空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系教案一、教学目标1.知识与技能目标理解空间中直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义。掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能运用这些定理进行简单的论证和计算。通过对垂直关系的学习，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力。2.过程与方法目标通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，培养学生的合情推理能力。通过对定理的证明和应用，让学生体会逻辑推理的严谨性，提高学生的演绎推理能力。在解决问题的过程中，引导学生运用化归与转化的思想，将空间垂直问题转化为平面问题来解决，培养学生的数学思维能力。3.情感态度与价值观目标通过对空间垂直关系的学习，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生的合作交流精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。运用判定定理和性质定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的问题。2.教学难点对直线与平面垂直、平面与平面垂直判定定理中条件的理解。如何引导学生通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理和性质定理。灵活运用判定定理和性质定理进行空间垂直关系的证明和计算。

三、教学方法1.直观演示法：通过多媒体动画、实物模型等直观手段，展示空间中的垂直关系，帮助学生建立空间观念。2.问题引导法：提出一系列问题，引导学生思考、探究，逐步归纳出直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。3.小组合作法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨问题，交流想法，培养学生的合作交流能力和自主探究能力。4.讲练结合法：通过讲解典型例题和让学生进行课堂练习，及时巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课1.展示图片：展示一些生活中常见的含有垂直关系的图片，如高楼大厦、电线杆、桥梁等，让学生观察并感受空间中的垂直现象。2.提出问题：在这些图片中，你能发现哪些直线与平面垂直、平面与平面垂直的例子？如何定义直线与平面垂直、平面与平面垂直？怎样判断一条直线与一个平面垂直、一个平面与另一个平面垂直？通过这些问题，引导学生思考空间垂直关系，从而引入新课。

（二）探索新知1.直线与平面垂直的定义引导学生观察教室中的墙角，让学生直观感受直线与平面垂直的形象。给出直线与平面垂直的定义：如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。强调定义中的"任意一条直线"，并通过反例让学生理解为什么不能用"无数条直线"来代替"任意一条直线"。2.直线与平面垂直的判定定理实验探究：准备一个三角形纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。观察折痕AD与桌面的位置关系，并思考如何保证折痕AD与桌面垂直。引导学生分析：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。归纳总结：提出问题：通过上述实验，你认为保证一条直线与一个平面垂直需要满足哪些条件？组织学生小组讨论，然后各小组代表发言，共同归纳出直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示判定定理：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n=A，则l⊥α。定理理解：强调定理中的"两条相交直线"这一条件的重要性，通过举例说明如果两条直线不相交，即使与另一条直线都垂直，也不能保证该直线与平面垂直。让学生思考如何将判定定理中的"两条相交直线"转化为"一条直线与平面内的无数条直线垂直"，进一步加深对定理的理解。3.直线与平面垂直的性质定理思考问题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与平面内的直线有怎样的位置关系？已知直线a⊥α，b⊂α，那么直线a与直线b垂直吗？引导学生通过直观感知和逻辑推理得出直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。用符号语言表示性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b。定理证明：已知：a⊥α，b⊥α。求证：a∥b。证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P。过点P作直线c⊥α，因为a⊥α，b⊥α，根据直线与平面垂直的定义，可知a⊥c，b⊥c。在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这与过点P有两条直线a，b都与c垂直矛盾，所以假设不成立，即a∥b。定理应用：例1：已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b。证明：因为a⊥α，b⊥α，根据直线与平面垂直的性质定理，所以a∥b。例2：如图，在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁、CC₁的中点，求证：BF∥ED₁。证明：因为正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，CC₁⊥平面ABCD，所以AA₁⊥平面ABCD，CC₁⊥平面ABCD。又因为BF⊂平面ABCD，ED₁在平面A₁ADD₁内的射影为AD₁，且AD₁⊥AA₁，根据三垂线定理可得ED₁⊥AA₁。同理，BF⊥CC₁，而AA₁∥CC₁，所以BF∥ED₁。4.平面与平面垂直的定义引导学生观察教室的墙面与地面、相邻两个墙面的位置关系，让学生直观感受平面与平面垂直的形象。给出平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。强调二面角的概念：二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。用图形语言和符号语言表示平面与平面垂直的定义：图形语言：符号语言：若α∩β=l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB=90°，则α⊥β。5.平面与平面垂直的判定定理实验探究：准备一个三角板，让三角板的一条直角边BC与桌面α接触，另一条直角边AC与桌面α内的一条直线BD垂直。观察三角板所在平面与桌面α的位置关系，并思考如何保证三角板所在平面与桌面α垂直。引导学生分析：当且仅当三角板的另一条直角边AC垂直于桌面α时，三角板所在平面与桌面α垂直。归纳总结：提出问题：通过上述实验，你认为保证一个平面与另一个平面垂直需要满足哪些条件？组织学生小组讨论，然后各小组代表发言，共同归纳出平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。用符号语言表示判定定理：若l⊥α，l⊂β，则α⊥β。定理理解：强调定理中的"一个平面过另一个平面的垂线"这一条件的重要性，通过举例说明如果不满足这一条件，两个平面就不一定垂直。让学生思考如何将判定定理中的"垂线"转化为"垂直于平面内的两条相交直线"，进一步加深对定理的理解。6.平面与平面垂直的性质定理思考问题：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线与另一个平面有怎样的位置关系？已知α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l，那么直线a与平面β垂直吗？引导学生通过直观感知和逻辑推理得出平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。用符号语言表示性质定理：若α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β。定理证明：已知：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l。求证：a⊥β。证明：设α∩β=l，在平面β内作直线b⊥l，因为α⊥β，所以a⊥b。又因为a⊥l，b∩l=l，b⊂β，l⊂β，根据直线与平面垂直的判定定理，所以a⊥β。定理应用：例1：已知平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l，求证：a⊥β。证明：因为α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l，根据平面与平面垂直的性质定理，所以a⊥β。例2：如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥AB。证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC。因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，PA⊥PB，PA⊂平面PAB，根据平面与平面垂直的性质定理，可得PA⊥平面PBC。又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC。因为PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理，所以BC⊥平面PAB。又因为AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB。

（三）课堂练习1.已知直线a、b和平面α，下列说法正确的是（）A.若a∥α，b⊂α，则a∥bB.若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC.若a、b与α所成的角相等，则a∥bD.若a∥α，b∥α，则a∥b2.已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.若m∥n，n⊂α，则m∥αB.若m∥α，α∩β=n，则m∥nC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3.如图，在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，求证：（1）AC⊥平面BDD₁B₁；（2）平面A₁C₁CA⊥平面BDD₁B₁。4.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB。

（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学的主要内容：直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理。平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理。如何运用这些定理进行空间垂直关系的证明和计算。2.强调本节课的重点和难点：重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，以及运用这些定理进行证明和计算。难点：对判定定理中条件的理解，以及如何引导学生通过直观感知、操作确认归纳出定理。3.总结本节课所涉及的数学思想方法：化归与转化的思想：将空间垂直问题转化为平面问题来解决。逻辑推理的思想：通过对定理的证明和应用，培养学生的逻辑推理能力。

（五）布置作业1.书面作业：教材课后习题第[X]题、第[X]题、第[X]题。2.拓展作业：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由。求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF。查阅资料，了解空间垂直关系在建筑、机械制造等领域的应用，并撰写一篇短文介绍。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对空间中的垂直关系有了较为系统的认识，掌握了直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能运用这些定理进行简单的论证和计算。在教学过程中，通过创