初三小班数学暑假班讲义

目录

1.概率

2相似

3.一元二次方程

4.圆

初二暑假我要好好学，初

三我会很厉害的！！！

24.（本小题满分6

某商场搞摸奖促销活动：商场在一只■祥明的箱子里放了三个相同的

小球，球上分别写有“10元”、“20.”、“30元”的字样.规定：顾

客在本商场同一日内，每消费满100既，就可以在这只箱子里摸出一

个小球（顾客每次摸出小球看过后仍然放回箱内搅匀），商场根据顾

客摸出小球上所标金额就送上一份相应的奖品.现有一顾客在该商场

一次性消费了235元，按规定，该顾客可以摸奖两次，求该顾客两次

摸奖所获奖品的价格之和超过40元的概率.

11.写出生活中的一个随机事件：.

11年无锡中考真题

8.100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表:

跳绳个20<x<30<x<40<xW50<x<60<x<x>70

数X3040506070

人数5213312326

则这次测试成绩的中位数m满足

A.40<m<50B.50<m<60C.60<m<70D.m>70

22.（本题满分7分）一不透明的袋子中装有4个球，它们除了上面分

别标有的号码1、2、3、4不同外，其余均相同.将小球搅匀，并从

袋中任意取出一球后放回；再将小球搅匀，并从袋中再任意取出一

球.求第二次取出球的号码比第一次的大的概率.（请用“画树状图”

或“列表”的方法给出分析过程，并写出结果）

在1,2,3,4,5这五个数中，先任意选出一个数a,然后在余下的

数中任意取出一个数6,组成一个点（a,b）,求组成的点（a,b）

恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率.（请用“画树状图”或

“列表”等方法写出分析过程）

21.（2010江苏无锡，21,6分）小刚参观上海世博会，由于仅有一

天的时间，他上午从A—中国馆、B—日本馆、C—美国馆中任意

选择一处参观，下午从D—韩国馆、E一英国馆、F—德国馆中任

意选择一处参观.

（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参

观方式（用字母表示即可）；

（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率.

22、（本题满分8分）小明及甲、乙两人一起玩“手心手背”的

游戏.他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背则这

个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背则不分胜负，那么在

一个回合中，如果小明出“手心则他获胜的概率是多少？（请

用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

24.（10分）（2014•无锡）三个小球分别标有-2,0,1三个数，这

三个球除了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布

袋中搅匀.

（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将

小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数,

求两次记下之数的和大于0的概率.（请用“画树状图”或“列表”

等方法给出分析过程，并求出结果）

（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将

小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记

下，…，这样一共摸了13次.若记下的13个数之和等于-4,平方

和等于14.求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数.

24.（本题满分8分）

（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给

乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将

球再随机传给其他三人中的某一人.求第二次传球后球回到

甲手里的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方式给出

分析过程）

（2）如果甲跟另外〃（〃22）个人做（1）中同样的游戏，那么，

第三次传球后球回到甲手里的概率是（请直接写出结

果）.

23.（本小题满分6分）

小明所在学校初三学生综合素质评定分AB,C,。四个等第，为了了

解评定情况，小明随机调查了初三30名学生的学号及他们的评定等

第，结果整理如下：

学300300301301302302304304306307

号3826482885

等

ACBCDBABBA

第

学307308309310311311312313314315

号9814682644

等

BBBCACBAAB

第

学315316317318319319320320321322

号6328391809

等

CABBABCCBB

第

注：等第A,B,C,D分别代表优秀、良好、合格、不合格.

（1）请在下面给出的图中画出这30名学生综合素质评定等第的

频数条形统计图，并计算其中等第达到良好以上（含良好）的频率.

（2）已知初三学生学号是从3001开始，按由小到大顺序排列的

连续整数，请你计算这30名学人数

生学号的中位数，并运用中位：：：

12-

数的知识来估计这次初三学生

评定等第达到良好以上（含良：•

2•

好）的人数.奉第

22.（本小题满分6分）

小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有1,2,3,4,5,

6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和

等于6,小晶赢；点数之和等于7.小红赢；点数之和是其它数，两

人不分胜负.问他们两人谁获胜的概率大？请你用“画树状图”或“列

表”的方法加以分析说明.

15.如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字

1、2、3、4、5,转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自

由停止.转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向匚

标有偶数所在区域的概率为P（偶数），指针指向标有奇数V/\

所在区域的概率为P（奇数），则P（偶数）P（奇°

（络

数）（填“＞，，”＜，，或"=，，）.

21.（本题满分8分）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女

的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是

多少？

4.（3分）（2016•无锡）初三（1）班12名同学练习定点投篮，每人

各投10次，进球数统计如下：

进球数（个）123457

人数（人）114231

这12名同学进球数的众数是（）

A.3.75B.3C.3.5D.7

24.（8分）（2016•无锡）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规

则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满

2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，

且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？

（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

相似（1）——实际问题

例1（05年山东潍坊）某市经济开发区建有8C,。三个食品

加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个

顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米，

AE=15OO米.自来水公司已经修好一条自来水主管道4V,6C两厂之

间的公路及自来水管道交于E处，£C=5OO米.若修建自来水主管道

到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元.

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管

道路线应怎样设计？并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？

分析：要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应

最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于AN的方向铺

设.要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管

道的长度.

例2（05年佛山）如图2,在水平的桌面上两个“E”，当点心P2,O

在一直线上时，在点。处用①号“E”测得的视力及用②号“E”测得

的视力相同.

（1）图中4%/p4满足怎样的关系式?

（2）若伪=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测试距离4=8m,要使

测得的视力相同，则②号“E”的测试距离4应为多少？

23.阳光明？1一棵树的高度（这

棵树底部同桌面」■静耳；测量工具:皮尺，

D\L）2^---------/2------->

标杆，一副图2’则量工具中选出所

需工具，设计一种测量方案.

（1）所需的测量工具是：;

（2）请在下图中画出测量示意图；

（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母表示）求出

X.

24.问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻

在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的

一些信息：

甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.

乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.

丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗

细忽略不计）的高度为200cm,影长为156cm.任务要求：

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3,设太阳光线NH及。。相切于点M.请根据甲、丙两组

得到的信息，求景灯灯罩的半径.（友情提示：如图3,景灯的影长

等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）

22.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的

底部（0点）20米的A点，沿0A所在的直线行走14米到B点时，身

影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

25.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图

所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=L8m,求

窗口底边离地面的高BC.

26.如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的

高0P=0'P'=1,两灯柱之间的距离00,=m.

（1）若李华距灯柱0P的水平距离0A=a,求他影子AC的长；

（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和

（DA+AC）是否是定值请说明理由；

（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以vi匀速行走，试

求他影子的顶端在地面上移动的速度V2.

相似(2)——动点及证明题

2.如图，梯形ABCD中，AB〃CD,点F在BC上，连DF及AB的延长

线交于点G.

(1)求证：△CDFs/XBGF；

(2)当点F是BC的中点时，过F作EF〃CD交AD于点E,若AB=6cm,

EF=4cm,求CD的长.

5.已知：如图①所示，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=

ZDAE,且点B,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,

CD的中点.

(1)求证：①BE=CD；②4AMN是等腰三角形；

(2)在图①的基础上，将4ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其

他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论

是否仍然成立；

(3)在(2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求

证：△PBDSAAMN.

（1）填空：ZABC=°,BC=；

（2）判断AABC及△口£（：是否相似，并证明你的结论.

8.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M

从A点出发沿AB方向以lcm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点

N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：

（1）经过多少时间，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的工？

9

（2）是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形及4ACD相似？

若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.

9.如图，在梯形ABCD中，若AB〃DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯

形分成了四个小三角形.

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并

求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等

看成相似的特例）

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明.

1。如图AABC中，D为AC上一点，CD=2DA,NBAC=45°,ZBDC=60°,

CELBD于E,连接AE.

（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明;

(2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理

由；

(3)求aBEC及aBEA的面积之比.

11.如图，在AABC中，AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点，过点

M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.

(1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论.

12.已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,M是CD的

中点，试说明：△ADMS/\MCP.

13.如图,已知梯形ABCD中,AD〃BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.

(1)求梯形ABCD的面积S；

(2)动点P从点B出发，以Icm/s的速度，沿8=人今。今(3方向，向

点C运动；动点Q从点C出发，以lcm/s的速度，沿CoDoA方向，

向点A运动，过点Q作QEJ_BC于点E.若P、Q两点同时出发，当其

中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：

①当点P在BoA上运动时，是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形

ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角

形及4CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值;若不存在，

请说明理由；

③在运动过程中，是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角

形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件

的t的值；若不存在，请说明理由.

14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC±

运动的两点.若P自点A出发，以lcm/s的速度沿AB方向运动，同

时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、

B、Q为顶点的三角形及ABDC相似？

15.如图，在AABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB

边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s

的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，APEQ

及AABC相似.

16.如图，ZACB=ZADC=90°,AC=&,AD=2.问当AB的长为多少时,

这两个直角三角形相似.

17.已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能

否在边AB上找一点N（不含A、B）,使得ACDM及AMAN相似？若能，

请给出证明，若不能，请说明理由.

19.如图所示，梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°，AB=7,AD=2,BC=3,

试在腰AB上确定点P的位置，使得以P,A,D为顶点的三角形‘以

P,B,C为顶点的三角形相似.

你丫就是不会做

20.ZXABC和aDEF是两个等腰直角三角形，

的顶点E位于边BC的中点上.

(1)如图1,设DE及AB交于点M,EF及AC交于点N,求证：

^△CNE；

(2)如图2,将4DEF绕点E旋转，使得DE及BA的延长线交于点M,

EF及AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找

出一对相似三角形并证明你的结论.

21.如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A

开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以lcm/s

的速度移如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间，那

么当t为何值时;Q、A、P为顶点的三角形及AABC相似.

相似别看你家嘀哥琴真题

28.(10分)(2014•无锡)如图1,已知点A(2,0),B(0,4),ZAOB

的平分线交AB于C,一动点P从。点出发，以每秒2个单位长度的

速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴

于Q,作P、Q关于直线0C的对称点M、N.设P运动的时间为t(0

<t<2)秒.

(1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表

示)；

(2)设△MNC及AOAB重叠部分的面积为S.

①试求S关于t的函数关系式；

②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是

否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由.

28.(本题满分10分)如图，C为/力/的边小上一点，3=6,N

为边勿上异于点。的一动点，〃是线段冲上一点，过点〃分别

作园〃》交加于点0,PM〃0B交(M于点M.

(1)若/月5=60°,0M=4,0Q=\,求证：CNV0B.

(2)当点儿在边加上运动时，四边形勿附始终保持为菱形.

①问：奈奈的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；

如果不变，请说明理由.

s

②设菱形切附的面积为S,△及%的面积为必求？的取值范

32

围.

B

AB1C1D

(1)若m=3,试求四边形CCBB面积S的最大值;

(2)若点&恰好落在y轴上，试求工的值.

ID

25.(本题满分8分)如图，已知函数产工(x>0)的图像经过点4

X

夕，点夕的坐标为(2,2).过点4作/此x轴，垂足为C,过点夕

作劭，y轴，垂足为〃/C及劭交于点足一次函数y=ax+5的图

像经过点4、D,及x轴的负半轴交于点反

(1)若/作3勿，求a、8的值；

2

(2)若BC〃AE,求夕C的长.

28.(本题满分9分)刘卫同学在一

次课外活动中，用硬纸片做了

两个直角三角形，见图①、

②.图①中，ZB=90°,Z

A=30°,BC=6cm；图②中，Z

D=90°,ZE=45°,DE=4cm.图

③是刘卫同学所做的一个实验:他将ADEF的直角边DE及4ABC

的斜边AC重合在一起，并将ADEF沿AC方向移动.在移动过程

中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D及点A重合）.

（1）在ADEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点

间的距离逐渐—.

（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当aDEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C

的连线及AB平行？

问题②：当4DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线

段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在4DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得N

FCD=15°?如果存在，

求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.

请你分别完成上述三个问题的解答过程.

27.（9分）如图①,IPA.PB、PC,在△⑸反

APBC和丛PAC中，项Klk用形双a1相似，那么就称P

为△力回的自相似点.

⑴如图②，已知上△/夕。中，//庐90。，ZACB>ZA,CD

是初上的中线，过点夕作夕EL",垂足为反试说明£是△然C

的自相似点.

⑵在△力夕。中，/AV/BV/C.

①如图③，利用尺规作出△/回的自相似点P（写出作法并保

留作图痕迹）；

②若△力夕C的内心〃是该三角形的自相似点，求该三角形三个

内角的度数.

（第27题）

28.（8分）如图，正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点，点E从

点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F,

过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FG。

（1）设AE=x时，4EGF的面积为力求y关于x的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线

（第28盘）

的长。

6.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他

的影长y随他及点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y及x之间

的函数关系的图像大致为（）

12.（2分）（2015•镇江）如图，AABC和aDBC是两个具有公共边的

全等三角形，AB=AC=3cm.BC=2cm,将ADBC沿射线BC平移一定的距

离得到△DBG,连接AG,BDi.如果四边形ABDC是矩形,那么平移

的距离为cm.

17.（3分）（2015•镇江）如图，坐标原点0为矩形ABCD的对称中心，

顶点A的坐标为（1,t）,AB〃x轴，矩形A'B'C'D’及矩形ABCD

是位似图形，点0为位似中心，点A，,B，分别是点A,B的对应点，

A'B'=忆已知关于x,y的二元一次方程，1tm+k3"1/，n是实数）

AB13x+y=4

无解，在以m,n为坐标（记为（m,n）的所有的点中，若有且只有

一个点落在矩形A，B，C'”的边上，则k・t的值等于（）

B.1C.WD.2

A避

1.一元二次方程的定义及一般形式:

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的

最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式：加+法+0=0(分0)。其中a为二次

项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是

2；③是整式方程。

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：

形如(x+a)2=贴>0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平

方得x+a=A/F或者x+a=-扬，x=-a±sfba

注意：若b<0,方程无解

(2)因式分解法：

一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3)配方法:

用配方法解一元二次方程以2+法+C=0(。w0)的一般步骤

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项及一次项，右边为常数项；

③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为

(x+ni)2=n(n>G)的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当〃<0时，方程无解

(4)公式法：

一*兀二次方程ax?+6x+c=0(a。0)根的判别式：A=Z?2-4ac

A〉0o方程有两个不相等的实根：x=l士八2二%4acN0)o

2a

f(x)的图像及X轴有两个交点

A=0o方程有两个相等的实根of(x)的图像及x轴有一个交点

A<0o方程无实根o于(x)的图像及％轴没有交点

3.韦达定理(根及系数关系)

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c=0之后，设它的两个根是

再和%2，则不和马及方程的系数a，b,c之间有如下关系：

1、下列方程中，是一元二次方程的是：()

A、x2+3x+y=0；B、x+y+l=O；

2x~+1x+191

X2+-+5=0

C、3=丁；D、x

2、关于x的方程（4+a—2）%2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）

A、aWO；B、aW—2；

C、aW—2且aWl；D、aWl

3、一元二次方程必一3x=4的一般形式是,一

次项系数为。

4、方程/=225的根是o

方程3/—5x=0的根是o

（x2—24x+）=（X—）2o

5、一元二次方程ax2+bx+c-0（aWO）有一个根为1,则a+b

+c-o

关于X的一元二次方程m/—2x+1=0有两个相等实数根，则

m=o

9、已知七，马是方程2必+3x—4=0的两个根，那么花+%2

_,/X%2_o

10、若三角形其中一边为5cm,另两边长是--7x+12=。两根，则三

角形面积为0

n、用适当的方法接下列方程。

(1)、(x+3)(x—1)=5(2)、(3x—2)2=(2x—3)

(2x-l)2=3(2x+1)(4)、3x2-10x+6=0

12、若两个连续偶数的积是288,求这两个偶数。

从一块长80cll1,宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩

下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一

半，求这个宽度？

14、已知关于x的方程2-+5》+。-3=°的一个根是—4,求方程的另

一个根和P的值.

1.一元二次方程(l+3x)(x-3)=2/+l化为一般形式

为：，二次项系数为：,一次项系数

为：，常数项为：O

2.关于X的方程⑴-l)x2+(m+l)x+3m+2-0,当m时为一■兀一1次

方程；当机时为一元二次方程。

3.若a是方程——x-2=0的一个根，则代数式a=

4.+3x+=(x+尸；x~~+2=(X)-o

5.已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1,则卜=,另一根

为_____

6.若方程/+px+q=0的两个根是-2和3,则p,q的值分别

为o

7.若代数式4——2X-5及2/+1的值互为相反数，则x的值

是O

8.方程9/=4及3/=々的解相同，贝o

9.当/时，关于x的方程必一3%+-0可用公式法求解。

10.若实数a/满足=o,贝|]3=____。

b

11.若（Q+Z?）（Q+/?+2）=8,贝Ua+b=o

12.已知2/+3x+l的值是10,则代数式4-+6x+l的值是o

13.若方程/+8x-4=0的两根为七、4则,+‘二

/X2

14.若〃z是关于x的一元二次方程必+“％+m=0的根，且加W0,则

“7+"的值为______________________

15.关于X的一元二次方程/+左=0有实数根，则K的取值范围为

-、选择（每小题3分，共15分）

1.要使分式二一5-：+4的值为0,则x应该等于（）

x-4

(A)4或1(B)4(C)1(D)

-4或-1

2.关于x的一元二次方程必+招+机=。的两根中只有一个等于0,

则下列条件正确的是()

(A)m=Q,n=O(B)m=O,n^Q(C)m^Q,n—O(D)

加w0,〃w0

3.下列方程中，无论。取何值，总是关于的一元二次方程的是()

(A)ax2+bx+c=O(B)ax2+1=x2-x

(C)(a2+l)x2-(«2-l)x=0(D)%2=-^—-a=0

x+3

4.若方程QX?+fcr+c=0(〃w0)中，。也c满足a+b+c=0和Q—b+c=0，

则方程的根是()

(A)L0(01,-1(D)

无法确定

5.方程/=o的解的个数为()

(A)0(B)l(02(D)

1或2

1.选用合适的方法解下列方程

(1)(x+4)2=5(x+4)(2)

(x+1)2=4x

(3)(x+3)2=(1—2x)

2x2—10x=3

(1)x2+2ax+a2=1

x+px+q=Q

二解答（共25分）

1.一个一元二次方程，其两根之和是5,两根之积是T4,求出

这两个根。（5分）

已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程必-9x+20=0的一个根，求

这个三角形的面积。（5分）

2,已知一'兀二次方程（m-1）/+++3祖-4=0有一'个根为零,

求加的值。（7分）

3.如图，在正方形ABCD中,AB是4cm,ABEC的面积是

△DEF面积的4倍，则DE的长是多少？（8分）

1、若方程（aT）x“*+5x=4是一元二次方程，则a=

2、已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m=

3、方程x（x-3）=3（3-x）的根是

4、若a-b+c=O则方程a%2+bx+c=0必有一个根是

5、若a是方程--x-2=0的一个根，则代数式标-a=

我及肥猪王孰美

6、若方程％2+8x-4=0的两根为元1、%则=

%!X2

7、一个三角形的两边长为2和4,第三边长是方程2x2-10x+12=0的

解，则三角形的周长为

8、已知/+3X+5=9则3/+9x-2=

9、若一元二次方程3/-2x=0的两根是修、马那么看・％2二

10、两个连续的正偶数的平方差为36,则两个数为

11、已知a、b满足a+b=5且ab=6以a、b为根的一元二次方程为_

12、一元二次方程5--7x+5=0的根的情况

13、已知/+俨=25x+y=7且x>y则x-y=

14,若两数和为7,积为12,则这两个数是o

15、若关于x的方程/+依+6=0的根是整数，则K的值可以是

（写出一个）

二选择题（每小题3分，共12分）

1、若%］、/是一兀二次方程2--3x+l=0的根,则）

A：-B：-C：—D：7

444

2、下列方程不是一元二次方程的是（）

A:V3x2+2x+l=0B:0.lx2-0.5x+l.8=0

D:x2+x~l=x2

3、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有条（）

A:6条B:7条C:8条D:9条

4、方程x(xT)=x的根是()

A:x=2C:x1=-2,x2=0

B:x=-2D:x=2,x2=0

六.（7分）在AABC中，AB=AC=8cm,ZA=36°,BD平分NABC交AC

于点D,求AD、CD的长。

七.（7分）阅读下面的例题：解方程/一区一2=0

解：当x20时，原方程化为x?-x-2=0,解得：Xi=2,X2=-l（不

合题意，舍去）

当x<0时，原方程化为x?+x-2=0,解得：XFI,（不合题意，

舍去）x2=-2.二原方程的根是Xi=2,x2=-2

请参照例题解方程x2-|x-l|-l=0

有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的

直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12,将直尺的短边DE放置

及直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D及点A重合.将直尺沿AB

方向平移（如图13）,设平移的长度为xcm（OWxWlO）,直尺和三角形

纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2.

⑴当x=0时（如图12）,S=____________；当x=10时，H

S=-------------./

A

（2）当0<xW4时（如图13）,求S关于x的函数关系式小口，囱

S=；

（3）当4Vx<6时，求S关于x的函数关系式，S=

（4）当6<xW10时，求S关于x的函数关系式，S=

（同学可在图14、图15中画草图）.

（5）求出当x为何值时，阴影部分S的面积为Hcm??

不妨用直尺和

二面术行/士斤一

A

囱

L一元二次方程（1—3分（田3）=2*+1化为一般形式为:,||

二次项系数为:，一次项系数为:，常数项为:-

A/闵D

2.若m是方程x?+x—1=0的一个根，试求代数式行+21112+2013的

值为。

3.方程®+2）%同+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m

的值为。

4.关于x的一元二次方程（。-29+x+a--4=0的一个根为0,

则a的值为□

5.若代数式4——2%-5及2/+1的值互为相反数，则x的值

是O

6.已知2y2+y—3的值为2,贝IJ4/+2y+1的值为.0

7.若方程（加-1）/+而・％=1是关于x的一元二次方程，则m的

取值范围是o

8.已知关于x的一元二次方程a/+云+。=0（。，0）的系数满足

a+c=b,则此方程必有一根为o

9.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b-1-0有两个相等的实数

根，则b的值是一。

10.设X1,X2是方程x2-x-2013=0的两实数根，贝h；+2014x2-2013

11.已知X=-2是方程x2+mx-6=0的一个根，则方程的另一个根

是—O

12.若|b-11+仃7=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数

根，则k的取值范围是O

13.设m、n是一元二次方程*+3才一7=0的两个根，则

+7?=。

14.一元二次方程(a+DxZ-ax+a?-1=0的一个根为0,则a=.

15.若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则

a=o

16.关于x的两个方程x2-x-2=0及」有一个解相同，则

x+1x+a

a=o

17.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,Xi、x?是此方程的

两个实数根，现给出三个结论：①X1WX2；②XiX2<ab；③

2222

X1+X2<a+b.则正确结论的序号是—•(填上你认为正确结论

的所有序号)

18.a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足而I

+(b-2)2+1a+b+c|=0,满足条件的一元二次方程

是O

19.巳知a、b是一元二次方程x2-2x-l=0的两个实数根，则代

数式(a—b)(a+b—2)+ab的值等于.

20.已知关于x的方程*+(24+1)广好一2=0的两实根的平方和

等于11,则A的值为—.

X-3

21.已知分式丁7------，当尸2时，分式无意义，则a=_;当

x-5x+a

a<6时，使分式无意义的x的值共有个.

22.设xi、X2是一元二次方程X2+5X-3=0的两个实根，

2xi(x介6x2-3)+a=4，贝1a=。

23.方程(1999x)2—1998x2000x—1=0的较大根为r,方程

2007/一2008%+1=0的较小根为s,贝ijs-r的值为。

24.若2x+5y-3=0,妫4*・32,=。

25.已知。泊是方程——4%+m=0的两个根，b,c是方程

丁―8y+5机=0的两个根，则m的值为。

25.下列方程中有实数根的是()

(A)/+2x+3=0.(B)/+l=0.(C)/+3x+l=0.(D)^=—

x—1x—1

26.已知勿，〃是关于x的方程(4+1)*-矛+1=0的两个实数根，且

满足A+l=(加1)5+1),则实数4的值是.

27.已知关于x的一元二次方程⑴-2>/+(2加+l)x+l=0有两个不相

等的实数根，则m的取值范围是()

A.m>—B.m>—

44

C."，〉3且m。2D.—

44

第1题.（2007甘肃兰州课改，4分）下列方程中是一元二次方程

的是（）

A.2x+l=0B.V+x=iC.d+i=oD.-2=1

X+x

第2题.（2007甘肃白银3市非课改，4分）已知x=—1是方

程/+3+1=0的一■个根，则炉.

第3题.（2007海南课改，3分）已知关于x的方程/+3mx+*=0的

一"个根是x=l,那么加=.

第4题.（2007黑龙江哈尔滨课改，3分）下列说法中，正确的说

法有（）

①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；

②一元二次方程％2一3%-4=0的根是占=4,%=T；

③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；

④一元一次不等式2x+5<H的正整数解有3个；

⑤在数据1,3,3,0,2中，众数是3,中位数是3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

第5题.（2007湖北武汉课改，3分）如果2是一元二次方程V=c

的一个根，那么常数C是（）

A.2B.-2C.4D.-4

第6题.（2007湖北襄樊非课改，3分）已知关于x的方程3x+2a=2

的解是a-1,则。的值为（）

A1B.-C.-D.-1

55

第7题.（2007湖南株洲课改，6分）已知x=l是一元二次方程

2_72

ax。+辰_40=0的——个角轧且a/Z?,求9----的值.

2a-2b

第8题.（2007山西课改2分）若关于x的方程%2+2%+左=0的一个根

是0,则另一个根是.

8.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共

1000万元，如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为（）

A.200（l+x）2=1000B.200+200X2x=1000

C.200+200X3x=1000D.200[l+（l+x）+（l+x）2]=1000

16.某种型号的微机,原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价

为3528元/台，则平均每次降价的百分率为.

20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低

36%,若每年下降的百分数相同，求这个百分数

21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%,

该商场马上采取措施,改进经营管理，使月销售额大幅上升,4月份的

销售额达到129.6万元,求3,4月份平均每月销售额增长的百分率.

24.如图所示，在宽为20m,长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的

三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试

验田的面积为570nl2,道路应为多宽？

25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40

元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的

降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可

多售出2件。求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应

降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

7、某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖

出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上

涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每

涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y

件.

（1）求y及x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W,请写出W及x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大

的月利润是多少元？

8、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放

养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设

放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购

这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，

此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各

种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天

全部销售出，售价都是每千克20元.

⑴设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系

式；

⑵如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额

为Q元，写出Q关于x的函数关系式.

⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=Q—收

购总额）？

16、为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太

阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产

品.甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；

若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10

元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的

80%销售.现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需

金额为r元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为丫2元.

（1）分别求出力、丫2及x之间的函数关系式；

（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?

18、一家计算机专买店A型计算器每只进价12元，售价20元，多买

优惠：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每

只就降低0