福建省龙岩市龙岩市一级校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题（含答案）

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考高一数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（）A.1 B. C.2 D.3.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（）A. B. C. D.4.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若m，n是异面直线，，，，，则5.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为BC的中点，DE与CO相交于点F，M为DF的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.7.如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（）A.14 B.15 C.16 D.8.在四边形ABCD中，，，，若P为三条边上的一个动点，且，则以下说法正确的是（）①满足的点P有且只有1个②满足的点P恰有2个③能使取最大值的点P恰有2个④能使取最大值的点P有无数个A.①② B.①③ C.②③ D.②④二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（）A.复数z的虚部为 B.C.复数z是方程的解 D.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为11.如图，在长方体中，，，，E是棱CD上的一个动点，下列命题正确的是（）A.长方体外接球的表面积为B.过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为C.在棱上存在相应的点G，使得平面D.若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则DF的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，满足，，向量，的夹角为60°，则______.13.如图，为测量高度CD，选取与C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得，，千米，在点B处测得D的仰角为60°，则CD的高为______千米.14.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.（1）求a的值；（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.16.（本题满分15分）已知平面向量，.（1）当实数m为何值时，与垂直？（2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围.17.（本题满分15分）在中，D是BC边上的点且，.（1）求的值；（2）若，，求的面积.18.（本题满分17分）如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题.图1图2（1）求证：平面平面ABC.（2）求四面体ACMN的体积.（3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由19.（本题满分17分）古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线.（1）若BD为凸四边形ABCD的外接圆直径，，，，求BD与AC的长度；（2）若，且为正三角形，求面积的最大值；（3）已知x，y，z，，且，，求的最大值龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考高一数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678选项AACD`BDCD二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.题号91011选项ACDBCABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.14..8.解：如图，得.当P在边BC上时，设，，，又，，，，.当P在边AB上时，，，.当P在边AC上时，设，，，，，，，.①当时，，此时点P就是点C，或，此时点P在AB上，故①错误；②当时，有，或点P在AC上，这样的点P有2个，故②正确；③的最大值为，此时，，这样的点P有且只有1个，故③错误；④的最大值为3，当P在边BC上时，恒有，这样的点P有无数个，故④正确.故答案为D.14.解：由余弦定理可得，则，由正弦定理可得.因为为锐角三角形，则，，所以，又因为函数在内单调递增，所以，可得，则.由于为锐角三角形，因此即解得，所以，则.因为存在最大值，所以，解得.故.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.解：（1）复数，，，则.因为是纯虚数，所以解得.（2）由（1）得，.由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，所以，，因为，所以，解得或.16.解：（1）因为，，所以，.因为与垂直，所以，解得，故当实数m的值为4时，满足题意.（2），，因为与所成的角为锐角，所以，且与不共线，即.解得.当与共线时，，解得，故.综上可知.实数k的取值范围为.17.解：（1）如图，由题意知AD为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知，因为，所以，即.（2）设，在中，因为，，所以，所以.在中，，，所以，所以.又，所以，解得.在中，，，所以，所以.18.（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，同理得平面ABC，又平面PMN，平面PMN，，所以平面平面ABC.（2）解：在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，则，解得.所以在图2中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点，所以为等边三角形，所以，所以.，圆锥的高，所以，所以，即四面体ACMN的体积为.图2（3）解：在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，理由如下：如图3，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，所以，.取CB的四等分点G，使，连接GE，FG.因为，所以，，所以，，所以四边形DFGE是平行四边形，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.图319.解：（1）如图1，因为BD为外接圆的直径，所以，已知，所以，.因为，所以（同弧所对的圆周角相等）.在中，，，所以，.在中，，，由正弦定理，