平面向量基本定理

平面向量基本定理一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量基本定理的内容。能运用平面向量基本定理解决一些简单的向量问题，如向量的分解、向量的线性表示等。培养学生的逻辑推理能力、运算能力和直观想象能力。2.过程与方法目标通过对平面向量基本定理的探究，让学生经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。引导学生在解决问题的过程中，学会运用类比、归纳等方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生对数学的兴趣和热爱。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。

二、教学重难点1.教学重点平面向量基本定理的理解和应用。平面向量基本定理中基底的概念以及向量的分解方法。2.教学难点对平面向量基本定理的发现和证明过程的理解。如何引导学生运用平面向量基本定理解决实际问题，特别是向量分解的唯一性证明。

三、教学方法1.讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授平面向量基本定理的概念、内容和证明思路，使学生系统地掌握新知识。2.探究法：组织学生探究平面向量基本定理的形成过程，让学生通过自主思考、小组讨论等方式，发现问题、解决问题，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：安排适量的针对性练习题，让学生及时巩固所学知识，提高运用平面向量基本定理解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问：什么是向量？向量的表示方法有哪些？学生回答后，教师总结：向量是既有大小又有方向的量，向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。提问：向量的加法、减法和数乘运算的法则是什么？请学生回答向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量减法和数乘运算的法则。教师结合图形进行演示，强化学生的记忆。2.情境引入展示一张起重机的图片，提问：起重机在吊起货物时，钢绳的拉力和货物的重力之间有什么关系？引导学生思考：这两个力都是向量，它们的作用效果是使货物处于平衡状态。那么，能否用一个向量来表示这两个力的合力呢？进一步提问：如果已知两个不共线的向量，平面内的其他向量是否都可以用这两个向量来表示呢？引出课题：平面向量基本定理。

（二）探究新知（25分钟）1.定理探究给出问题：已知向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是同一平面内两个不共线的向量，\(\vec{a}\)是这一平面内的任一向量，试探究\(\vec{a}\)与\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)之间的关系。让学生分组进行讨论，尝试通过作图等方法来寻找\(\vec{a}\)与\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)的关系。教师巡视各小组，参与学生的讨论，适时给予指导和启发。请小组代表发言，分享他们的讨论结果。教师根据学生的发言，利用多媒体进行演示：任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\vec{e_1}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{e_2}\)，\(\overrightarrow{OC}=\vec{a}\)。过点\(C\)分别作平行于\(OB\)、\(OA\)的直线，交直线\(OA\)、\(OB\)于点\(M\)、\(N\)。由向量的平行关系可知，存在实数\(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)，使得\(\overrightarrow{OM}=\lambda_1\vec{e_1}\)，\(\overrightarrow{ON}=\lambda_2\vec{e_2}\)。则\(\vec{a}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)。引导学生观察并思考：对于给定的向量\(\vec{a}\)，实数\(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)是否唯一？让学生再次分组讨论，然后进行全班交流。教师引导学生通过反证法来证明实数\(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)的唯一性。假设存在另一组实数\(\mu_1\)、\(\mu_2\)，使得\(\vec{a}=\mu_1\vec{e_1}+\mu_2\vec{e_2}\)，则\((\lambda_1\mu_1)\vec{e_1}+(\lambda_2\mu_2)\vec{e_2}=\vec{0}\)。因为\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)不共线，所以\(\lambda_1\mu_1=0\)且\(\lambda_2\mu_2=0\)，即\(\lambda_1=\mu_1\)，\(\lambda_2=\mu_2\)。从而得出平面向量基本定理：如果\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)。2.基底概念讲解：我们把不共线的向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。强调：基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底。提问：零向量能否作为基底？为什么？引导学生思考得出：零向量与任意向量共线，所以零向量不能作为基底。3.向量的分解举例说明：已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=3\vec{e_1}+2\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=\vec{e_1}\vec{e_2}\)，试用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)表示向量\(\vec{c}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\)。让学生尝试求解，教师巡视指导。请学生上台展示解题过程：设\(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\)，则\(2\vec{e_1}+3\vec{e_2}=x(3\vec{e_1}+2\vec{e_2})+y(\vec{e_1}\vec{e_2})=(3x+y)\vec{e_1}+(2xy)\vec{e_2}\)。所以\(\begin{cases}3x+y=2\\2xy=3\end{cases}\)，解方程组得\(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)。即\(\vec{c}=\vec{a}\vec{b}\)。总结向量分解的方法：先设出向量分解的表达式，再根据向量相等的条件列出方程组，求解方程组得到系数的值。

（三）例题讲解（15分钟）例1：已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\overrightarrow{AB}=3\vec{e_1}+2\vec{e_2}\)，\(\overrightarrow{AC}=2\vec{e_1}3\vec{e_2}\)，求\(\overrightarrow{BC}\)。分析：根据向量减法的定义\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}\)，将已知向量代入计算。解：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}=(2\vec{e_1}3\vec{e_2})(3\vec{e_1}+2\vec{e_2})=(23)\vec{e_1}+(32)\vec{e_2}=\vec{e_1}5\vec{e_2}\)。总结：本题主要考查向量减法的运算以及平面向量基本定理的应用，通过将向量用基底表示，再进行向量的加减运算。

例2：已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=m\vec{e_1}+2\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=n\vec{e_1}\vec{e_2}\)，且\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，求实数\(m\)，\(n\)的关系。分析：因为\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，所以存在实数\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)，然后根据向量相等列出方程组求解。解：因为\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，所以存在实数\(\lambda\)，使得\(m\vec{e_1}+2\vec{e_2}=\lambda(n\vec{e_1}\vec{e_2})=\lambdan\vec{e_1}\lambda\vec{e_2}\)。则\(\begin{cases}m=\lambdan\\2=\lambda\end{cases}\)，由\(2=\lambda\)得\(\lambda=2\)，代入\(m=\lambdan\)得\(m=2n\)，即\(m+2n=0\)。总结：本题利用向量平行的性质以及平面向量基本定理，通过建立方程组求解参数之间的关系。

（四）课堂练习（10分钟）1.已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=4\vec{e_1}3\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=6\vec{e_1}+k\vec{e_2}\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，求\(k\)的值。2.已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\overrightarrow{OA}=\vec{e_1}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{e_2}\)，\(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\vec{e_1}+\frac{2}{3}\vec{e_2}\)，判断\(A\)，\(B\)，\(C\)三点是否共线。3.已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=3\vec{e_1}+4\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=6\vec{e_1}8\vec{e_2}\)，求\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)是否共线。

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。请学生回答练习答案，教师进行点评和讲解，强调解题的关键步骤和注意事项。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾平面向量基本定理的内容：如果\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)。2.强调基底的概念：不共线的向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。3.总结向量分解的方法和应用平面向量基本定理解决问题的思路：先设出向量分解的表达式，再根据向量相等的条件列出方程组求解。4.让学生分享本节课的学习收获和体会，教师给予肯定和鼓励。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本习题[具体页码]第[具体题号]题。2.拓展作业：已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=m\vec{e_1}+n\vec{e_2}\)，且\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，求\(x\)，\(y\)，\(m\)，\(n\)满足的关系。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对平面向量基本定理有了较为深入的理解，掌握了定理的内容、基