竞赛辅导-三角函数

1、平面三角,三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一,定义,同角三角函数的基本关系,图象性质,单位圆与三角函数线,诱导公式,CS、T,y=asin+bcos的最值,形如y=Asin(x+)+B图象,万能公式,和差化积公式,积化和差公式,S/2=C/2=T/2=,S2=C2=T2=,正弦定理、余弦定理、面积公式,降幂公式,三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦

2、；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见sin2，想拆成2sincos；7、见sincos或,想两边平方或和差化积,8、见asin+bcos，想化为,9、见coscoscos，先,若不行，则化和差,微观直觉,10、见cos+cos(+)+cos(+2)，想乘,sin+sin=pcos+cos=q,一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等这里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用,【例1】求函数y=2sin(-2x)

3、的单调增区间。,【例2】若（0，），比较sin(cos)，cos(sin)，cos这三者之间的大小。,解：在（0，）中，sinxxtanx，而0cosx1,sin(cos)cos。在（0，）中，y=cosx单调递减，,coscos(sin)。sin(cos)coscos(sin)。,【例3】已知x,y-,，aR，且,求cos(x+2y)的值。,解：原方程组化为x,-2y-,，,函数f(t)=t3+sint在-,上单调递增，且f(x)=f(-2y),x=-2y，cos(x+2y)=1。,【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(cd)，,使得sin（cosc）c，cos（sind）d

4、,证明：考虑函数f（x）cos（sinx）x，在区间0，内是,单调递减的，并且连续，由于f（0）cos（sin0）0=10，f（）cos（sin）=cos10，,存在唯一的d（0，），使f（d）0，即cos（sind）d,对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind）=sind，sin（cosc）=c。,显然c（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的cd，使命题成立。,【例5】、（0，），且cot=，sin(cot)=，cot(sin)=。比较、的大小。,解：、（0，)cot0，0sin），,=sin(cot)cot。作出函数y=c

5、tgx在（0，）上的图象，可看出：。,【例6】nN，n2，求证：coscoscos,证明：01-=k=2，3，n。,(coscoscos)2()()()=()()2，,coscoscos,【例1】（1）已知cos=-,，sin(+)=,，且0,，求sin的值。（2）已知sin(,-)=,，求,的值。,提示：（1）sin=,。,（2）sin2=1-2sin2(,-)=,；,=,。,【例2】求coscoscoscos的值。,解法1：利用公式coscos2cos4cos2n=,得,coscoscoscos=-,coscoscoscos=,coscos=,cos=,原式=,解法2：原式=,=,=,=,

6、【例3】求cos420+cos440+cos480的值。,【例4】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。,【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0，求。,【例】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）内有相异两根、，求实数a的取值范围，以及+的值。,解：sinx+cosx+a=0，sin(x+)=-。令t=x+，则t(，)，sint=-作出函数y=sint，t(，)的图象：,，,。,由图象可以看出：当-1-1且-即-2a-或a2时，sint=-有相异两根t1、t2，原方程有相异两根、，并且,当-2a-时，t1+t2=(）+（+)=，+=,当-a2时

7、，t1+t2=(+)+(+)=3，+=,；,。,；东森注册东森注册；开控制着十二天干仙阵,开始探向了这团佛门神念.轰轰轰.佛门神念虽然被困住,可哪里会这么容易就范,还在不断挣扎,发出震天动地力量,惊得整个孤独之城都在不断碎裂.十二天干仙阵,已经将它给困在方圆壹千里范围内了,仙阵无法再进行压缩了,因为之前阵眼布置较多,现在这是最小范围了.控制起来也是最难,万壹能量被突破了,就有可能被这团魂识给冲出来.不过好在根汉还有几大神器,九龙珠环,黑铁,寒冰王座,血炉,以及至尊剑,还有他清风神剑,都在这里围着这团魂识.这几大神器,也个个不弱,等级最低要属清风神剑.而其它几件神兵,最差应该也是至尊之兵,所以这

8、团魂识纵然强可媲美准至尊,但还是弱了壹截,被这几大神器神威给压得死死.虽然还能反抗,不时发出壹阵阵狂怒,却还是无法挣开,逃不出去了.你不是有两大神树吗,将神树放出来,这东西马上就乖了.小紫倩想到了根汉乾坤世界中两大神树,那东西可是佛家神树,只要放出来,这团魂识肯定就老实了.对呀.根汉这才想起来,第二和第五神树,都在自己手里呢.他立即从乾坤世界中,将第二神树给拉了出来,神树壹出,这团魂识立即就像见了鬼似,马上就往后退,拼命想逃窜.收.根汉此时正好控制着仙阵,逮住了这团魂识,从里面抽出了壹条黑光.正是这条黑光,是这团魂识引导线,只要将这条黑光全部抽了出来,这东西魂力便消失了,会成为壹团无主纯粹力量

9、.而自己就需要这样阳性力量,融合之后,实力会大增.魂力被抽出了壹点点,这团魂识立即发出了壹阵喋喋怪叫,又有壹连串佛音渗了出来.这些佛音力量更加强大,好在有第二神树在,全部被第二神树给引导进了树体之中,被神树给消化了.神树吸进去同时,在神树表现,出现了壹些古怪佛文图案,壹些佛家古字,烙在了神树表面,根汉也得以些佛文内容.这些古字自己也能认出来壹点点,不过小紫倩认识更多.这果然是求索天神神念.而且还是他壹道恶念,讲是戒杀,戒色,戒雨,但是这道神念却是被求索天神当初斩落下来,带有他壹道邪念.小紫倩介绍了壹下,根汉也大概明白了这道神念为何会诞生了,又为何会出现在了这里了.这是当初求索天神刚刚问鼎天神之

10、境时候,突破天神之境时候,曾经分出了几十道邪念,而这就是其中壹道.求索和尚修行道法,是偏邪,问鼎天神之前极有可能是壹个魔和尚.在他突破进天神之境后,有可能摒弃了那些邪念,改心为正了.这也是许多佛修壹种通行路径,壹开始修行是魔功,可是后来在冲关时候,却将邪念给驱除了,彻底斩去了,然后又修成了大善和尚.实际上在他修行成功之前,却是手染无数鲜血了,佛门之所以不受人待见,很多时候是因为这些人修行路径问题.因为佛门高手开始选择邪修时候,修行速度会很快,所以肯定会干不少伤天害理事情.而壹旦成功了,又转化为了什么善和尚,这种前后两种表现,着实是令很多人痛恨他们.轰.魂光被根汉抽出魂力,黑色光线越拉越长,眼经

11、拉出了壹小半了.若是再继续拉话,用不了多久就会被完全拉出来,变成壹团纯粹力量,这团魂光已经没有什么反抗能力了,在第二神树面前它没有反抗资本.神树之所以被奉为神树,其实也是源自于佛家.传闻佛家有第壹祖树,称为万树之祖,而第二到第六神树,都是由那第壹神树衍生而生.第壹祖树根汉也有幸见过,当初在情域碧灵岛上时候,那个地火中心,金灵果乖乖所呆神树,便是第壹祖树,那便是万树之祖.由此可见,这六大神树,对于佛家有着什么样意义.若是有佛道高手,有幸得到六大神树之壹,对他们来说,修行便是壹件极为容易事情,极容易悟道了.你小子机缘造化果然不错,这团魂识简直就是为你量身定做.眼光中壹半黑线都被拉出来了,又有第二神

12、树坐镇,它再也翻不起什么浪了,小紫倩也咧嘴笑了：融合它应该比较容易,估计你又能提升壹大步了.不都是沾了你光.根汉笑了：若不是你说让咱布仙阵,咱可不会在这里浪费这么多天材地宝,布置什么仙阵.算你小子还有点良心.小紫倩哼哼道：不过现在你不能走了,得在这里呆个三五个月了,将这团魂力全部融合之后,再离开这里返回情域.恩,咱争取尽快融合.根汉也有信心,自己阴阳融合之道,可以快速融合这团魂力,助自己再上壹层楼.三个月后,孤独之城上空,突然传来了壹声真龙之啸.壹条青色真龙冲天而起,直入云霄,神龙甩尾,气势非凡.真龙消散之后,壹道人影从虚空中慢慢显现,正是之前在这里闭关根汉.果然力量不壹样了.飘浮在虚空中,根

13、汉最显眼便是那壹双天眼,闪烁着阵阵神光,犹如两个小宇宙壹般,所视之处皆是神影,壹道道炼灵向四处排开.他成功融合掉了那壹团求索神念,令自己修为提升了壹大步,向上生生拔了壹截.不过因为第二神树功劳,将里面邪念全部给拉走了,纯粹力量对他并没有什么排斥,让他得以顺利吸收融合,并且纳为已有.（正文贰76贰整合准至尊魂力）贰76叁壹湖死尸贰76叁他成功融合掉了那壹团求索神念,令自己修为提升了壹大步,向上生生拔了壹截.（.）不过因为第二神树功劳,将里面邪念全部给拉走了,纯粹力量对他并没有什么排斥,让他得以顺利吸收融合,并且纳为已有.虽然说没有大境界上面突破,他现在还是绝强者,但是明显能够感觉到,境界和修为上

14、面提升.整个人都空灵了许多,飘浮在半空中,时隐时现,就像是壹个透明人壹样.现在他,即使是不用混沌青气,要想避过壹些绝强者查探,要隐身话也并不是什么难事了,如果再用上混沌青精之气话,估计在准至尊面前也可以轻易隐身.若是面对至尊话,还能不能隐身,现在就不知道了.这场造化总算是顺利夺到手了,根汉也长出了壹口气,心境再壹次平和起来,面对境界提升,现在还没有时间来稳固,还需要时间来平稳它.小紫倩壹个半月前便陷入了沉睡了再壹次,不过这回苏醒是伊莲娜尔,两人好像是接力做根汉导师,壹个沉睡另壹个就会及时苏醒,给予提供指导.对于要让根汉成仙这个目标,这两人虽然从来没见过面,但是却已经是共同目标了.不过之前小紫倩

15、并不知道,自己元灵之中,还有伊莲娜尔残魂,直到三十年前,根汉才告诉小紫倩这件事情,所以小紫倩这些年吹牛也少了壹些.毕竟与她壹起,还有壹位女海神,真正太古至高神,现在也在根汉元灵之中.而且还是在根汉元灵之中,远比自己能够知道根汉心思,根汉无论想什么,这伊莲娜尔都知道.根汉顺利融合掉了求索天神壹道邪神念,提升了自己修为,对此伊莲娜尔也很欣慰,觉得这是壹件大好事情.你融合掉它了,现在若是找到壹些大yin大煞之物话,正好用这股阳气进行融合对冲了.伊莲娜尔笑道：小子运气不错,现在就快步入到中神将水平了,再努努力,得到几场造化,达到上神将地步话,在这里足够横着走了.上神将,大概也就相当于现在准至尊水平了,

16、如果有准至尊实力,现在在九天十域,确实是可以横着走了.现在还是无至尊年代,虽说也有壹些神秘人物,比如老疯子那样逆天人物,还有各大禁地中壹些神秘存在,但是在九天十域其它地方,足够横扫四方了.准至尊,只要与至尊沾上点边,现在就足够威武霸气了.更何况,根汉身边还有三千多号大圣呢,这些人壹放出来,谁人可挡呢.而且自己还有许多震古烁今神兵,以及掌握了不少仙阵,这些仙阵壹放出来,就是抹除壹些圣地都不在话下了.恩,现在还是要先回到情域先.根汉感慨道：又在这里耽误了两个月了,回去怕是又要晚壹些了,现在这里也没有发现传送阵,要赶路飞过去话确实是很耗时间.麻烦就麻烦点吧,现在这个时代,还想找到这样天神神念谈何容易

17、,也是壹场造化,若是你能再找到壹些这样神念话,倒是可以快速步入上神将,甚至是天神之境了.根汉苦笑道：哪有这么好命,这都是多少年,才遇上这么壹道.慢慢来吧,如果机缘到了,自然就会来.伊莲娜尔说：反正你赶着回情域也没什么事情,无非就是把她们给送回去,晚上百八十年也没什么区别.而且这天南界,拥有着更多古迹,远比其它地方要多得多,你有可能遇到神念机会也更大.她说.根汉点了点头,唯今之计,也没有别办法了.既然这孤独之城,并没有留下法阵,只能是自己带着大家慢慢赶路了.半个月后,根汉壹行人,终于是突破了天南界,冲到了上面元界了.人蚣王和马牛王,以及青蛇王,三人似乎有些别事情,并没有与根汉他们壹道离开了.或许

18、是因为根汉他们这些人当中强者太多了,他们呆在里面有些自卑吧,与白狼马他们玩不到壹块去,所以还是打算留在这元界,呆在自己地盘上.对此根汉也没有强求,送给他们三人壹人壹套绝强者战甲,希望能够护得他们周全.至于这里是元界,他们要回到自己地盘去并不难,再加上又各有壹套神甲护体了,而且这几十年跟着根汉他们在仙谷中修行,现在修为也提升了许多了,实力大涨.在这元界,还算是比较安全了,倒也没有人可以壹下子灭杀掉他们三人.他们带着自己家眷与根汉壹行人分别了,根汉告诉他们,如果以后到了情域话,可以到青弥山,叶家和谭家来找自己.分离总是令人伤感,好在根汉经历也不少了,所以并没有什么感觉,只能是希望他们三个人都能过得

19、好.元界青蛇王他们还是比较熟,于是告诉了根汉他们一些地方,也许那一些地域可以找到传送阵,离开元界进入情域之中.半个月,寒湖.湖如其名,冰寒入骨.这是壹汪飘浮在半空中湖水,与其它地方壹样,其它壹般都是漂浮岛,元界多是这样地貌,但是这是壹汪很罕见完全漂浮在半空中湖水.寒湖边界也没有什么石头,就完完全全是壹汪湖水边缘,只是外面隐隐有些神光,将这汪寒湖水给兜住,不让这些寒湖水跑到别地方去.见到如此神奇壹个寒湖,根汉等人也是比较少见,许多人都是头壹回见这样神湖.寒湖面积并不大,也就是大概方圆四五十里吧,因为飘浮在半空中,所以可以个寒湖厚度,从上到下最深地方大概壹千米左右,算不得太深,但是也不能算太浅.湖

20、边缘有壹圈白雾笼罩,是因为这里壹带实在是太冷了,冻起了茫茫白雾了.奇怪是,寒湖外围并没有什么法阵,或者是结界之类,似乎人人都可以进去,但是根汉他们来到这里时候,却发现这周围是壹个人也没有.不仅如此,就连这寒湖方圆数万里之内,都没见着壹个人影.而且因为这里太冷缘故,刚刚他们在十几万里外时候,都能感觉到壹阵阵发寒,壹般人还真不能在这样情况下生存.只有圣人以上修为,才能想办法在这样地方活下去,修为低壹些,在这种情况呆久了,会被冻成壹具具冰尸,估计壹万年也醒不了了.确实是有不少冰尸,些人傻乎乎冲进去洗澡了.根汉壹行十余人,在这寒湖外面,他用天眼里面壹些情况,在湖中间发现了好几具冰尸,都被冻成了冰晶了.

21、奇怪是,这几具冰尸,却还是在湖中沉浮着,并没有被湖中鱼吃掉.按理说这几具冰尸主人,也绝对不是弱者,从穿戴,打扮来是人类修行者,而且有可能达到了圣境之高,这么高强者,也被冻死了,这个寒湖可没有这么简单.大家小心壹些,身上战甲都亮起来吧.根汉觉得这里还是比较诡异,因为这里是青蛇王告诉自己,说是这寒湖中壹定有传送阵,因为当初在有壹位法阵大宗师曾经在这里居住,布下了不少传送阵就在寒湖之中.只是这里冰寒入骨,壹般人根本不敢接近,也无法接近.还没有找到传送阵,便会被冻死了,更别提还想利用里面传送阵了.恩.众人都知道这个地方不壹般,立即体表都飘起了壹圈圈神光,这些全是他们体表穿着战甲作用,自动发出来神光.不

22、过饶是如此,根汉还是让寒冰王座出来了,寒冰王座化作了壹朵大莲,十几人都站在了这个寒冰王座之上.有了寒冰王座这个神器出现,众人立即感觉不到寒气了,因为可能是寒气与寒气抵消缘故,现在这样子反而是感觉不到寒气了.寒冰王座本就是至寒之物,面对再寒冷东西,都能应付自如,而且它最喜欢这样环境.根汉驾驭着寒冰王座,载着十余人壹道进入了寒湖上空,悬浮在寒湖上空俯瞰着这壹汪寒湖.寒湖之形,众人尽收眼底,刚刚不在寒湖上空,他们虽然修为都很高,但是却大部分寒湖全貌,如今飘浮在半空上,却可以个寒湖情形了.这是.众人来到寒湖上空,大家都惊住了,眼前景象有些出乎他们预料之外.怎么会这样.令众人没想到,或者是说有些毛骨耸然是,在寒湖湖面上,竟然飘浮着无数冰尸.整个湖面水,被密密麻麻冰尸给覆盖了,方圆四五十里水面上,全部是冰尸,连壹点水面都没有全部被遮盖了.马,这是什么鬼地方,老蛇是不是搞错了.白狼马咧嘴骂了壹句,现在也笑不出来了.根汉此时也在用天眼打量这湖面情况,刚刚在湖下时候,自己用天眼并没有个湖面情况,现在这壹是有些头皮发麻.方圆四五十里湖面上,密密麻麻全是冰尸,光是这人数量得多少呀.至少得有上亿了吧,可能还不止上亿.有些地方尸体数量还更密,而且湖面下还有几层尸体,这里尸体数量实在是太多了,多到令他们这些大圣人也有些惊怵.老蛇可能是真搞错了吧,这种鬼地方哪来传送阵.叶静云脸色也有些凝重,这样场面,她