山东省某中学2023-2024学年高二年级上册10月月考数学试题（解析版）

山东省实验中学2023〜2024学年第一学期月考

高二数学试题

2023.10

说明：说明：本试卷满分120分，分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I

卷为第1页至第3页，第n卷为第4页至第5页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填

涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间90分钟.

第I卷(共60分)

一、单项选择题(本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意)

1.在空间直角坐标系°盯2中，点(L-2,4)关于y轴对称的点为()

A.(-1,-2,-4)B.(-1,-2,4)C.(1,2,T)D.(1,2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据空间对称关系得到答案

【详解】关于y轴对称，则y值不变，％和z的值变为原来的相反数，

故所求的点的坐标为(—L—2,T).

故选：A.

【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的空间想象能力.

2.已知三棱锥O—ABC,点N分别为ASOC的中点，且Q4=〃，OB=b，OC=c，用。，6,c

表示MN，则MN等于()

g(a-6+c)

A.—(6Z+Z?—^)B.—(/7+c—u)C.-(c-a-b)D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.

o

/Yx

•C

B

MN=MO+ON

1uuriuuniuma

=——OA——OB+-OC

222

—匕+匕.

222

故选：c.

3.在同一坐标系中，表示直线y二=<re与y=x+"正确的是()

人手

。一

【答案】C

【分析】本题为判断函数图像，根据一次函数的斜率大于0,可以排除B,D,再看。的取值符号相同，即

可得到本题答案.

【详解】由一次函数丁=*+。可知，函数为增函数，故排除B,D选项，A选项中，由丁=⑪可知

a>Q,函数丁=*+。中的。<0,故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合a<0的情况，故C正

确.

故选：C

4.已知圆的一般方程为f+/+4%—2y—4=0,则圆的半径为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】化圆的一般方程为标准方程即可得解.

【详解】由/+/+4*一2y—4=0可得圆的标准方程：（无+2『+（y—1『=9,

故圆的半径为3.

故选：C

5.直线4:“一丁+1=0,/2：（3加一2卜+枢y—2=0,若4上4，则实数加的值为（）

A.0B.1C.0或1D.工或1

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.

【详解】《_1_，20机（3"7—2）-机=0,即加一加=0，解得加=0或小=1.

故选：C.

6.正三棱锥P-A5C的侧面都是直角三角形，瓦/分别是A5BC的中点，则PB与平面？即所成角的

正弦值为（）

A.且B.逅C.BD.逅

6633

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】因为正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，

所以可以以尸为原点，PA,PB,PC分别为苍y,z轴建立空间直角坐标系，

设:PA=PB=PC=2,

因为E,F分别是AB,BC的中点,

所以P(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2,0),C(0,0,2),石(1,1,0),b(0,1,1),

PB=(O,2,O),PE=(l,l,O),PF=(O,l,l),

设平面？即的法向量为访=

m-PE-0x+y=0

则有<.n

m-PF=0y+z=0

PBm\

所以PB与平面FEF所成角的正弦值为：\cosPB,m\=

|PB|x|m|2x71+1+13

7.如图，在三棱锥尸-ABC中，已知PA=P3=LAC=后，AB=BC=2,平面？AB_L平面

2

ABC,则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）

«A/6r45nV6

A.------o.------C.------D.-------

6333

【答案】A

【解析】

【分析】取AB的中点为。，连接PQ，证明？平面ABC,AB±BC,然后建立空间直角坐标系,

利用向量求解即可.

【详解】

取AB的中点为。，连接尸。

因为=所以

因为平面？AB，平面ABC,平面K钻c平面ABC=AB,?Du平面

所以平面ABC

因为PA=PB=LAC=0,AB=BC=2

2

所以AB,5c

如图建立空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,P（0,l,l）,C（2,0,0）

所以AB=（O,-2,0）,PC=（2,-L,-L）

\AB-PC\2R

所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为7一n一7=­r=?

A5|-PC|2-V66

故选：A

8.如图，已知正三棱柱ABC-45]G的所有棱长均为1,则线段A片上的动点尸到直线3G的距离的最

A.立B.—C,—D.-

3253

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值

作答.

【详解】在正三棱柱ABC-4与。1中，在平面ABC内过A作AyLAB,显然射线A3,Ay,A&两两垂

直,

以点A为原点，射线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图,

Zj

因正三棱柱ABC—A31G的所有棱长均为1，则3(1,0,0),4(1,0,1),G(；，¥」)，

AB}=(1,0,1),BQ=(—，因动点「在线段AB1上，则令AP=〃LB]=«,0/),0</<1,

BPBC.1,八

即有点尸。,0,。，BP=(t-l,0,t),\BP\2=(t-V)-+t2=2t2-2t+l,-----:—=—1=(1+1),

IBCJ2V2

因此点尸到直线BG的距离d=J『—(即生)2=卜/2_2f+1_3(产+2/+1)=_2f1

丫\BCl\V8V848

3

当且仅当％=y时取等号,

所以线段A瓦上的动点P到直线BQ的距离的最小值为好

5

故选：C

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9.已知直线4：x+6y+G=0,/2:/zu+y+2=0(meR),则下列命题正确的有()

A.直线4在y轴上的截距为-1B.直线4的倾斜角为120。

C,直线4的倾斜角不可能为90。D.若直线4与直线6平行，则两平行线间的距离是

县

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】将4写成斜截式，可判断选项AB,由4的形式可知斜率一定存在，如果直线4与直线42平行，先

求出加，再根据平行线间距离公式可判断.

【详解】将4写成斜截式＞可得截距为-1，斜率为一日,倾斜角为150°,

42的斜率一定存在，所以倾斜角不可能为90。，

卜2+1|_6

-I，％■-m=

故答案为：ACD

io.已知正方体ABC。-44Gq的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A.直线用。与直线所成的角为90

B.直线8。与平面AC，所成角的余弦值为@

3

C,用。，平面AC。1

D.点B］到平面ACD,的距离为正

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】如图建立空间直角坐标系，求出4c和的坐标，由4c=0可判断A；证明

ACB1D=0,ADlBiD=0,再由线面垂直的判定定理可判断C；计算gsBQ,耳。的值可得线面角

的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B；利用向量求出点A到平面9耳。的距离可判断D.

【详解】如图以。为原点，分别以",DC。。所在的直线为％y，z轴建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(1,0,0),C(0,l,0),(0,0,1),4(1,1,1)，

对于A：4c=(—1,0,-1),ADX=(-1,0,1),

因为4c=(-L)x(-L)+0x0+(-l)xl=0,所以,即用C，A",直线gC与直线A?

所成的角为90，故选项A正确；

对于C：因为AC=(-1,1,0),ADX=(-1,0,1),^0=(-1,-1,-1),

所以AC-4D=1—1+0=0,AQ-4£>=l+0—1=0，所以AD}LByD,

因为ACIADi=A,AC,AD|U平面AC。，所以用。，平面AC，，故选项C正确;

对于B：由选项C知：与。，平面AC。，所以平面AC，的一个法向量

2_V2

因为耳C=(T,0,-1),所以cos@D,BiC)=——n—,即直线3。与平面AC。1所成

-

4。4c73x72A/3

角的正弦值为交

耳

=W

所以直线BXC与平面ACD,所成角的余弦值为故选项B正确;

对于D：因为平面AC。1的一个法向量=

BQ.d22J3

所以点用到平面ACD.的距离为d='—一二一尸二三一，故选项D不正确.

恸463

故选：ABC.

11.一光线过点(2,4),经倾斜角为135。的且过(0,1)的直线/反射后过点(5,0),则反舒后的光线还经过下

列哪些点()

【答案】BC

【解析】

【分析】点(2,4)关于直线/的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可

求解.

【详解】倾斜角为135。的且过(0,1)的直线/的方程为y—l=tanl35(%-0),即y=—尤+l.

设点A(2,4)关于直线I的对称点A(m,〃),

4+几m+2।

二---------------+1

m+n=-4-TTZ---3

则有《22即《解得4—,,即4(-3,-1).

n-4m—n=—2n=-l

,(T)=T

%一(—3)y一(―1)1/、

于是反射后的光线所在的直线方程/'为『二=八〉<,即:y="(x-5).

3—(—3)6—(—1)8

反射光线(射线)不经过该点y=-故A错误;

3

对于B：X=2时y=—，故B正确；

8

对于C：1=3时)=一］,故C正确;

对于D：尤=4时、=一£,故D错误;

故选：BC.

12.图，在棱长为2的正方体ABC。—A6G。中，点及厂分别是线段AC,上的动点，

AE=AAC>=-且记所与44］所成角为a，所与平面A3CD所成角为

夕，则()

A.当2=工时，四面体尸―AEB的体积为定值

2

B.当〃=；时，存在X,使得即//平面BOD/]

7T

C.对于任意X,〃，总有。+，二—

2

D.当2=〃=g时，在侧面BCCdi内总存在一点P，使得PE工PF

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正方体的结构特征，由三棱锥的体积计算判断A；取点E，借助面面平行推理判断B；利用线

线角、线面角的意义判断C；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断D作答.

【详解】对于A,当2=’时，E为AC的中点，AEB的面积为定值，点E到平面AE5的距离为定值2,

2

因此四面体厂的体积为定值，A正确；

对于B,当〃=；时，/为AR的中点，取的中点G,令AC5。=O,取AO的中点G,连接EG,尸G,

显然FG//。〃,FG<Z平面BDRB[,DD]u平面BDD^,则FG//平面BDD^,

而EG//。。，同理EG//平面，又EGcFG=G,EG,FGu平面EFG,

因此平面EFG//平面8。，四，又EFu平面EFG,所以石尸//平面3。。与，B正确；

对于C,过/作BG//A&交A。于G,连接EG,由A4，平面ABCD,得/G,平面ABCD,

而EGu平面ABCD,有歹GLEG,显然/FEG是跖与平面ABCD所成的角，即尸=ZFEG,

JT

由RG//AA，得NEFG是跖与A4所成的角，即cr=NERG,所以/+/=/EbG+/FEG=5,C正

确；

对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，当％=〃=；时，石(1,1,0),下(1,0,2),点尸在侧面3。。d1内，

设P(x,2,z),x,ze[0,2],PE=(1-x,-l,-z),PF=(1-x,-2,2-z),

则PE-PR=(1—x)2+2+z(z—2)=(1—x)2+(z—1)2+121〉。，于/EFE始终为锐角，D错误.

第n卷(非选择题，共60分)

三、填空题(本题包括4小题，共20分)

13.点M到x轴和到点N(—4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为.

【答案】(2,10)或(-10,10)

【解析】

【分析】由点M到x轴距离等于10可知其纵坐标，设点M的坐标，根据两点间的距离列式求解即可.

【详解】因为点M到x轴距离等于10可知其纵坐标为±10,又点M到N,距离也为10,且N在第二象限，

可知M的纵坐标为10,设为(泡,10),

由两点间距离公式：=+4+(10-2)2=10,解得：均=-10或2,

所以点M的坐标为：(2,10)或(-10,10).

【点睛】本题考查平面直角坐标系中的坐标特征与两点间距离公式，由题意设点的坐标列式求解即可，注

意计算的准确性及多种情况求解.

14.已知向量AB=(1,5,-2),BC=(3,1,2),£＞石=(九,一3,6).若。£//平面/阳则x的值是

【答案】5

【解析】

【分析】由。E//平面ABC,可得存在事实使得=+利用向量相等的性质列方

程即可得结果.

【详解】。£//平面ABC,

存在事实m,〃,使得DE=mAB+nBC»

x=m+3n

-3=5m+n,解得％=5.

6=-2m+2n

故答案为5.

【点睛】本题考查了线面平行的坐标表示，以及向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查

利用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

15.已知点。(—2,2),直线/:(2+2)尤—(4+l)y—42—6=0,则点尸到直线/的距离的取值范围为

【答案】［0,40)

【解析】

【分析】化简直线为(2x—y—6)+2(%—y—4)=0,得出直线/过定点”(2,—2),根据点归网|的长

度，进而求得点P到直线/的距离的取值范围.

［详解］把直线/：(/l+2)x_(2+l)y—44—6=0化为(2%_y_6)+4(x_y_4)=0,

联立方程组k2x-1y-6=0'解叱\x=72'即直线/过定点”，一2)，

-2-2夕+2

又由即M=c/c、=-l，且——X(-1)^-1,所以直线尸M与/不垂直,

2一2+1

所以点尸到直线/的距离PM<J(2+2)2+(-2-2)2=4后,

即点P到直线/的距离的取值范围为［0,40)

故答案为：［0,4强).

【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，

属于中档试题.

D.P,

16.设动点尸在棱长为1的正方体ABC。—AgGA的对角线上，记六=几.当/APC为钝角时,

L)XD

则X的取值范围是.

【答案】即

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求得PA,PC,根据PC<0求得2的取值范围.

【详解】由题设可知，以。为坐标原点，以D4,OC,DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则有4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),4(0,0,1),

则Z^B=(1,1,-1),得。］P==(A,Z,—A),

所以=PR+AA=(-4—X,2)+(1,0,-1)=(1-2,-2,2-1),

PC=PD1+D1C=(-2,-2,2)+(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1),

显然/APC不是平角，所以NAPC为钝角等价于尸A.PC<0,

即一2(1_2)(1_2)+(2_I)2<0,即<0,

解得;<彳<1,因此4的取值范围是

四、解答题(本大题共4小题，共40分.解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤)

17.已知直线4:2x—y+l=0和4:》一丁一2=0的交点为尸.

(1)若直线/经过点尸且与直线4：4x-3y-5=0平行，求直线/的方程；

(2)若直线能经过点P且与x轴，y轴分别交于A,B两点，尸为线段AB的中点，求AOAB的面积.(其

中。为坐标原点).

【答案】⑴4x~3y-3=0

(2)30

【解析】

【分析】(1)联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案;

(2)由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面

积公式，可得答案.

【小问1详解】

2%-y+l=Ofx=-3

由1c求得1可得直线乙和/，的交点为P(—3,-5).

%-y-2=0['=-5

44

由于直线4的斜率为§，故过点尸且与直线4平行的直线/的方程为y+5=§(x+3),

即4x-3y-3=0.

【小问2详解】

由题知：设直线机的斜率为左(左wO),则直线机的方程为y+5=^(x+3),

故4g5-3,0）3（0,3左—5）,且厂3:§弘一5-55

且^~-=-5,求得左=二=

233

故A(—6,0)、8(0,—10).

故AOAB的面积为03='x6x10=30.

22

18.已知圆心为C的圆经过点A(Ll)和B(2,—2),且圆心C在直线/:x—y+l=0上.

(1)求圆心为C的圆的一般方程;

(2)已知P(2,l),Q为圆C上的点，求|PQ|的最大值和最小值.

【答案】（1）x2+y2+6x+4y-12=0

(2)最大值为庖+5，最小值为取-5

【解析】

【分析】(1)直接设圆心坐标并建立|C4|=|CE|方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程;

(2)利用圆的性质及两点坐标公式计算即可.

【小问1详解】

:圆心C在直线/：x—y+l=。上，不妨设C(a,a+1),半径厂，

则=(«—1)+a2=|CZ?|2=(a—2)~+(a+3)~=r2=>tz=—3,r=5,

•••圆心C坐标为C(-3,-2),则圆C的方程为(x+3)2+(y+2『=25；

其一般方程为f+丁+6x+4y—12=0.

【小问2详解】

由(1)知圆C的方程为(x+3丫+(丁+2)2=25,

.,.|PC|2=(2+3)2+(l+2)2=34>25,在圆C外，

•••附|的最大值为归。|+厂=取+5,最小值为归。|一厂=庖—5.

19.如图，正三棱柱A3C-A31cl中，AB=2,A&=3,E,E分别是棱A4,8月上的点,

(1)证明：平面CEFJ_平面ACG4；

(2)求耳到平面距离；

(3)求直线A。与平面CTG夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵V2

-7130

13

【解析】

【分析】(1)取8C和用G的中点。和G,以。为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面C即和

平面的一个法向量”=(一1,—\/§\2),m=(石，一1,0),结合机_1_“，即可得证；

(2)由平面CM的法向量为〃=(-1,-g,2),且尸耳=(0,0,2),结合向量的夹角公式，即可求解；

(3)由Q4_L平面3。。1片，得到平面C^G的一个法向量。4=(0,6,0)和C]4=(l,6,-3),结合向量的

夹角公式，求得直线AG与平面CTG夹角余弦值.

小问1详解】

证明：取5c和3G的中点。和G,连接QA和。G,

在正四棱柱A3C—4用01中，可得VA3C为正三角形，所以。4,3C,

以。为原点，O5OAOG所在的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，可得C(—1,0,0),A(0,s/3,0),F(l,0,l),E(0,6,2),

则CF=(2,0,1),CE=(1,A2),CA=(1,6,0),Cq=(0,0,3),

H.cF-+z—0

设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，则<广，

〃。=X+A+2Z=0

取JV=—1,可得y=—J§\z=2,所以〃=(—1,—,

mCA-a+y/3b=0

设平面ACG4的一个法向量为根=(Q/,c)，贝叶

m•CC]=3c=0

取Z?=—1,可得。=A/§\C=0,所以根=1,0),

因为加•〃=—A/3+y/3=0,即加_L〃,所以平面CEFJ_平面ACCiAi.

【小问2详解】

由平面C印的法向量为〃=(—1,—g,2),且FB]=(0,。,2),

设直线FB]与平面CEF所成的角为夕，

/、FB],n472

可得sin0—cos(FB,,n)=---n-=—产—=—,

'/FB^n2A/2X22

又因为|F闻=2,所