控制工程基础控制系统的数学模型(控制工程基础

1、2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）1控制工程基础控制工程基础清华大学机械工程系清华大学机械工程系朱志明朱志明 教授教授2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）2控制系统的数学模型内容控制系统的数学模型内容n物理系统的动态描述数学模型物理系统的动态描述数学模型n建立系统数学模型的一般步骤建立系统数学模型的一般步骤n非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化n拉普拉斯变换拉普拉斯变换n控制系统的传递函数控制系统的传递函数n系统方块图及其变换系统方块图及其变换n系统信号流图系统信号流图2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）3方块图及其变换方块图及其变换n

2、系统的系统的方块结构图方块结构图（简称结构图或方块图）：（简称结构图或方块图）：将各个将各个环节用带有传递函数的方块表示，再把各个环节之间环节用带有传递函数的方块表示，再把各个环节之间按信息传递方向用箭头相连。按信息传递方向用箭头相连。n系统的方块结构图不仅直观而且形象地表明了系统信系统的方块结构图不仅直观而且形象地表明了系统信号的作用原理，而且定量地描述了系统的动态特性，号的作用原理，而且定量地描述了系统的动态特性，是系统原理方块图与数学方程的结合，是是系统原理方块图与数学方程的结合，是用图形表示用图形表示的数学模型的数学模型。2021-11-14控制工程基础：第一讲 绪论4闭环控制系统原理

3、方块图闭环控制系统原理方块图在闭环控制系统中，不仅有从输入端到输出端的作用路径（前向通在闭环控制系统中，不仅有从输入端到输出端的作用路径（前向通道），还有从输出端到输入端的信号作用路径（反馈通道）。由于道），还有从输出端到输入端的信号作用路径（反馈通道）。由于引入了反馈，系统的方块图形成了闭环，构成了闭环控制系统。引入了反馈，系统的方块图形成了闭环，构成了闭环控制系统。2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）5恒定磁场他激直流电动机示意图恒定磁场他激直流电动机示意图u u（t t）电枢电压，为控制输入；）电枢电压，为控制输入；m ml l（t t）作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰

4、动输入；）作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰动输入； （t t）电动机的转角，为输出量。）电动机的转角，为输出量。假设电机轴上总转动假设电机轴上总转动惯量惯量j j是常数，各种机是常数，各种机械转矩全部归并到负械转矩全部归并到负载转矩中，传输轴是载转矩中，传输轴是刚性轴，电动机电枢刚性轴，电动机电枢电路的电阻、电感全电路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻部归并到电枢总电阻r r、电感电感l l中。中。2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）6恒定磁场他激直流电动机的基本关系恒定磁场他激直流电动机的基本关系n根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机

5、特性：nr r，l l电枢回路总电阻和总电感，电枢回路总电阻和总电感， ，h h；i i电枢电流，电枢电流，a a；e e电动机反电势，电动机反电势，v v；u u电枢电压，电枢电压，v v；c ce e电势系数，电势系数，v.s/radv.s/rad；j j电动机轴上总转动惯量，电动机轴上总转动惯量，kg.mkg.m2 2；m m，m ml l电磁转矩、负载转矩，电磁转矩、负载转矩，n.mn.m；c cm m转矩系数，转矩系数，n.m/an.m/a。ueridtdildtdece122mmdtdjicmm2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）7恒定磁场他激直流电动机恒定磁场他激

6、直流电动机1 ueridtdil/11( )( )( )( )( )( )( ) ( )11/( )( )( )11/( )( )1tl rlsi sri se su su su se slsr i sri su su sllsrsrri su sts1/11str)(su)(su)(se)(si-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）8恒定磁场他激直流电动机恒定磁场他激直流电动机2 )()(sscseedtdece1/11str)(su)(su)(se)(si-+sce)(s2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）9恒定磁场他激直流电动机恒定磁场他激直流电动机3

7、)()(sicsmmicmm1/11str)(su)(su)(se)(si-+sce)(smc)(sm2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）10恒定磁场他激直流电动机恒定磁场他激直流电动机4 )()(1)()()()(1212smsmjsssmsmsjs122mmdtdj1/11str)(su)(su)(se)(si-+sce)(smc)(sm21js)(1sm-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）11直流他激电动机的方块结构图直流他激电动机的方块结构图)()()()()()()()(1/1)()()()(211sscsesjssmsmsicsmsustrsis

8、esusuem 1/11str)(su)(su)(se)(si-+sce)(smc)(sm21js)(1sm-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）12方块图变换方块图变换-加法交换律加法交换律 aa-b+ca-bbc+-aa-b+ca+ccb+-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）13方块图变换方块图变换-加法结合律加法结合律 aa-b+ca-bbc+-aa-b+ccb+-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）14方块图变换方块图变换-乘法交换律乘法交换律 aa*g1*g2a*g1g1g2aa*g1*g2a*g2g2g12021-11-14第

9、四讲-控制系统的数学模型（3）15方块图变换方块图变换-乘法结合律乘法结合律 aa*g1*g2a*g1g1g2aa*g1*g2g1*g22021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）16方块图变换方块图变换-并联环节简化并联环节简化 aa*g1+a*g2a*g1g1g2aa*g1+a*g2g1+g2+a*g22021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）17方块图变换方块图变换-相加点前移相加点前移 aa*g-ba*gg1/ga-b/ga*g-bg-+b-a+bb/g2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）18方块图变换方块图变换-相加点后移相加点后移 aa*g-b*g

10、a*gg-+b*ggba-ba*g-b*gg-a+b2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）19方块图变换方块图变换-引出点前移引出点前移 aa*gga*ggaa*gga*g2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）20方块图变换方块图变换-引出点后移引出点后移 aa*gga1/gaa*ggaa*g2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）21方块图变换方块图变换-引出点前移越过比较点引出点前移越过比较点 aa-ba-b+b-aa-ba-bbb-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）22方块图变换方块图变换-将并联的一路变为将并联的一路变为1 1

11、 aa*g1+a*g2a*g1g1g2+a*g2aa*g1+a*g2a*g1g11/g2+a*g2g22021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）23方块图变换方块图变换-将反馈系统变为单位反馈将反馈系统变为单位反馈 bag1g2-+abg1g2-+1/g22021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）24方块图简化规则方块图简化规则n串联：串联：n并联：并联：n负反馈：负反馈：n单位负反馈连接：单位负反馈连接：)()()(21sgsgsg)()()(21sgsgsg)()(1)()(shsgsgsw)(1)()(sgsgsw2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）2

12、5定定 义义n前向通道传递函数前向通道传递函数g(s)g(s)：q输出量输出量y(s)/y(s)/作用误差信号作用误差信号e(s)e(s)n反馈通道传递函数反馈通道传递函数h(s)h(s)：q反馈信号反馈信号f(s)/f(s)/输出量输出量y(s)y(s)n开环传递函数开环传递函数g g0 0(s)=g(s)h(s)(s)=g(s)h(s)：q反馈信号反馈信号f(s)/f(s)/作用误差信号作用误差信号e(s)e(s)n闭环传递函数闭环传递函数w(s)w(s)：q输出量输出量y(s)/y(s)/输入量输入量r(s)r(s)2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）26典型反馈控制系统

13、结构图典型反馈控制系统结构图2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）27控制作用下的闭环传递函数控制作用下的闭环传递函数 )(1)()()()(1)()()()()(02121sgsgshsgsgsgsgsrsyswr2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）28扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数)(1)()()()(1)()()()(02212sgsgshsgsgsgsdsyswd2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）29控制作用下的误差传递函数控制作用下的误差传递函数 )(11)()()(11)()()(021sgshsgsgsrseswe

14、r2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）30扰动作用下的误差传递函数扰动作用下的误差传递函数)(1)()()()()(1)()()()()(02212sgshsgshsgsgshsgsdseswed2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）31位置控制随动系统的方块图位置控制随动系统的方块图n将系统划分为若干环节：将系统划分为若干环节：q电桥电桥q放大器放大器a aq直流他激发电机直流他激发电机g gq直流他激电动机直流他激电动机m mq齿轮系齿轮系n求各个环节的传递函数及方块图求各个环节的传递函数及方块图n求系统的方块图及传递函数求系统的方块图及传递函数2021-11

15、-14第四讲-控制系统的数学模型（3）32电桥的方块图电桥的方块图 )()()(1ssksuyre2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）33放大器的方块图放大器的方块图k2ueuf)()(2suksuef 2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）34直流他激发电机示意图直流他激发电机示意图r rf f激磁绕组的电阻，激磁绕组的电阻， ；l lf f激磁绕组的电感，激磁绕组的电感，h h；w wf f激磁绕组的匝数；激磁绕组的匝数；u uf f（t t）激磁电压，）激磁电压，v v；i if f（t t）激磁电流，）激磁电流，a a；e eg g（t t）发电机电枢电势

16、，）发电机电枢电势，v v； 气隙磁通，气隙磁通，wbwb； 发电机角速度，发电机角速度，rad/srad/s。2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）35直流他激发电机的基本关系直流他激发电机的基本关系n假设发电机的转速为恒值，且磁滞、涡流、漏磁效应忽略不计。假设发电机的转速为恒值，且磁滞、涡流、漏磁效应忽略不计。n根据基尔霍夫定律及发电机特性，有：根据基尔霍夫定律及发电机特性，有：ffffudtdwir11keg)(fif2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）36磁化曲线线性化（磁化曲线线性化（1）)(fif 描述的是如右图所示描述的是如右图所示的磁化曲线，它是非

17、线性曲线。的磁化曲线，它是非线性曲线。为获得非线性系统的线性化模型，为获得非线性系统的线性化模型，常采用常采用小偏差线性化方法小偏差线性化方法（或称小或称小增量线性化方法。增量线性化方法。假设发电机工作在某个平衡工作假设发电机工作在某个平衡工作点附近时，各个变量相对于该点的点附近时，各个变量相对于该点的值偏离得很小，在这个平衡工作点值偏离得很小，在这个平衡工作点附近可用切线近似代替曲线。附近可用切线近似代替曲线。2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）37磁化曲线线性化（磁化曲线线性化（2）n设平衡工作点为设平衡工作点为p p（i if0f0， 0 0），在），在p p的邻域内将的

18、邻域内将 f f（i if f）展开成泰）展开成泰勒级数：勒级数：n当（当（i if fi if0f0）足够小时，可略去二阶以上各项：）足够小时，可略去二阶以上各项：q 0 0发电机工作在发电机工作在p p点处磁通的稳态值，点处磁通的稳态值，wbwb；qi if0f0发电机工作在发电机工作在p p点处激磁电流的稳态值，点处激磁电流的稳态值，a a；qk k1212磁化曲线在平衡工作点磁化曲线在平衡工作点p p处的斜率处的斜率 。n小偏差线性化方法就是在平衡工作点附近的微小范围内，用该点处小偏差线性化方法就是在平衡工作点附近的微小范围内，用该点处的切线代替曲线来获得近似的线性化模型。这里，的切线

19、代替曲线来获得近似的线性化模型。这里，k k1212与平衡工作点与平衡工作点的位置有关。的位置有关。.)(|)(|222!2100000ffifffifiididiididff)(0120ffiik0|12fidtdk2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）38直流他激发电机的数学模型（直流他激发电机的数学模型（1） ffffudtdwir11keg)(fif)(0120ffiik012111211012fffgggffikkurkkeedtderkw1211001200kkeeikiiggffffgfffukdtdewirk11112021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（

20、3）39直流他激发电机的数学模型（直流他激发电机的数学模型（2）n公式：公式：n令：令：qe eg0g0k k1111 0 0发电机工作在发电机工作在p p点时电枢电势的稳态值；点时电枢电势的稳态值；qu uf0f0发电机工作在发电机工作在p p点时激磁电压的稳态值；点时激磁电压的稳态值；q u uf f， e eg g， i if f u uf f， e eg g， i if f相对于平衡点处稳态值的微小增量。相对于平衡点处稳态值的微小增量。012111211012fffgggffikkurkkeedtderkwffffffgggfffiiiirueeeuuu000002021-11-14第

21、四讲-控制系统的数学模型（3）40直流他激发电机的数学模型（直流他激发电机的数学模型（3）n经过简化、线性化、增量化的直流他激电动机的数学模型：经过简化、线性化、增量化的直流他激电动机的数学模型：q 工作点工作点p p处的微偏时间常数，处的微偏时间常数，s s；q 工作点工作点p p处的微偏电压放大系数。处的微偏电压放大系数。nt tf f，k kg g与磁化曲线在平衡工作点与磁化曲线在平衡工作点p p处的斜率处的斜率k k2 2有关。有关。n简便模型（省略简便模型（省略 ）：）：fgggfukedtedtfgggfukedtdetfffffrlrkwt12fgrkkk12112021-11-

22、14第四讲-控制系统的数学模型（3）41发电机发电机g的方块图的方块图1)()(stksusefgfgfgggfukedtdet2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）42直流他激电动机的方块图直流他激电动机的方块图 1/11str)(su)(su)(se)(si-+sce)(smc)(sm21js)(1sm-+2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）43电动机的方块图电动机的方块图meecck/1memccrk/memccrjt/sststtksussgmmeuu231)()()(sststtstksmssgmmmmmm23111) 1()()()(mumemccrk

23、/2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）44发电机的电枢电阻和电感发电机的电枢电阻和电感 dtdilireuggg21jjjlllrrrmmgmg2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）45齿轮系的方块图齿轮系的方块图1)()(ssy2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）46随动系统的方块图随动系统的方块图02310)(1()()()(ksststtstkssswmmfryr023111)(1(/ ) 1)(1()()()(ksststtstststksmsswmmffmmym/210egkkkkk 2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）4

24、7控制系统的数学模型内容控制系统的数学模型内容n物理系统的动态描述数学模型物理系统的动态描述数学模型n建立系统数学模型的一般步骤建立系统数学模型的一般步骤n非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化n传递函数传递函数n控制系统的传递函数控制系统的传递函数n系统方块图及其变换系统方块图及其变换n系统的信号流图系统的信号流图2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）48系统的信号流图系统的信号流图n信号流图信号流图是表示一组联立线性代数方程的是表示一组联立线性代数方程的网络图，网络图，也是一种用图形表示的数学模型也是一种用图形表示的数学模型。n信号流图由节点和支路组成。信号流图由节点和

25、支路组成。n信号流图可由系统的方块图按对应关系得信号流图可由系统的方块图按对应关系得到；也可按微分方程绘制。到；也可按微分方程绘制。2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）49系统的方块图和信号流图的对应关系系统的方块图和信号流图的对应关系2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）50信号流图术语信号流图术语节点：节点：圆圈变量圆圈变量支路：支路：连接两个节点的有向线段连接两个节点的有向线段输入支路：输入支路：指向节点的支路指向节点的支路输出支路输出支路：离开节点的支路：离开节点的支路源节点（输入节点）：源节点（输入节点）：只有输出支路的节点（输入量）只有输出支路的节点（

26、输入量）汇节点（输出节点）：汇节点（输出节点）：只有输入支路的节点（输出量）只有输入支路的节点（输出量）混合节点混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点（中间变量）：既有输入支路又有输出支路的节点（中间变量）前向通道：前向通道：从源节点到汇节点经过任一节点不超过一次的通道。从源节点到汇节点经过任一节点不超过一次的通道。回路：回路：起点和终点为同一节点，且与其它节点相交不多于一次的闭环通路。起点和终点为同一节点，且与其它节点相交不多于一次的闭环通路。不接触回路：不接触回路：相互间没有公共节点的回路。相互间没有公共节点的回路。支路传输（增益）：支路传输（增益）：一个变量对另一个变量的函数关系。一个

27、变量对另一个变量的函数关系。2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）51信号流图简化规则信号流图简化规则2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）52mason（梅逊）公式（梅逊）公式n信号流图可不经过简化，直接求出输入节点和输出节点之间的信号流图可不经过简化，直接求出输入节点和输出节点之间的总增总增益益（总传输），即（总传输），即闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数。np p总增益；总增益；n n从源节点到汇节点的前向通道数；从源节点到汇节点的前向通道数；np pk k第第k k条前向通道的增益；条前向通道的增益； 信号流图的特征式；信号流图的特征式；n 所有不同回路增

28、益之和；所有不同回路增益之和；n 所有两个互不接触回路增益乘积之和；所有两个互不接触回路增益乘积之和；n 所有三个互不接触回路增益乘积之和；所有三个互不接触回路增益乘积之和；n k k第第k k条前向通道的特征式余因子，也就是除去了与第条前向通道的特征式余因子，也就是除去了与第k k条前向通条前向通道接触的回路后，残余信号流图的特征式。道接触的回路后，残余信号流图的特征式。nkkkpp11bcdeffedcbaallllll.1aalbccblldeffedlll2021-11-14第四讲-控制系统的数学模型（3）53mason公式应用举例公式应用举例n前向通道（前向通道（3 3）：）：p p1 1=abcdef=abcdef；p p2 2=ahdef=ahdef；p p3 3=abgf=abgf；n单独回路（单独回路（4 4）：）：l l1 1= -di= -di；l l2 2= -bgj= -bgj；l l3 3= -hdej= -hdej；l l4 4= -bcdej= -bcdej；n特征式：特征式： 1 1（l l1 1+l+l2 2