（地球探测与信息技术专业论文）均匀半空间复杂地形频率域人工电磁响应计算.pdf

桂林工学院硕士学位论文 摘要 本文使用边界积分方程法，给出了复杂地形界面上的电磁场满足的积分方程。然后 使用矩量法，将电磁场积分方程离散成与原积分方程在一定的精度下等价的线性方程组， 通过使用超松弛迭代法求解这个线性方程组，就可以求得地形界面处的电磁场的值。 在处理边界积分时，由于基本函数固有的奇异性，使得边界积分在特定的单元上的 积分不存在。为了克服这个困难，使用正则化方法，以得到有限的积分值，使计算的精 度提高，并保证在地形复杂情况下所得的系数矩阵也是主角占优的。 最后模拟计算了电偶极子和磁偶极子源在长坡地形模型上的电磁响应，以及垂直磁 偶极子源的频率测深视电阻率曲线和剖面视电阻曲线。 从这些结果可发现，地形对电磁方法的影响是非常大。当源的方向和地形走向一致 时，地形的影响最大，并且电场所受的影响比磁场的要大。 关键词：频率域电磁法边界积分方程矩量法视电阻率 桂林工学院硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ei n t e g r a le q u m i o n so ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s0 1 1t h er e l i e f t o p o g r a p h yh a v eb e e ng o tb yt h eb o u n d a r yi n t e g r a t i o ne q u a t i o nm e t h o d t h e i n t e g r a le q u m i o nc a l lb el i n e a r i z e db yt h em o m e n tm e t h o di n t oal i n e a re q u i v a l e n t e q u a t i o n ，a n dt h e ns o l v i n gt h el i n e a re q u a t i o nc a ng e tt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s o nt h es u r f a c e b e c a u s eo ft h e s i n g u l a r i t yo ft h ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n , t h eb o u n d a r y i n t e g r a t i o no v e rt h es p e c i a lt r i a n g u l a re l e m e n ti sn o td e f i n i t e i no r d e rt og e t d e f i n i t ei n t e g r a t i o n ，t h er e g u l a r i z a t i o nh a sb e e ne x p l o i t e d ，a n dt h e nt h ea c c u r a c y h a sb e e ni m p r o v e d t h ee l e c t r o m a g n e t i cr e s p o n s e so ft h el o n gd e c l i n e dt o p o g r a p h ye n e r g i z e db y a r t i f l c i a ld i p o l es o u r c eh a v eb e e nm o d e l e d t h ea d p a r e n tr e s i s t i v i t yc u r v e so ft h e f r e q u e n c ys o u n d i n ga n dt h eh o r i z o n t a lp r o f i l i n ge x c i t e db yt h ev e r t i c a lm a g n e t i c d i p o l es o u r c eh a v eb e e nd i s p l a y e dh e r e a c c o r d i n gt ot h o s er e s u l t s ，t h et o p o g r a p h i ca f f e c t so nt h ee l e c t r o m a g n e t i c m e t h o da r ev e r yb i g m e nt h ed i r e c t i o no ft h es o n r c 叁i ss a n l ew i t ht h ed i r e c t i o n o f t o p o g r a p h i ct r e n d ，t h et o p o g r a p h i ci n f l u e n c ei sb i g g e ra n dt h ei n f l u e n c eo nt h e e l e c t r i cf i e l di sb i g g e rt h a ni to nm a g n e t i cf i e l d 8 k e yw o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i cm e t h o di nf r e q u e n c yd o m a i n ；b o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n ；m o m e n tm e t h o d ，a p p a r e n tr e s i s t i v i t y 2 桂林工学院硕士学位论文 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权说明 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是我个人在阮百尧教授指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得桂林工学院或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。对论文的完成提供过帮助的有关人员已在论文 中作t 明确的说明并致以了谢意。 学位论文作者( 签字) ： 垒臣铨 签字日期；垂呼。 ：辛 版权使用授权说明 本人完全了解桂林工学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和 电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它 复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部 内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 学位论文作者( 签字) ： 指导教师签字： 桂林工学院硕士学位论文 第1 章引言 电子测量技术的发展，为电磁法在矿产勘探中的应用奠定了基础。随着对金属资源 需求的不断扩大，面临着勘探大深度的金属矿产以及在地形复杂地区进行电磁法勘探的 问题。为了更有效地使用电磁法寻找矿产，必须从理论上研究典型地电模型的电磁响应， 以熟悉异常形态，为野外工作设计和野外数据的解释提供基础。 电磁法，特别是人工源电磁场频率测深法，由于具有较大的勘探深度、较强的电性 分辨能力以及灵活方便的观测方式，在有色金属矿产和能源矿产的勘探开发中正发挥着 越来越积极的作用。然而由于大部分有色金属矿产矿区都位于地形起伏很大的山区，而 地形又会对电磁信号产生很大的干扰，因此在有地形地区进行电磁法勘查时，必需考虑 地形的影响，如测量时选择地形影响最小的工作方式，数据解释前进行地形改正，否则 就会得到错误的结果。而要做到这些，必需有精确、快捷的地形影响的数值模拟计算方 法。 基于层状大地模型的电磁响应的计算应该是属于使用笔和纸进行计算的阶段，这些 模型比较简单，对于沉积型矿产的勘探有一定的意义。对在多山区进行金属矿的勘探也 就无能为力了，所以必须发展新的计算方法来模拟计算这种复杂情况下的电磁响应。 由于计算机技术的发展，为复杂情况下电磁响应的模拟计算提供了技术支持，而计 算技术的发展也提供了理论基础。 近年来，人们发展了很多种方法来模拟计算地球介质对各种电磁源的响应。有积分 方程法、有限差分法、有限单元法、边界积分方程法等。 积分方程法是基于当控制方程是线性方程时，它的任意个数的解的线性组合仍然是 方程的解。它主要是借助于g r e e n 函数来表达解。积分方程方法往往和微扰展开结合使 用。微扰展开就是将总场取为入射场和散射场的叠加8 ”。为了求得g r e e n 函数，使用的 都是层状大地或均匀大地“3 “。“4 “”，当地形起伏的数量级和均匀大地中的趋肤 深度的数量级相差不多时，电磁场将受到地形的强烈影响，以上所做的地面平整的近似 是不恰当的，所以我们将无法求得g r e e n 函数，积分方程法也就无法使用了。 研究地电模型的电磁响应，除了在积分形式的控制方程下进行分析外，也可以在微 分形式的控制方程下进行研究，有限差分法就是基于微分形式的m a x w e l l 方程，用差分 近似偏导数将原来的微分方程离散化后得到矩阵方程，然后结合边界条件求解这个矩阵 方程，求得所要求的解帆“”“7 ：4 “”。在将控制方程用差分离散的过程中，差分格 式的选取是很重要的。一个好的差分格式不仅要满足场量的一些条件( 如无散) ，还要具 有如下三个特性：相容性，收敛性，稳定性“1 。网格化也是一个很重要的因素，采用不 规则网格是很难得到合理的差分方程的，所以对于有地形的情况，差分法的用途也是有 l 桂林工学院硕士学位论文 限的。 有限元法源于结构力学，并在流体力学，弹性力学等学科中得到了广泛的应用。在 电磁波工程学中的应用历史也很长。在地球物理学中的广泛应用则是在计算机普及的近 二十年左右“”“”“。有限元法的基本思想就是建立个泛函，使这 个泛函取驻值时的解就是原微分方程的解，这样就可以利用离散技术来离散化这个泛函， 泛函就成为某个未知向量的正定二次型，我们就最小化这个二次型，求得未知向量，作 为我们的解。这种情况只对与微分方程对应的算子为自共扼算子时才成立，因为只有这 样才能保证刚度矩阵是对称的嘲。对于对应于不自共扼算子的微分方程，可以利用 6 a l e r k i n 法来建立离散的方程1 。在耗散介质中的电磁场的控制方程所对应的不是自共 扼算子，所以传统的泛函不能使用，必须重新定义泛函”，这样才能保证泛函和微分方程 的等价性。对于地球物理中的电磁场问题，由于空间的无限性，必须引入人工边界随”。 在进行电磁场的有限元模拟计算中，由于采用常规的使用结点处的场值进行插值所得到 的插值函数并不满足场量的无散条件以及在边界处也不满足边界条件，这些就导致了伪 解的出现，为了去掉伪解，在泛函中加入校正项册。j cn e d e l e c 在1 9 8 0 年引进了一类 新的有限元，这类有限元保证了场的无散条件都成立，而且对于场在边界处的切向连续 的条件也是满足的m 1 ，低阶的n e d e l e c 有限元是和w h i t n e y 有限元等价的阻“删。可以 利用边界上的场量的边界积分来表达无限空间中的场量“5 一。在处理开放性的问题时，可 以借助自然边界元法来减少所要离散化空问的大小，并且保证边界单元和有限元能自然 而直接地耦合起来1 。这是种非常有前景的方法。 使用边界积分方程法来研究人工源电磁法在勘探地球物理中少见报道，在光学以及 天线理论中则是使用的比较多的一种方法。在勘探地球物理学的分支磁法和重力勘 探中则是使用的比较普遍的一种方法“”，如延拓。边界积分方程法和积分方程法有些类 似，它们都是使用基本函数改写原来的方程，积分方程法改写的原则是所谓的微扰假设， 而边界积分方程法得到的边界积分方程是精确成立的，它没有引入任何的近似假设，所 以其是和原方程等价的。由于求解边界积分方程的方法不同，有边界元法，矩量法等。 在矩量法中，只要对对未知函数使用阶梯函数并把测试函数取为盯( 工) 函数时，所得到 的原边界积分方程的线性化方程是和边界元法所得到的线性方程相同的。 x us z a n dz h o uh ( 1 7 ) 瑚用边界元法模拟了二维地形影响；1 9 9 7 年，徐世浙、 阮百尧和周辉等人在国家自然科学基金的资助下又使用边界元法模拟了大地电磁测深的 三维地形影响”。人工源电磁法，由于激发源的三维的空间特性。大家往往只是考虑水平 均匀层状大地模型，撇开地形的影响，但是在实际的野外勘探，地形的影响是突出的，必须 研究地形与源的耦合的电磁响应阮百尧教授于2 0 0 5 年使用边界单元法来研究人工垂直 磁偶极予源在三维地形下的电磁响应的模拟计算。 总的来说，由于电磁法勘探中遇到的电磁场模拟是个开放的问题，不仅要处理无穷 桂林工学院硕士学位论文 区域的截断问题还必需考虑介质的耗散，尤其是时间域的问题更为困难。在电磁法的模 拟计算问题中，由于激发源和地形都是三维的，激发源附近电磁场变化梯度很大，数值 模拟难度很大，直到1 9 9 9 年，在美国盐湖城第二届三维电磁国际会议上才正式宣布人工 源三维电磁模拟和反演是可以实现的。阮百尧教授( 1 9 9 9 ) 曾与日本地质调查所y a t a k a m u r a k a m i 博士和日本九州大学y u t a k as a s a k i 博士合作就频率域垂直磁偶子源激发的电 磁场三维地形影响进行过研究“1 。目前人工源电磁频率测深实际测量中很少考虑地形 影响。数据解释前也不进彳亍地形改正，而直接进行定性和定量解释，这极大地影响了人 工源电磁法在地形地区的勘察效果。因此研究和发展一种计算速度快、精度高的人工源 电磁场频率测深地形电磁响应计算方法，计算三维地形对电磁频率测深法的影响，提出 减少地形影响的测量方法，以及如何对实测数据进行地形改正，对提高地形地区电磁法 勘察效果具有很大实际意义。 本文在假设均匀大地复杂地形的情况下，建立了边界面上的频率域电磁场满足的边 界积分方程，使用矩量法求解这个电磁场满足的矢量积分方程。然后使用这个方程来研 究各种偶极子源在具有起伏地形的均匀半空间上所激发的电磁场的性质，探讨地形与这 些激发源的相互作用并研究了介质的介电系数对电磁场的影响，以及垂直磁偶极子源 的视电阻率的测深曲线和剖面视电阻曲线。并探讨受地形影响最小的电极布置方式。 桂林工学院硕士学位论文 第2 章电磁场的边界积分方程【4 9 】 在电磁响应的正演计算过程中，可以根据不同的研究目的采用不同的方法，由于现 在是需要研究地形对电磁信号的影响，介质空间假设是均匀的，所以可以采用边界积分 方程来研究。在将电磁场所满足的微分方程改写成等价的地形面上的积分方程时，要使 用自由空间中的点源g r e e n 函数，并使用g r e e n 公式。然后将积分方程写成矢量形式的边 界积分方程。 2 。1 电磁场原理 电磁场的运动规律由m a x w e l l 方程来表现： v e + 罂；0 ( 2 1 ) a ， v h ：j + 塑 ( 2 2 ) 研 v d = 见 ( 2 3 ) v b = 0 ( 2 4 ) 这些方程表现了电磁场、源以及其运动的规律，但是它没有描述介质的性质。为了表现 电磁场与介质的相互作用，必须引进描述介质性质与电磁场相互作用的关系式。在一般 的关系式中，电场强度e 和磁感应强度b 作为激励量，而电位移矢量和磁场强度是在激 励量的作用下，介质所表现出来的电磁场性质对于一般的介质，下面的本构关系式成 立： d = d ( e ，b ) ( 2 5 ) h = h ( e ，b ) ( 2 6 ) 这是非常复杂的关系式，但是对于地球介质来说，除了少部分铁磁类的物质之外，大部 分都近似符合各向同性的假设，可以使用下面的方程来近似本构关系式； d = 占( r ) e ( 2 7 ) h ：l b ( r ) ( 2 8 ) 对于电流与电场的关系，使用下面微分形式的欧姆定律： j = o e ( 2 9 ) 上面这些关系式描述是介质中电磁场量之间的微分关系式，对于分界面上的电磁场量必 4 桂林工学院硕士学位论文 须用边界条件来给出场量之间的关系： n - ( d l d 2 ) = 见 n ( e l e 2 ) = 0 i l l ( i t i h 2 ) = j ， ( 2 1 0 ) n ( b l b 2 ) = 0 式中n 是界面的法线单位矢量，成和j ，分别是面电荷密度和面电流密度。这些关系式构 成了描述介质中电磁场性质的完备方程组。上面的方程组描述的是时间域的情况，对于 频率域的或者称为源是单色的情况，电磁场量对时间的依赖关系为： f ( r ，f ) = f o ( r ) e x p ( i c o t ) 、( 2 1 1 ) 则频率域的m a x w e l l 方程组可以写成下面的形式： v e ( ，) + i c o t b ( r ) = 0 ( 2 1 2 ) v h ( r ) = j + i c 0 6 ( r ) e ( r ) ( 2 1 3 ) 其他的方程在形式上不变，不过注意其他的量都是不含时间因子的。因为时间的作用都 包含在时间因子里面了。显然，在式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 中，电磁场量满足的关系式是一 阶偏微分方程，假设电磁场量满足高阶光滑的条件( 至少是二阶光滑的) 并在空间中不 存在源的条件下，可以得到电场和磁场满足的h e m h o l t z 方程如下： v 2 e + k 2 e = 0 ( 2 1 4 ) v 2 h + k 2 h = 0 ( 2 1 5 ) 式中k 2 = 2 z o s i o j o z 。) ，其中已经假设介质是无磁性的。 有了上面的方程以后，剩下的任务就是求解这些方程。我们知道在特定的边界条件下， 方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 的解析解是有限的，而且这些解的用途也是有限的。计算机技术 的发展以及计算理论的发展，都为数值求解这些方程准备了条件。目前，数值求解方法 有许多种，如差分法，有限元法，边界积分方程法，它们都是基于不同的数学原理的方 法，并且它们都适用于特定的问题，并不是通用于所有的问题的。在研究均匀大地复杂 地形的电磁场的问题中，采用边界积分方程法来求解方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 。下面给出 边界积分方程法的数学基础。 2 2 边界积分方程法的数学基础 在求解如下的二阶偏微分方程的过程中： v 2 + 七2 矿= 0 引进与方程( 2 1 6 ) 对偶的基本函数满足的如下方程： v 2 g ( j ，x ) + | 2 g ( x ，工) = j 3 0 - - x ) 5 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 桂林工学院硕士学位论文 式中x 是计算点的坐标，x 是源点的坐标。注意这个基本函数是和方程( 2 1 6 ) 的解满足 相同的边界条件的，在我们现在的情况下，基本函数满足无穷远的自然边界条件。从物 理学的角度来看，基本函数起着传播子的作用，它起着把在特定的点对之间的电磁场量 联系起来的作用。下面的g r e e n 第二公式在边界积分方程法中的作用是基本的： m ( 妒2 妒妒2 矿) 咖= ( 妒等一妒静凼 ( 2 1 8 ) 下面我们就借助于方程( 2 1 8 ) 使用妒在区域边晃上的值以及法向导数来表示区域中的。 由于在有源存在的情况下，方程( 2 1 6 ) 不成立，所以利用一个虚构的小球把源挖去，如 图2 1 所示。在式( 2 1 8 ) 中取= g ( x ，x ) ，使用式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 可以得到： 杀= j ( g ( ) 警叩堡笔竽渺 ( 2 ) 在得到上式的过程使用了下面的式子： l 占3 ( x - - x ) d v = 石0 2 ( 2 2 0 ) 式中国是区域q 的边界对点x 所张的立体角。其中当点x 位于边界上时= 2 n ，当x 位于 区域中时，m = 4 n ，在本文中，只需要这两种情况的值，故其他情形不讨论。注意上式 中的积分面是s = l + r 。故式( 2 1 9 ) 中的积分可以分成两部分之和如下； 五：f 【( g ( w ) 挈一伊旦哗玛凼 ( 2 2 1 ) 。dno n 乃= l i mf c , ( g 似工) 等一妒掣凼 下面我们来讨论疋计算。这主要是根据物理图像 进行推理。我们假设边界r 趋于无穷远，由于由 点源产生的电磁场量在无穷远处是趋于零的，可 以预计到正也趋于零，由于点x 是位于区域中的。 取田= 4 n - ，得到下式： 脚亚( g ( t x ) 等一竹掣= 竹( x ) ( 2 2 3 ) 式中纷( 砷是源在自由空间中产生的场。下面我 们从物理的角度来分析一下式( 2 2 3 ) 的含义 回想起波动光学里面的惠更斯( h u y g e n s ) 原理， 图2 i 空间剖分示意图 即介质中波所影响的各点，都可以看成新的点源，这些点源又整体影响其他各点，这样 波就传播出去了在我们的情形，源在自由空间产生的场可以用包围源的封闭曲面上的 6 桂林工学院硕士学位论文 电磁场量借助于g r e e n 函数来表示。其实这只是源的不同表现形式罢了。故式( 2 1 9 ) 可 以写成下面的形式： 老妒( x ) = 竹( x ) + ( g x ) 警一妒旦鱼象立) 西 ( 2 “) 下面我们给出方程( 2 1 9 ) 在自由空间的解，就是点源产生的场，即g r e e n 函数或者 亦称基本函数。由于对称性，故函数o ( x ，x ) 仅是r 爿x x i 的函数，在以点工坐标原点 的球坐标系中，方程( 2 1 9 ) 可以写成下面的形式； 7 1 石d ( ，2 彬g 砘，o ( 2 2 5 ) 令 g ：盟 ， 将式( 2 2 6 ) 代入式( 2 2 5 ) 得到： 窘搿矿= 。 ( 2 刀) 这个二阶常微分方程的解如下： 纯= a e x p ( - i l r ) 和仡= b e x p ( i k r ) ( 2 2 9 ) 故g 的两个解如下： g ，：ae x p ( - i 矿) 和g 2 ；be x p ( i k r ) ( 2 2 9 ) rr 式中一，暑是常数。从上式可见，这两个解在，= 0 处都是奇异的，它们每个都可以作为 基本解，但我们必须根据物理图像来选择恰当的解，如对于点源场，可以认为当r 寸0 0 时， 场量趋于零，这才符合物理常识。假设k = a b i ，其中b 0 ，那么只有解g 符合我们的 要求。下面来求常数彳的值。又因为式( 2 1 7 ) 在区域q 中满足如下的积分； m ( v 2 g + k 2 0 ) d v = m 一艿3 0 j 。) 咖= 一t ( 2 3 0 ) 由于解g l 在，= 0 是奇异的，所以我们用一个半径为f 小球将点膏+ 挖去，在这样的一个区 域中，解是处处有定义的，见图2 1 。故式( 2 3 0 ) 中的积分为下面的形式： m ( v 2 g + k 2 g ) d v = l 。i r a l - - f l 。( v 2 g + j 2 g ) d v ( 2 3 1 ) 将g 。代入式( 2 3 1 ) ，可得到。 m ( v 2 g + k 2 g ) 西= 删 故得： 7 ( 2 3 2 ) 桂林工学院硕士学位论文 g = 击e x p ( 一妇) ( 2 3 3 ) 有了上面这些基础，就可以着手建立电磁场的边界积分方程了。这个方程是个矢量形式 的第二类f r c d h o l m 积分方程。 2 3 频率域电磁场的边界积分方程 下面利用上面的公式给出电磁场的边界积分方程。由这个方程，可以利用边界上的电 磁场值来表达空间任一点的电磁场值。在得到这个积分公式以后，我们让空间点趋于边 界上，这样，就得到了边界上场的闭合的积分方程，求解这个方程，就可以得到边界面 上的电磁场值。 由方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 我们知道，在特定的直角坐标系中，电场和磁场的每个分 量都满足齐次的h e l m h o l t z 方程。故在如图2 1 所示的区域中，对电场和磁场的每一给分 量都可以应用方程( 2 2 4 ) ，即得： 署驰m 脚+ 脾埘+ ) 鲁一e 丝篙芦西 ( 2 3 ，) 昙珥= 只，+ ( g x ) 等一皿掣) 凼 ( 2 3 4 ) 式中f = 1 ，2 ，3 对应于x ，y ，z 轴分量。写成矢量形式如下： 昙酬= e y ( 功+ ( g ( 圳, 面a e e 垦雩凼 ( 2 3 5 ) 昙聊) = h ( 功+ f f ( g ) 罢一h 篙净凼 ( 2 3 6 ) e h 于电磁场的法向导数不是我们所要求的量，下面将其用电磁场量表示出来，这样将导 致方程( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 之间的耦合。 在进行推导之前，先证明下面两个式子： 【v c d 3 x = l n 徊 ( 2 3 7 ) 脾a d k f n a d s ( 2 3 8 ) 证明： 式( 2 3 7 ) 的证明。用一个常矢量a 点乘式( 2 3 7 ) 的左边，得到： 胁v 刃k = 小v q 力d k = 肛打如 在最后一步使用了g a u s s 定理。 因为a 是任意的常矢量，故得： 桂林工学院硕士学位论文 m v 阿3 z ：f n 徊 即式( 2 3 7 ) 得证。 式( 2 3 8 ) 的证明。仍然用一个常矢量a 去点乘式( 2 3 8 ) 的左边，得到： 船( v a ) d 3 x = 小v ( a x a ) d 3 x = ( a a ) n d s = l ( n a ) , a d s 上面也使用了g a u s s 定理。因为a 是任意的常矢量，得到： 脾a d 3 x = f n a d s 即式( 2 3 8 ) 得到了证明。下面不加证明地给出下式： v x ( v x a ) = v a ) 一v 2 a ( 2 3 9 ) 下面我们来进行方程( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 的改写，由于想去掉电磁场的导数项，故： f f g 罢西= j 钮v e 西= f n v ( g e ) d s 一i e ( n v g ) d s ( 2 4 0 ) 使用g a u s s 定理改写如下这项。 l n v ( g e ) d s = m v 2 ( g e ) d 3 x ( 2 4 1 ) 借助于式( 2 3 9 ) ，式( 2 4 1 ) 可以进一步改写如下： m v 2 ( g e ) d 3 x = m v ( v ( g e ) ) 一v ( v ( g e ) 】d 3 x ( 2 4 2 ) 又用式 2 3 7 ) 和式( 2 3 8 ) 可以将式( 2 4 2 ) 后面的两项改写成面积分的形式： m v ( v ( g e ) d 3 x = 肛( g e ) d s ( 2 4 3 ) j j v ( v x ( g e ) d 3 善2j 【n ( v ( g e ) d s 故方程( 2 3 5 ) 可以改写成下式： 4 国- - 万- e ( x ) = e ，+ 肛( g e ) d s 一i n 蚋( g e ) d s - 2 f e 篙净凼 对于磁场我们也可以得到和式( 2 4 5 ) 相类似的式子如下： 嚣脚) = h ，( 卅肛( o i ) d s 一f n 呷x ( g h ) d s 一2 j i h 堡鼍净西 9 ) ) ) “ 郇 拍 q q q 桂林工学院硕士学位论文 这两个方程还是电场和磁场的独立的积分方程。它们还不是耦合的。下面利用电磁场的 m a w x e l l 方程继续改写式( 2 4 5 ) 和式( 2 4 6 ) 。因为对于自由空间中的电磁场，下面的式 子成立： v e = 0( 2 4 7 ) v h = 0( 2 4 8 ) 对于频率域的情况，下式成立： 可e = - i c a p h v h = ( c r + f 傩1 e 故式( 2 4 5 ) 可以写成下面的形式： 罢鳓2 驯+ 舯v g ) d s 一f n 鼢d m 忡m , - 2 e 篝蕾 对磁场可以得到如下方程； ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 罢l 聊= 弓+ 仔叼娜，7 ，一一百、| 、 一j n 册脚旧肛阱z 胆静、 下面伟两式桌揣力黧f 多t 彳、弋、 下面就可以使用上面两式来分析边界面上r ? 的电磁场，可以看到在这两个方程中，电场 和磁j：黧5。1，和；。：52，来、，上，7下面就使用式( 2 ) 和式( 2 ) 来 、二! 一一，。 得到界面r 上电磁场满足的闭合方程。由于 图2 2 实际的地形 在界面r 两侧的介质性质是不相同的，所以 必须对界面r 上的同一点在不同的介质空间中使用式( 2 5 1 ) 和式( 2 5 2 ) ，然后再利用边 界条件把这两组方程组合起来，就构成了界面上的电磁场的闭合方程。下面我们对上半 空间中的量使用脚标i 表示，下半空间中的量用脚标2 示之。界面r 的方面采用向下( 即 垂直地面向下) 为正? 在上半空问中，引进虚拟边界r l ，由于源在这个半空间，故式( 2 5 1 ) 和式( 2 5 2 ) 中自由项是存在的，所以得到如下的电磁场边界积分方程： 罢e l = e ，+ 如n ，- v g 一) d s 一虬n l ( 吗e t ) d s + f 掣址g l n l h 1 出一2 玑e 。挚 桂林工学院硕士学位论文 弓1e ，= e ，+ j f n ，( e 。v g l ) d s 一i n 一( 响e , ) d s 。嘲脚h l 一i e l 掣渺 q 5 2 其还可以改写为下面的形式： 三e 。( 曲= e ，一( n - e 1 ) v g , d s 一n - e l v g l 出 ( 2 5 4 ) + f 掣ig l n i h l d s 丢h l ( 加h ，( 沪；( n i xh i ) x v g t d s 一f n - h l v g i 凼 ( 2 5 5 ) 一f lg l n l e - d s 上面这组方程只表达了上半空间对点x 处电磁场的影响。所以f 面还必须给出f 半空间中 的介质对点x 处的电磁场的影响的表达式。还是采用上面的方法，在下半空间中，取一点， 建立积分方程，再取极限，就得到如下的方程，注意，在这个空间中没有源存在，故自 由项不存在： 毒e ：= f n ：v g ) d s - f n ：( e 2 胁 + ，o f f g 2 n 2 h 2 凼一2 f e 2 号净出 h ：= n ：( h ：刃g 2 ) 凼一n z g 2x h ：) 凼 嘶，删脚喁艄j h ：警凼 q j 7 将其进一步改写成如下； 莓 兰 饥邸 叫 讽 m 胁 举 加狮 配 酗 卅奶 州 一 h ： 桂林工学院硕士学位论文 圭e ：( 力= 一i f ( n 2x e 2 ) x v g 2 d s - f f n z e z v g ：出 ( 2 5 8 ) + f 掣j l g 2 n 2 h 2 d s 圭h ：( = 一i j ( n 2 h z ) x v g 2 d s - f n ：h z v g z 凼 ( 2 5 9 ) 一( 盯+ f 嬲) f 【g 2 n 2x e 2 d s ， 上面这些方程都是边界积分方程，而且我们只有六个未知数，但有1 2 个方程，所以有多 余方程存在，下面我们利用边界条件来改写。式( 2 1 0 ) 在无源的时候成为下面的形式： n ( d l d 2 ) = 0 ( 2 6 0 ) n x ( e l e 2 ) = 0 ( 2 6 1 ) n x ( h 1 一h 2 ) = 0 ( 2 6 2 ) n ( b l b 2 ) = 0 ( 2 6 3 ) 式( 2 6 0 ) 进一步写为： 占o l t e l = f 2 n e 2 ( 2 6 4 ) 这是对于电介质而言的。对于两种介质都是导电介质，则可以使用电流法向连续的边界 条件： q n e l = 0 2 9 e 2 ( 2 6 5 ) 由于我假设了介质是无磁性的，故h 是连续的。考虑到空气是不导电的，我们使用边界 条件( 2 6 4 ) 式。由于n l = _ n 2 = n ，故由式( 2 5 4 ) ，( 2 5 5 ) ，( 2 5 8 ) ，( 2 5 9 ) 对于空气 与导电介质分界面而言： 设 口；三l 一1( 2 6 6 ) 岛 并且在界面上不再区别在不同介质中的情形，直接用边界上( 即媒质一边上) 的电磁场 量来表示，即去掉了场量的下标但是不同介质中的基本函数还是使用下标以示区别的， 可以得到下面的式予： e + 告( 伽e ) n = e ，+ j i ( e ) v ( g 2 一o 。) d s + i l ( v g 2 一( 1 + 口) v g l ) e d s ( 2 6 7 ) 一f 掣( g 2 一g 1 ) ( n h ) 凼 这是以界面上的电场和磁场来表示界面上一点处的电场的积分方程式。 对于磁场，可以得到下面的积分方程： 1 2 桂林工学院硕士学位论文 h 。h ，+ f ( n 棚) v ( g z - g ，) d s + j n * h v ( g 2 - g i ( 2 6 8 ) + il 【( 盯+ i c o 占) g 2 一f 船o g l ) i n e d s 上面这个积分方程是用界面上的电场和磁场来表示界面上某一特定点处的磁场的式子。 上面的积分方程( 2 6 7 ) 和( 2 6 8 ) 在上半空间是电介质的情况下导出的。 对不同的导电介质界面而言，由于上半空间为导电介质的情形，电场的法向可以使 用边界条件( 2 6 5 ) 式。并且取这两个半空间的介电常数都为真空介电常数。 设口：垒一l q 故得到： e + i l ( 伽e ) n = e ，+ ( n e ) v ( g 2 - g 1 ) d s + l ( v g 2 一( 1 + a ) v g l ) n e d s ( 2 6 9 ) 一i a y ti ( g 2 一g 1 ) ( n h ) d s 肚h ，+ f ( “h ) ( g 2 - g 1 ) 虮f n 肿( g 2 - g 1 ) 出 ( 2 7 。) + ll 【( c r 2 + i 脚8 0 ) g 一( q + f 国氏g i ) 】n e d ， 现在来看看式( 2 6 9 ) 和式( 2 7 0 ) 的意义。如果取这个两个介质半空间的电导率相等， 这就意味着这个电性界面式不存在的。因为1 2 = 0 ，而且在两个半空间中的基本函数是相 同的，所以式( 2 6 9 ) 和式( 2 7 0 ) 中的所有面积分项都消失了，这正好是源在自由均匀 的全空间中产生的场。所以这组方程可以用来研究基底有起伏的电性界面对电磁法测井 所产生的影响。 由于我们是研究地形对电磁法的影响，所以使用积分方程( 2 6 7 ) 和( 2 6 8 ) ，所以必 须给定下半空间中的介电常数。在下面通过引进导电介质的等效介电常数，可以把上面的 两种情况统一起来 2 4 介质的介电常数、电导率以及它们与频率的关系 我们知道，描述介质在外场中的性质可以使用本构方程，这些方程和m a x w e l l 方程 组构成完备的描述介质在外电磁场的作用下的行为的方程。由于介质中有无自由电子的 存在，使介质的性质表现出很大的不同，如理想电介质中电磁场的无耗性，即电磁场在 这样介质中是以波动的形式传播的：而导体中的电磁场是衰减的，或者说电磁场在导电 介质中是以扩散的形式向外传播的，在传播的过程中，电磁能将转变成热能。由于地球 介质的复杂性，即地球介质是多种矿物的集合体，并且还有水的介入等，所有这些都 1 3 桂林工学院硕士学位论文 使问题复杂化。水分子是极化分子，其相对介电常数高达8 0 左右，所以其对电磁场的影 响尤甚。从微观来说，介电常数反映的是介质中的束缚电荷对外电场的响应，而电阻率 反映的是( 准) 自由电荷对外场的作用。对我们所遇到的地球介质而言，其中自由电荷 和束缚电荷都是存在的，并且电荷的分布是不均匀的，这样就导致了介质的介电性质的 各向异性，所以问题是很复杂的。我们假设地球介质的各向异性是正交各向异性。 对于导电的介质，在这里我们假设介质中不含有束缚电荷，由于其中含有准自由的 电子，并假设这个电子所受到的阻尼力是和其运动速度成正比的，只是方向相反，设比 例系数为，在外场e oe x p ( i 国t ) 的作用下，电子的运动方程为【5 2 】： m j m y o xe e oe x p ( f 甜) 式中m 是电子的质量，p 是电子所荷电荷的电量，具有正号。 上面方程的稳态解为： x = 旦_ _ e oe x p ( i c o t ) 埘缈t 一z y oj 故可以求得单位体积中的电流密度为： j ：e n i ：丝j e 小7 0 + ， 由欧姆定律j = o e 可以得到电导率如下： ：丝1 (271)49 = 一 l z my o + l 脚 这就是所谓的d r u d e 关系式。 由上式可见电导率是和频率相关的，但是由铜在试验上的测量结果得到 y o “4 x 1 0 ”h z ，故对于电磁法勘探所使用的频率段来说，上面的式子可以写成下面的形 式： 盯：丝 ( 2 z ) c r = 一 t z e p 电阻率几乎是独立于频率的。 对于导电介质的介电常数，可以这样来求取。我们假设介质的导磁系数* g o ，由 c l a u s i u s m o s s o t t i 关系式可以得到5 2 】； 2 茜2 = 等h 丽f oi + 萎干去召 亿，) 在占和气相差不大的时候，可以得到下面的式子： 1 4 桂林工学院硕士学位论文 一一，丝m o ) 熹y o + 等萎赤+ l n ：；一+ 1 7 ， = 叫磊n e 2 鬲f o = 罢 m y o 寺| 疋= 岛十等萎忐 ( 2 7 4 ) ( 2 7 5 ) 式中是单位体积中自由电子占总电子数的百分数，q 是束缚电子的固有圆频率，以是 束缚电子的阻尼系数，正是单位体积中束缚电子占总电子数的百分数，其中j 表示束缚电 子的类别。 显然最表示的是没有自由电子时介质的介电系数，可见它是与频率相关的，若假设 介质中没有束缚电荷，故占= 岛，所以对于导电介质，介电系数为： 占= s o f 二( 2 7 6 ) 显然，由于氏= 8 $ 5 4 1 8 x 1 0 - 1 2 f 。搬，所以在我们的情况中，可得到： 占= 一要 ( 2 7 8 ) 从形式上来说，这个式子表示的是电荷均匀分布的大块介质中的情况。当在空气和导体 界面上接触面处，实际上，由于假设空气不导电，所以其中没有自由电子，即电子的运 动被限制在平面中运动，故由于电子运动方向的各向异性，导致了介电系数的各向异性， 放由式( 2 7 4 ) 可知，界面法线方向的介电常数为介质中没有自由电子时的介电常数，故在 界面附近的介电常数为张量的形式： = s ：一l o l 00 国 0 巳一f 1 0 m 0 0 疋 ( 2 7 9 ) 在两种不同的导电体的接触面处，由于自由电子可以自由贯穿分界面，所以它的传导电 流密度的法向分量连续。 有时候，尽管有水的存在，但是，水的介电系数相对于导体的介电系数还是小的， 所以可以略去水的介电性质的影响，但是在高频率和导电性非常差的介质中，如干燥地 区的灰岩区，必须要考虑介质介电性质的影响，在大多数情况下，可以不考虑介电性质 的影响，这必须考虑具体的实际情况。 由上面的关于电导率的表示可以知道，在电导率与频率的关系比较紧密的时候，可以 提取介质的单位体积中的电子密度这个参数，显然这个参数反映介质中的金属物质的含 l s 桂林工学院硕士学位论文 量，当然也有另外的情况，比如说离子的存在会干扰正确结论的取得，所以要综合多种 资料下结论，才能符合实际的情况。 对大多数造岩矿物而言，相对介电常数不超过1 0 1 1 ，但是有些矿物的相对介电常 数可达2 0 甚至达8 0 1 7 0 。对于广泛分布的岩石，尤其是沉积岩，影响介电常数的主要 因素是其含水性，而且水分予的张驰极化是介电极化的重要原因。对于干燥和坚固的岩 石，矿物成为为影响介电常数的重要因素。对于植备覆盖的第四纪沉积物，其是富含水 的，故其介电常数变化很大。土壤固体的相对介电常数是2 5 ，故对于一般情况下的土 壤，含水的多少将决定介电常数的大小。 水的极性分子主要受电场的影响，因此湿润土壤的介电常数与容积含水量0 有关，对 介电理论的复合模型，土一水一空气组成的混和体的介电常数可以用下面的式子来给出 哪l ： l 占，2 e c + ( 1 一疗) + ( 刀一护) 】4 ( 2 8 0 ) 式中占。、。，f 。分别是水、土壤固体颗粒、空气的相对介电常数；n 是土壤的孔隙率； 口是一个和电场方向相对于介质的几何特征的一个因子，当电场平行于土壤层时口= l ， 垂直于土壤层时口= 一l ，对各向同性介质，取口= 0 5 。假设土层足够厚，符合各向同性 假设，故取口= 0 5 。空气的相对介电常数为g a = l ，取口= 0 ，即介质是干的，得到： 占，= 【( 1 - n ) 占+ 行】2 ( 2 8 1 ) 当0 = l ，即土是饱水的时候，得到； 8 = n s 。+ o - n ) 3 s