2024-2025学年北京石景山区高三（上）期末数学（含答案）

第2页/共9页2025北京石景山高二（上）期末数学本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）直线的倾斜角为（A） （B） （C） （D）（2）双曲线的渐近线方程为（A） （B） （C） （D）（3）已知两条不同直线与两个不同平面，下列命题正确的是（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）则（4）过点作圆的切线，则切线的方程为（A） （B）（C）或 （D）或（5）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）（6）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（A） （B）（C） （D）（7）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（A） （B） （C） （D）（8）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）直线（9）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（A） （B） （C） （D）（10）如图，在正方体中，为棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，总有，则动点的轨迹为（A）两个点（B）线段（C）圆的一部分（D）抛物线的一部分第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。（11）在空间直角坐标系中，已知点,则线段的中点坐标是___________．（12）点到直线的距离为__________.（13）若直线与直线平行，则的值为___________．（14）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则_______．（15）如图所示，在四面体中，，截面是矩形，给出下列四个结论：①平面平面；②∥平面；③平面平面；④平面．其中所有正确结论的序号是___________．

三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题6分）在中，O是坐标原点，，，求的外接圆方程．（17）（本小题8分）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，,分别为,的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．（18）（本小题8分）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若的面积为，求的值．

（19）（本小题9分）如图，在多面体中，四边形为正方形，四边形为梯形．，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得直线平面．（结论不要求证明）EEDCBAF（20）（本小题9分）已知椭圆，过点，且离心率为.设为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线相交于两点，且直线与椭圆交于另一点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线与的斜率之积为定值；（Ⅲ）判断三点是否共线，并证明你的结论．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）C （3）A （4）C （5）C（6）B （7）D （8）A （9）B （10）B二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11） （12）（13） （14）（15）①②③注：（15题未选全给2分）三、解答题（共5小题，共40分）（16）(本小题6分)解：设的外接圆的方程为（），【1分】则，【4分】解得，所以的外接圆方程为．【6分】（17）(本小题8分)解：（Ⅰ）取中点，连结，【1分】则且又且所以四边形为平行四边形所以【2分】又平面，平面【3分】所以平面【4分】（Ⅱ）因为⊥底面，底面所以⊥因为三角形为等边三角形,所以【5分】又,所以⊥平面【6分】又，所以⊥平面，【7分】而底面，所以平面平面.【8分】（18）(本小题8分)解：（Ⅰ）由题意得，的方程为．设，由得．【1分】，故．【2分】所以．【3分】当时，．【4分】（Ⅱ）因为，点到直线的距离．【5分】所以【6分】化简得，【7分】解得，即．【8分】（19）(本小题9分)解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．【1分】又因为，所以．因为所以平面．【2分】所以．【3分】（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，【4分】所以．zDAyDAxDAEDCzDAyDAxDAEDCBAFM则【5分】即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．【7分】（Ⅲ）存在【9分】设，设，则，所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．（20）(本小题9分)解：（Ⅰ）根据题意可知【1分】解得所以椭圆的方程.【3分】（Ⅱ）根据题意，直线的斜率都存在且不为零.设，则.【4分】则.【5分】因为，所以.所以.所以直线与的斜率之积为定值.【6分】（Ⅲ）三点共线.证明如下：【7分】设直线的方程为，则直