《基本立体图形》第1课时同步学案

高中数学精选资源1/16《基本立体图形》第1课时同步学案问题情境导入在中国，有蜿蜒的长城、烧毁的阿房宫以及现在保存完美的故宫，在外国，有古老的埃及金字塔、巴黎的凯旋门、伦敦的钟塔、白金汉宫等，在你被建筑物的精心设计和外观的美感所震撼的时候，你是否意识到几何学在古代就已经被深入地研究及完美地应用？我们在初中接触过平面几何，如今我们将进一步深入到三维空间，初步接触立体几何知识那么构成空间几何体的基本元素是什么？多面体的概念是什么？.新课自主学习自学导引1.构成空间几何体的基本几何元素.空间几何体的基本几何元素是_____、_____、_____.2.简单多面体的概念.类别定义图示多面体由_____围成的几何体称为多面体围成多面体的各个_____称为多面体的面；两个相邻面的_____称为多面体的棱；_____的公共点称为多面体的顶点3.棱柱.（1）相关概念：棱柱：一个多面体有两个面是_____的多边形，且它们所在平面_____；其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行像这样的几何体称为棱柱.底面：棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；侧面：除了底面，其余各面称为棱柱的侧面；侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；顶点：侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点；对角线：既不在同一底面上也不在_____的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.高：过上底面上一点作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离称为点到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的高.（如图）表示方法：棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示，如图中的棱柱既可表示为_____,也可表示为______.（2）性质：①侧棱都_____；②两个底面与平行于底面的截面都是_____的多边形；③过不相邻两条侧棱的截面都是_____.（3）分类:①侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为_____，其他的棱柱称为斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为_____.②棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……③特殊的四棱柱：底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体；侧棱和底面垂直的平行六面体称为_____;底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体.4.棱锥.（1）相关概棱锥：由_____围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个_____的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥.底面：如下图，多边形ABCDEF称为棱锥的底面，简侧面：侧面：其余各面称为棱锥的侧面；顶点：各个侧面的公共点称为棱锥的顶点；侧棱：相邻两个侧面的_____称为棱锥的侧棱；的距离称为棱锥的高.表示方法：棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，如_____（如图），也可用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如_____（如图）.（2）分类：①棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……三棱锥也叫作_____.②如果棱锥的底面是_____，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的_____，这些_____底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高，如上图中的SM（3）性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面_____（如图）.5.棱台.（1）相关概念：棱台：用一个_____于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台；底面、侧面：原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面；侧棱：相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱；高：上底面、下底面之间的_____称为棱台的高；表示方法：棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示，如上图中的棱台表示为棱台，或者用它的对角线端点字母来表示，如棱台.（2）分类：①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台……②由_____截得的棱台称为正棱台正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.答案1.点线（直线和曲线）面（平面和曲面）2.平面多边形多边形公共边棱与棱3.（1）边数相同平行同一个侧面上柱：棱柱（2）①相等②全等③平行四边形（3）①直棱柱正棱柱③直平行六面体4.（1）平面图形公共顶点公共边顶点到底面棱锥棱锥（2）①四面体②正多边形等腰三角形等腰三角形（3）相似5.（1）平行距离（2）②正棱锥预习测评1.判断对错.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）棱柱的侧面都是平行四边形（）（2）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台.（）（3）将棱台的各侧棱延长可交于一点.（）2.下面多面体中，是棱柱的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下面四个几何体中，是棱台的是（）A.B.C.D.4.在三棱锥中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.45.下列说法正确的有_____.（填序号）①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.答案1.（1）√（2）×（3）√2.答案：D解析：根据棱柱的定义进行判定可知，这4个都满足.3.答案：C解析：A项中的几何体是棱柱；B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱没有交于点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台.4.答案：D解析：每个面都可作为底面，有4个.5.答案：①③解析：根据棱锥的定义可知其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对；棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点（即原棱锥的顶点），故②错，③对.因而正确的有①③.新知合作探究探究点1构成空间几何体的基本元素命知识详解1.构成空间几何体的基本元素是点、线（直线和曲线）、面（平面和曲面）等.2.平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的.3.可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面.4.平面通常用希腊字母，，等来表示；也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示.5.画两个平面相交时，一般把被遮挡部分画成虚线或不画.典例探究例1下列说法正确的是_____.①平面是无限延展的；②一个平面长3cm，宽4cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内.解析①正确，平面是无限延展的；②不正确，平面没有大小；③不正确，平面没有厚薄；④正确，平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内.答案①④变式训练1已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于.其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案A点拨在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错.探究点2棱柱的定义及结构特征知识详解1.棱柱的定义.（1）相关概念：棱柱：一个多面体有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面平行；其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行像这样的几何体称为棱柱.底面：棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；侧面：除了底面，其余各面称为棱柱的侧面；侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；顶点：侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点；对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.高：过上底面上一点作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离称为点到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的高.（如图）表示方法：棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示，如图中的棱柱既可表示为棱柱，也可表示为棱柱.（2）性质：①侧棱都相等；②两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;③过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.（3）分类：①侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.②棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……③特殊的四棱柱:底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体；侧棱和底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体.2.棱柱的结构特征.（1）有两个面（底面）互相平行；（2）其余各面都是四边形；（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行.典例探究例2下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱其中正确说法的序号是_____.解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知;④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.答案③④方法归纳棱柱结构特征的辨析技巧：（1）扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.变式训练2下列关于棱柱的说法中，错误的是（）A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形答案C点拨显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面时，侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.探究点3棱锥、棱台的定义及结构特征知识详解1.棱锥的定义.（1）相关概念：棱锥：由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥.底面：如下图，多边形ABCDEF称为棱锥的底面，简称底；侧面：其余各面称为棱锥的侧面；顶点：各个侧面的公共点称为棱锥的顶点；侧棱：相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱;高：顶点到底面的距离称为棱锥的高.表示方法：棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，如棱锥（如图），也可用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥（如图）.（2）分类：①棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……三棱锥也叫作四面体.②如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高，如上图中的SM.（3）性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似（如图）.2.棱锥的结构特征.（1）有一个面（底面）是多边形；（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形.3.棱台的定义.（1）相关概念:棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台；底面、侧面：原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面；侧棱：相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱；高：上底面、下底面之间的距离称为棱台的高；表示方法：棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示，如上图中的棱台表示为棱台，或者用它的对角线端点字母来表示，如棱台.（2）分类：①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台…②由正棱锥截得的棱台称为正棱台正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.4.棱台的结构特征.（1）上、下底面互相平行，且是相似图形；（2）各侧棱延长线相交于一点.典例探究例3下列关于棱锥、棱台的说法:①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_____.解析①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形.③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.⑤错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.所以正确说法的序号为②③④.答案②③④方法归纳判断棱锥、棱台形状的两种方法：（1）举反例法.结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于梭锥、棱台结构特征的某些说法不正确.（2）直接法.棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点廷长后相交于一点变式训练3棱台不具有的性质是（）A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点答案C点拨由棱台的概念（棱台的产生过程）可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.变式训练4下列说法中，正确的是（）①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等.A.①②B①③C.②③D.②④答案B点拨由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.易错易混解读例水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A.1B.9C.快D.乐错解D错因分析空间想象能力不够，在翻折过程中认为“2”与“乐”相对.正解由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以面走“9”.故选B.纠错心得