浙江省金华十校2024届高三4月模拟考试数学试卷

浙江省金华十校2024届高三4月模拟考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

2

1.已知集合人={0,1,2,3},B={x\x-2x<0}t则4nB=()

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{1,2,3)

3.设二£(0,兀)，条件〃:sina=g条件q:cosa=今,则〃是q的(

)

A,充分不要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设直线/:x—2)，—/=(),圆c：(x-l)2+(y-2)2=1,则/与圆C()

A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能

5.等差数列｛《,｝的首项为正数，公差为"，S”为｛q｝的前〃项和，若出=3,且邑，S.+S.,

Ss成等比数列，则d=()

99

A.1B.2C.-D.2或一

22

6.在△ABC中，inB=—,C=I2O°,6C=2,则△/：€•的面积为()

s7

A.6>/3B.45/3

C.373D.2G

7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学

校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有

()

A.72种B.48种C.36种D.24种

8.已知cos(a-尸)=一，sinasin/7=一--,则cos%-sinT=()

312

A1

A,2IcID-i

二、多选题

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350KW.h

之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图

中六个小矩形的面积从左到右依次为骂（i=l,2,L,6）,则（）

A.k的值为0.0044

B.这100户居民该月用电量的中位数为175

C.用电量落在区间［150,350）内的户数为75

D.这100户居民该月的平均用电量为次（501+25应

r=l

10.已知m>>1,则（）

ahn

A.h>aB.m>fr

C.log声>log,/D.bg“〃>log“"

11.在矩形A8CD中，AB=2AD,E为线段AB的中点，将△4OE沿直线DE翻折成

△AOE.若M为线段AC的中点，则在△AQE从起始到结束的翻折过程中，（）

A.存在某位置，使得力

B.存在某位置，使得C£_LA。

C.MB的长为定值

D.M8与CD所成角£勺正切值的最小值为g

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知单位向量4,满足|4-26|=6，则。与〃的夹角为.

13.已知函数/(1)=\必；：；,若/(“在点(IJ⑴)处的切线与点(,%,/(%))处的切线互相

垂直，则.％=

22

=1(4>4>0)与双曲线C?:2-今=13>0也>0)有相同的焦距,

14.设椭圆G：\+

它们的离心率分别为，，%椭圆G的焦点为「，尸2,c,,G在第一象限的交点为P,若

点。在直线y=x上，且/626二90。，则f+f的值为

%q

四、解答题

15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次

点数之和等于7,则获得5个积分：若点数之和不等于？，则获得2个积分.

(1)记两次点数之和等于7为事件A,第一次点数是奇数为事件8,证明：事件A,B是独立

事件；

(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望.

16.设/(X)=SillVCOSX十«COSt¥,AG0,-J.

(1)若。=1,求/(x)的值域；

⑵若/(X)存在极值点，求实数。的取值范围.

17.如图，在三楂柱48小A4G中，△48C是边长为2的正三角形，侧面84GC是矩形，

AA=A8.

(I)求证：三棱锥A-ABC是正三棱锥;

(2)若三棱柱ABC-44G的体积为2&，求直线AG与平面AA8避所成角的正弦值.

18.设抛物线U.y2=2〃M〃>0),直线4-1是抛物线C的准线，且与x轴交于点B,过点

B的宣线/与抛物线C交于不同的两点M,N,是不在直线/上的一点，直线人加，AN

分别与准线交于P，Q两点.

(1)求抛物线。的方程；

(2)证明：忸“=忸

⑶记△人MN,△APQ的面积分别为邑，若号=2星，求直线/的方程.

19.设〃为素数，对任意的非负整数〃，记〃=%p°+q/+…+4P*,

%(")=%+4+/+…+%其中q£{0,1,2,…,p-l}(OqWA),如果非负整数〃满足叫(〃)

能被〃整除，则称〃对p“协调

(1)分别判断194,195,196这三个数是否对3“协调”，并说明理由;

⑵判断并证明在P),/人+1,p%+2,…，〃2〃+(〃2-1)这p2个数中，有多少个数对"，协

调”；

⑶计算前p2个对p“协调”的非负整数之和.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据一元二次不等式求解8={x|0<x<2},即可由交集求解.

【详解】fi={x|x2-2x<0}={x|O<x<2},故4「8={1},

故选：B

2.A

【分析】根据复数的除法运算即可求解.

【详解】_L=e)3

解,2+i(2+i)(2-i)5，

故选：A

3.B

【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解.

【详解】由于aw(O,兀)，

若sina=L则cosa=±Jl-sin%=±且,充分性不成立，

22

若cosa=立，则sina=Jl-cos%二,必要性成立，

22

故〃是q的必要不充分条件.

故选：B.

4.C

【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线/的距离，与半径比较即可判断求解.

【详解】圆C:(X-1)2+()，-2)2=1的圆心为C(L2),半径r=l,

则圆心(到直线/的距离d="一，&=%3?1>1=『,

故直线/与圆。相离.

故选：C.

5.B

【分析】由等比中项的性质得到邑S5=(S1+S3『，结合求和公式得到d=-3q或d=2q,再

由%=3,q>0计算可得.

【详解】因为*,S+S3，S5成等比数列,

答案第I页，共13页

所以S2s5=(S1+S3『，即(2q+4)(56+1(W)=(4%+,

即(3《+州2q-d)=0,

所以4=-3q或d=2q,

又%=3,at>0,

3

当〃二-3卬，则4+d=4-3q=3,解得4=一耳（舍去）,

当d=2q,则4+d=4+2q=3,解得q=1,则d=2.

故选：B

6.D

【分析】根据两角差的正弦公式求出sinA,再由正弦定理求出〃，代入面积公式即可得解.

【详解】由颍竟,

sinA=sin(60°-5)=sin60°cosB-cos60°sinB—xJl----x,

V72V492714

2x叵

q=上，即匹竺2=—_=4,

由正弦定理,

sinAsinBsinAyj2\

所以S△板=—abs\nC=-x2x4x

22

故选：D

7.A

【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成A；组，然后分给剩余

2个不同学校有A；种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.

【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有C；C；种不同的方法，

剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取I名，分成两组共有A；种，

这2组分配到2个不同学校有A；种不同分法，

所以由分步乘法计数原理知，共有=3x6x2x2=72种不同的分法.

故选：A

8.C

答案笫2页，共13页

【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cosacos/,然后结合二倍角公式及和差化

积公式进行化简即可求解.

【详解】由cos(a—/?)=：得cosacos/?+sinasin/?=；,

又sinasin4=---,所以cosacos/?=2，

1212

所以

,_.,1+cos2a_l-cos2夕_cos2a+cos26_cos[(a+1)+(a—4)]+cos[(a+6)一(a—6)]

cosaip-22-22

=cos(a+/7)cos(nr-/?)

=(cosacos/y-sin«sin/7)(cos«cos/y+sinasin0)

,51、，5rill

=(-------1-------)X(----------------)=-X-=一.

12121212236

故选：C.

9.AD

【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A,根据中位数的计算即可求解B,

根据频率即可求解C,根据平均数的计算即可判断D.

【详解】对于A,由频率分布直方图的性质可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=1,

解得x=0.0044,故A正确；

对于B,因为(0.0024+0.0036)x50=0.3<0.5,(O.(X)24+0.0036+O.(X)6())x50=0.6>0.5,

所以中位数落在区间[150,200)内，设其为机，

则0.3+。〃—150)x0.006=0.5,解得〃?川83,故B错误；

对于C,用电量落在区间[150,350)内的户数为

(O.(X)6()+0.0044+0.0024+0.0012)x50x10()=70,故C错误；

对于D,这100户居民该月的平均用电量为

6

(50+25)山+(50x2+25应++(50x6+25)稣=^(50/+25)再，故D正确.

r=l

故选：AD.

10.ACD

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.

【详解】对于A,因为所以指数函数)，="在R上单调递减，且。<匕，所以夕>人

答案第3页，共13页

因为哥函数y=/在(。，+8)上单调递增，且所以〃</九

所以人">犬，故A正确，

对于B,取加=5,n=2,Wij52<25,故B错误；

对于C,因为对数函数y=logbX在3+8)上单调递减，y=log”d在(0,+8)上单调递增，

所以log/,a>log//=1,log"?<log,„w=l,

所以log”a>log”,"，故C正确;

对于D,因为丁=Inx在(0,+oo)上单调递增，

所以Ina<InZ?<0,Inm>0,则log(,m=詈^>黑;=log/(m,

inaIn/;

因为对数函数J=log,X在(0,+oo)上单调递减，

所以所/>10gont>lo&_m,故D正确.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】当AC，。£时，可得出平面A。。，得出。c_LOE推出矛盾判断A,当。4

平面ACOE时可判断B,艰据等角定理及余弦定理判断C,建系利用向量法判断D.

【详解】如图，

设OE的中点0,连接0C0A,则。4，。£,若AC_LD£,由A0,4Cu

平面AOC,可得。石/平面4。。，OCu平面AOC，则可证出OCJLOE，显然矛盾

(CD^CE),故A错误：

因为CE_LO£,所以当04J.平面8a)石，由CEu平面ACD石可得Q4_LCE,由

OXADE-O,Q4,力Eu平面即可得CE_L平面ADE,再由A^u平面4力后，则

答案第4页，共13页

有CE_LA。，故B正确;

取CD中点N,MN〃AD,MN=gAQ,BN//ED,且NMN氏NAQE方向相同，

所以=七为定值，所以8W=4MN?+BN?-2MN,BMcos/MNB为定值，故C

正确；

不妨设A8=2&，以OSQV分别为X），轴，如图建立空间直角坐标系，

设幺。入=夕,则《（（J,cos。,sin。）,8（2,1,0）,C（l,2,+蜉）,。（-1,0,0）,

DC=（2,2,0）,1|BM|=^,设MB与8所成角为巴

I222y2

\DCBM

则8s展辰而7¥玲叽专二平,即M"与所成最小角的余弦值为半，此

时lan8=g,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不

变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不

容易直接处理的最值问题可考虑向显法计算后得解.

12.y（或写成60。）

【分析】将等式la-2切=6两边平方即可.

【详解】因为|。-2以2=/-4〃./7+4/=3,

所以

所以COS〈Z,/＞〉=L,♦«,/?♦€[0,7t],♦«,/?♦=—.

23

故答案为：—

J

13.—/—0.5

2

【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直

得解.

【详解】当x>0时，/'（1）=■!■>（）,所以r⑴=1,且点（$J（Xo））不在y=1nx上,

X

答案笫5页，共13页

否则切线不垂直，故与40,

当xvO时,f\x)=2x,所以尸"0)=2与,

由切线垂直可知，2xoxl=-l,解得

故答案为：-g

14.2

【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,先根据题意得出点尸的坐标(c>0),再将点P分

别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.

【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,则。；+”=已状-照=/,

又/£/玛=90。,所以|“卜自耳〉|=c,

乂点P在第一象限，且在直线)'=不上，

所以。与C,与C,又点〃在椭圆上，

解得1=但?必=安区,因为。<弓<1,所以1=今但，

e；42<2

fviv(42y22

同理可得点尸在双曲线上，所以TcTc,即三一"^二2,

1-------__1-------z_=la;c-a；

解得台2-应

~2~

「二”112+02-0r

所以/+/=，-+—=2.

C|c-2J~

故答案为：2.

答案笫6页，共13页

15.(1)证明见解析

(2)分布列见解析；y

【分析】(1)根据古典概型分别计算P(A),P(B),P(AB),曰P(A8),P(A)P(B)的关系证明;

(2)根据〃次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.

【详解】⑴因为两次点数之和等于7有以下基本事件:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

共6个，

611

Z

又/

=一=--

所以P(A)6V2

36

而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是(L6),(3,4),(5,2)共3个,

3I

所以玖八8)=忑="，

3o12

故P(A5)=P(A)P(B),所以事件A,5是独立事件.

(2)设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X,则X可取6,9,12,15,

P(X=6)=C；(l-1j=战，^(X=9)=C'/ip-lJ=^,

\o)Zin\o)\o)210

P(X=12)=呢丁(1峭=装,P(X=15)=H=*

koy\O/210\oy210

所以分布列为:

X691215

12575151

P

216216216216

15

所以E(X)=空*6+21x9+xl2+—x!5=—

2162162162

答案第7页，共13页

<35/3

16.(1)0—

(2)(-1,+oo)

【分析】⑴求导，得ra)=-(sinx+l)(2sinx-l),即可根据川0高和工喂用判断

导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，

(2)将问题转化为了'(x)=0在x/O,"上有解，即可分离参数得，=」--2sinx,利用

I2/sinx

换元法，结合函数单调性即可求解.

【详解】(1)若。=1,/(A)=sinxcosx+cosx,0,g,

)"(DMCOS2x-si/x-sinxu-Zsi/x-sinx+lu-lsinx+lXZsinjv-l)

当xc0,看)时，sinx>0,2sinx-l<0,则/'(x)>0,/(力单调递增；

当xw看国时，sinx>0,2sinx-l>0,则/(x)单调递减

I。乙)

乂尼卜哈〃。)=1,佃=。

所以/(x)e,即/(X)的值域为H]

(2)/"(X)=cos?x-sin2x-«sinx=l-2sin2x-asinx.

/(x)存在极值点，则f'(x)=O在x/o，"上有解，即〃=」--2sinx有解.

I21sinx

令r=sinx,则a=1-2i在fw(0,1)上有,解.

因为函数y=；-2f在区间(0,1)上单调递减，所以。«-1,+8),经检验符合题意.

17.(1)证明见解析

⑵坐

3

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明A。，平面A8C即可;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.

答案第8页，共13页

【详解】（1）分别取入从BC中点。，E,连接CO,AE交于点O,则点。为正三角形/WC

的中心.

因为AA=A8,。4=。8得。。_1月&AD,1AB,

又4。1。。=。，4。,。。（=平面4。。，

所以A42平面A。。，又AOu平面A。。，

则A8J.4。；

取MG中点片,连接A4,EE,则四边形是平行四边形，

因为侧面BBCC是矩形，所以8C_LE且，乂8c_LAE,

又七月仆/^二旦£鸟,从后匚平面/14内£：,

所以8C上平面AAEE,又AOu平面4A£E,则8C_LA。；

又ABcBC=B,A3,BCu平面ABC,所以A。，平面ABC,

所以三棱锥A-ABC是正三棱锥.

（2）因为三棱柱ABC-AHG的体积为2枝，底面积为石，所以高4。=半，

以R为坐标原点，以为x轴正方向.行〃为y轴正方向，过点忖旦与0A平行的方向为z轴

的正方向建立空间直角坐标系，

则A（G,O,O"（OJO）,C（O,TO）,A隹0,平），

设平面A”用的法向量小，因为A8=b61,0）,AA=（-¥，0,^）.

答案笫9页，共13页

AB-〃1=-y/3x+y=0

WJ例.「一苧x+半Z=。'取z=l可得4=(&,跖i),

又AC|=A4,+AC=

设直线AC,与平面A448所成角为仇

所以sine=kos〃|,Ac]=^^=^^=^.

11

n^AC{\683

18.(l)y2=4x

⑵证明见解析

(3)x±Gy+1=0

【分析】（I）根据准线方程可得〃，即可求解；

（2）设，:x=（y-l,”a，yJ,N（七,M）,联立直线与抛物线,得出根与系数的关系,再

由直线的相交求出f,Q坐标，转化为求»+%=。即可得证；

（3）由⑵可得色=闷，再由5=加N|d,根据S1=2S?可得f,即可得解.

【详解】（1）因为产-1为抛物线的准线，

所以|二1,即2〃=4,

故抛物线C的方程为）？=4,r

（2）如图，

设/：x=ty-\,),N(%,%)，

答案第10页，共13页

联立），=4x,消去x得），一4）+4=。,

则A=16（/一1）>0,且4+外”，

'）加=4

又AM：令l[得P，],〃―2（'L〃）],

王-1Ix,-l]

同理可得QT〃-"2J,

1"1）

2（y.-n]2（必一〃）[2（y.-n）2（y,-/?）

所以①+）'O=/L〈—〃一I尢J=2〃_J/+JJ

X—1—1Di—2ty2-2

=2n_2（y-2（》-2）+2（乃一〃）（晒一2）

〃6-2）.-2）'

4%必一（2加一4）（凹+%）+8〃8〃一8疝

Z〃/〃,

厂）\）’2-2/（y+力）+44-4厂

故忸”=忸°|.

（3）由（2）可得：S?二年2（1—2（%；）,

*-2。2-2V/2-1

S.=-\MN\d=-xVf?+1-4>/^+1=2ylit-12|,

21127^7111

由S1=2s2,得：r—1=2,解得t=±5/3>

所以直线/的方程为x±#y+l=O.

【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出RQ

点的坐标（含参数），第二个关键点在于将忸R=|伙2|转化为只。关于工对称，即升+4=°.

19.（1）194,196对3“协调”，195对3不“协调”

（2）有且仅有一个数对〃“协调”，证明见解析

2

【分析】（1）根据〃对协调”的定义，即可计算取（194）,吗（195）,吗（196）,即可求解,

答案第11页，共13页

(2)根据〃对p“协调”的定义以及整除原理可证明引理.，证明每一列里有且仅有一个数对

p“协调”，即可根据引理求证.

(3)将〃％〃2〃+1,〃2〃+2,.,〃2〃+(〃2・1)这〃2个数分成〃组，每组〃个数，根据引理证

明每一列里有且仅有一个数对P"协调''，即可求解.

【详解】(1)因为194=2x3°+lx3i+0x32+lxT+2x34,所以吗(194)=2+1+0+1+2=6