人教版选修21第二章椭圆椭圆的几何性质讲义

案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突知识点 椭圆的几何性质由椭圆方程研究椭圆的性质。(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致）（1）范围从标准方程得出，即有，可知椭圆落在组成的矩形中。（2）对称性把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称。换成方程不变，图象关于轴对称。把同时换成方程也不变，图象关于原点对称。如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。轴、轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3） 顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点。令,得，因此椭圆和轴有两个交点，它们也是椭圆的顶点。因此椭圆共有四个顶点：，。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴，长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的,对称性、顶点。因而只需少量描点就可以较正确地作图了。（4） 离心率长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同，这种扁平性质是由椭圆焦距与长轴长之比来决定的。由于，所以离心率的范围是。 当,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例；当,椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例，如右图所示。 典型例题分析 题型1 椭圆中几何性质的考查 【例1】 已知椭圆的方程为的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 。 解析 先化成标准方程,再确定有关性质。 将化为标准方程。椭圆长轴在轴上,其中，长轴长,短轴长,焦点坐标为，顶点坐标为、。离心率为。答案 18；6；，；，规律总结 （1）要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率以及准线方程。（2）熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质,这些基本概念是解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的基础和关键。 【变式训练1】 求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标。 答案 将方程化为,得，。故椭圆的长轴长为,短轴长为,离心率，焦点坐标为,顶点坐标为，。【例2】 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，若,椭圆的离心率等于，的面积为（为坐标原点），求椭圆的方程。解析 求椭圆的方程就是利用待定系数法求、,因此,根据已知条件列出关于、的等式构造方程求解即可。答案 ，因为椭圆的离心率，则， 设,由知,，代入椭圆方程得，。的面积为,即，故椭圆的方程为。方法指导 由椭圆的几何性质,求椭圆的标准方程的一般步骤是：（1）构造方程求、的值；（2）确定焦点所在的坐标轴；（3）写出标准方程。【变式训练2】 已知、是椭圆的左、右两个焦点,是椭圆上位于第一象限内的一点,点也在椭圆上,且满足（是坐标原点）,。若椭圆的离心率等于，的面积等于，求椭圆的方程。答案 题型2 椭圆的离心率【例3】 如右图,是椭圆上一点,、为焦点,设,且,求椭圆离心率。解析 由于条件都集中在焦点三角形(椭圆上一点与两焦点组成的三角形)中,因而可以利用解三角形的方法建立起参数与的关系,从而求出离心率。答案 (利用正弦定理)。规律总结 本题主要考查椭圆的定义,离心率的定义及椭圆的相关基本知识。【变式训练3】 已知为椭圆的左焦点,、分别为椭圆的右顶点和上顶点,为椭圆上的点,当,（为椭圆中心)时,求椭圆的离心率。 答案 方法一：由已知可设椭圆的方程，因为,所以，即，=kx,即，。 方法二：由方法一知,又，即，。 【例4】 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率，已知到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标。 解析 最值问题的讨论是解析几何中的常见问题,本题首先可以考虑建立起距离目标函数,转化为函数最值问题来求解。 答案 设为椭圆上的动点,如右图。，即得,椭圆方程可进一步写为。由两点间距离公式得。（1）若时,即时,当时，最大值为，方程无符合要求的解；（2）若时，即时，当时，最大值为,从而，所求椭圆方程为：。取到最大值时的点的坐标为。 规律总结 最值问题由于变量的取值范围必须进行分类讨论,本题的误点为利用几何特征会认为最大值点为椭圆的下端点，这是不完整的，仅当才成立。要注意范围在题目中的隐藏。 【变式调练4】 已知椭圆,、是其长轴的两个端点,若椭圆上存在一个点,使，求椭圆的离心率的取值范围。 答案 设,则,，由对称性,不妨设,是是到的角。,整理得。又，联立、可得。 又,，即,解得或（舍去）。 故所求的取值范围为。 题型3实际问题【例5】 彗星“紫金山一号”是南京天文台发现的,它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆,测得轨道的近日点距太阳中心1.486天文单位,远日点距太阳中心5.563天文单位(1天单位是太阳到地球的平均距离,约km),近日点、远点及太阳中心在同一条直线上,求轨道的方程。解析 建立坐标系,用待定系数法求解。 答案 设太阳中心、近日点、远日点分别为,如图所示,建立直角坐标系,则椭圆的方程为。由。解得5，5。2。 因此,所求轨道的方程为。 规律总结 解实际应用题的关键是依据应用题给出的条件,建立起数学模型,本题通过建系,将问题归结为求椭圆的标准方程问题,因而可采用待定系数法,有关椭圆形轨迹问题，应注意如下结论的直接应用:“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点,恰是椭圆长轴的两个端点。” 【变式训练5】 已知某荒漠上、两点相距2km，现准备在荒漠上开垦出一片以、为一条对角线的平行四边形区域,建农艺园,按照规划,平行四边形区域边界总长为8km。 (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少? 答案（1）以所在直线为轴,的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，。设平行四边形的另两个顶点为，则由已知得。由椭圆定义知点在以为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时，则。点在轨迹方程为，同理点轨迹方程同上。所以当为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为km2。规律 方法 总结1. 关于椭圆几何性质的类型椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长轴长、短轴长、焦距、离心率;另一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标。对于第二类性质,只要将的有关性质中横坐标和纵坐标互换，就可以得出的有关性质。 2.关于椭圆几何性质的理解 （1）通过对椭圆的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握椭圆的形状、大小和位置。 （2）椭圆的焦点决定椭圆的位置；范围决定椭圆的大小；离心率反映了椭圆的扁平程度。 （3）解决有关椭圆的问题时,一般首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置。 3.椭圆几何性质的拓展 （1）椭圆上任意一点与两焦点构成的称为焦点三角形,周长为。 （2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成的直角三角形的边长满足。定时 巩固 检测第1课时 椭圆的几何性质基础训练1.椭圆的长轴的端点坐标是 （ ）A. B.C. D.【答案】 D(点拨:由椭圆准方程定又可知。)2.已知点在椭圆上,则的取值范围 （ ）A. B.C. D.【答案】 A（点拨:方程可化为,则,。）3.中心在原点,焦点在轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 （ ）A. B.C. D.【答案】 A（点拨:灵活运用公式。）4.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为 （ ）A. B.C.或 D.或【答案】 C（点拨：，可求得，故选C。）5.椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则离心率 。【答案】（点拨:由平方得,除以得,解得。）能力提升6.，是椭圆的左、焦点,点在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是 。【答案】（点拨:灵活应用三角形面积公式与、三者关系。）7.已知，是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是正三角形,则这个椭圆的离心率是 。【答案】（点拨：应用公式利用正三角形性质求解即可。）8.对称轴为坐标轴的椭圆的焦点，在轴上,短轴的一个端点为,已知的周长为,求椭圆的方程。【答案】设椭圆方程为。在中,，即。 又，即， 由、两式,得,。所求椭圆方程为，即 。第2课时 椭圆的几何性质的应用基础训练1.若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于 （ ）A. B. C. D.【答案】 B（点拨:)2.若椭圆的左焦点,右顶点,上顶点,若，,则椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D.2【答案】B（点拨：由题意得,从而有）3.若椭圆的离心率为，则实数的值等于 。【答案】3或（点拨:若,则；若，则。）4.中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,离心率为的椭圆方程是 。【答案】（点拨：，所以。）能力提升5.是上任一点,，是其两个焦点,则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【答案】 C（点拨:由椭圆的第二定义知,由于，故。）6已知点是椭圆在第三象限内一点,且它与两焦点连线互相垂直。若点到直线的距离不大于3,则实数的取值范围是 （ ）A. B.C. D.【答案】 A（点拨：容易得到点,于是有。）7.若椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是椭圆上的一点,在轴上的射