰勒公式（一）泰勒公式在泰勒公式)(!) 0( ! 2) 0()

52、 0() 0()()(2xrxnfxfxffxfnnn 其中1) 1()!1()()(nnnxnfxr 当x0 0时，称为麦克劳林公式，即 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)( 00)(xrxxnxfnnn 中，x 0.)!1()()(1)1( nnnxnxfxr 则则，令令10, x73如果 f(x) 在区间(a, b)内各阶导数都存在，则对于任意的正整数n 泰勒公式都成立 （二二）泰勒）泰勒级数级数当n时 如果 rn(x)0， 则得幂级数 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数 在泰勒级数中

53、取 x0 0 得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数 )(!)( 00)(nnxxnxf !)0( ! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf 74（一）直接展开法第七节第七节某些初等函数的幂级数展开式将f(x)展成麦克劳林幂级数的步骤：(1)求出f(x)在x 0的各阶导数值f (k)(0) 若函数f(x)在x 0的某阶导数不存在 则f(x)不能展开为幂级数 !)0( ! 3)0(! 2)0()0()0()(32nnxnfxfxfxff (3)考察在收敛区间内 当n时 余项rn(x)的极限是否为0， 如果为0， 则有上述幂级数展开式，否则函数 f(x) 不能展成幂级数 并求其收敛

54、区间(2)写出幂级数75例例1 将函数 f(x) ex 展开成 x 的幂级数 （一）直接展开法解解：因为 f (n)(x) ex 于是有麦克劳林级数 所以 f (n)(0) 1 nnnnnxnxnf00)(!1!)0( 其收敛区间为(, ) 因为在区间(, )内有 0)!1(|lim|)!1(|lim| )(|lim1|1 nxexnexrnxnnxnnn nnxxne0!1 !1 ! 2112 nxnxx(x) 0)!1(|lim|)!1(|lim| )(|lim1|1 nxexnexrnxnnxnnn0)!1(|lim|)!1(|lim| )(|lim1|1 nxexnexrnxnnxnn

55、n 所以有展开式 收敛收敛 01)!1(nnxnxe1)1()!1()()( nnnxnxfxr 7632)!32()232sin(lim)(lim kknnxkkxxr 例例2 将函数 f(x) sinx 展开成 x 的幂级数 （一）直接展开法解解：得麦克劳林级数 其收敛区间为(, ) 因为在区间(, )内有 0)!1(|lim|)!1(|lim| )(|lim1|1 nxexnexrnxnnxnnn 故有展开式 ),2sin()()( nxxfn , 0)0()2( kf,) 1()0()12(kkf 0120)()!12()1(!)0(kkknnnkxxnf)!32(lim32 kxkk

56、 012)!12() 1(sinkkkkxx )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnk77常用的幂级数展开式 （一）直接展开法 !1 ! 2112 nxxnxxe(x) )!12() 1( ! 51! 31sin1253 nnxnxxxx(|x|) 2! 2) 1(1)1 (xmmmxxm !) 1( ) 1( nxnnmmm(1x1) 11112 nxxxx(1x1) 78例例3 在几何级数（二）间接展开法 11112 nqqqq(1q1) 将上面二式两边分别从 0 到 x 逐项积分 得 1) 1( 3121)1ln(132 nnxnxxxx(1x1) 121) 1( 5131a

57、rctg12153 nnxnxxxx(1x1) xarctan中，令 q x x2，则分别得到 ) 1( 11122422 xknxxxx(1x1) 1) 1(n22 n ) 1( 1112 nnxxxx(1x1) 79例例4 将函数cos x展成 x 的幂级数 （二）间接展开法解： 因为 cos x (sin x) 而已知 012)!12() 1(sinnnnxnx )!12() 1( ! 51! 311253 nnxnxxx(|x|) 所以 02012)!2() 1()!12() 1(cosnnnnnnxnxnx02012)!2() 1()!12() 1(cosnnnnnnxnxnx(x) 80 例 4 将函数3xe展成 x 的幂级数 例例5 （二）间接展开法 解解： 已知 nnxxne0!1(x) 将 x 换成