广东省部分名校2024-2025学年高二上学期12月联合检测数学试题

第1页/共1页高二数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第二节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分别求直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系，即可判断选项.【详解】对于A，直线的斜率，则倾斜角；对于B，直线的倾斜角；对于C，直线的斜率，则倾斜角；对于D，直线的倾斜角，所以直线的倾斜角最大.故选：C.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程的特征即可求解.【详解】双曲线的焦点在轴上，，，所以渐近线方程为.故选：B.3.已知向量，，若，则（）A B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：A.4.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解.【详解】圆化为标准方程为，则圆心为，半径，由题意得，解得.故选：C.5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与长轴垂直的直线交C于A，B两点.若为直角三角形，则C的焦距为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，求出,根据为等腰直角三角形,得到，结合计算即可.【详解】由题可求得，则.根据椭圆对称性，可知为等腰直角三角形，所以，则，解得，所以椭圆C的焦距为.故选：A.6.已知圆与圆的公共弦与直线垂直，且垂足为，则圆N的半径为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求公共弦方程，再根据直线垂直结论得到，解得.将点坐标代入，求出，得到圆的方程即可.【详解】因为圆与圆，所以它们的公共弦方程为.因为公共弦与直线垂直，所以，解得.将点的坐标代入，可得，圆可化为，故圆N的半径为.故选：B.7.已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P是C上一点，直线PA，PB的斜率分别为和3，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，由直线的斜率公式，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，由离心率公式即可求解.【详解】设，则，因为，，所以，则C的离心率.故选：D.8.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题目定义得到直线的一个方向向量，和平面的法向量，由向量夹角的求解公式得出线面角的正弦值.【详解】经过点的直线的方程为，即，则直线的一个方向向量为.又经过点的平面的方程为，即，所以的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.故选：B.二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，下列结论正确的有（）A.若，则是椭圆 B.若是圆，则C.若，则是双曲线 D.若，则是两条平行于轴的直线【答案】CD【解析】【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的方程的特点逐项判断即可.【详解】对于A选项，若且，则是椭圆；对于B选项，则是圆，则；对于C选项，若，则是双曲线；对于D选项，若，方程为，则是两条平行于轴的直线.故选：CD.10.在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有（）A.四边形为正方形B.四边形的面积为C.在上的投影向量的坐标为D.点P到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】根据是否相等，是否垂直，即可判断A；求出再根据即可判断B；根据投影向量的定义即可计算判断C；根据点到平面的距离的向量求法即可判断D.【详解】对于A，，则，所以，与不垂直，所以四边形为平行四边形，故A错误；对于B，，所以，所以四边形的面积为，故B正确；对于C，，则在上的投影向量为，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则有，令x=1，则，所以点到平面的距离为，故D正确.故选：BCD.11.已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（）A.m的取值范围为 B.m的取值范围为C.n的取值范围为 D.n的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解.【详解】由曲线，得，则，所以曲线表示圆心为，半径的半圆（x轴及以上部分）.设为点到直线的距离，为点到直线的距离.已知，即表示点到直线和的距离和的倍.由图可知，该曲线两平行直线，之间时，点到直线和的距离和为两平行线之间的距离.当与曲线相切时，，解得，则m的取值范围为；当经过点时，，解得，则的取值范围为.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为_______.【答案】或【解析】【分析】分别求出两坐标轴上的截距，进而可得出答案.【详解】令，则，令，则，则，即，解得或.故答案为：或.13.在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则______.【答案】##【解析】【分析】连接BD，利用向量线性运算得，根据及P，A，C，F四点共面的向量结论列式求解即可.【详解】连接BD，由题可知.又，所以，且P，A，C，F四点共面，所以，解得.故答案为：14.已知P是椭圆位于第一象限上的一点，，分别是C的左、右焦点，，点Q在的平分线上，O为坐标原点，，且，则C的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】延长OQ交于点A，利用得A为的中点，根据角平分线及，得，结合椭圆定义及勾股定理列式化简得，即可求解离心率.【详解】设，，延长OQ交于点A.由题意知，O为的中点，故A为的中点.由，，得是等腰直角三角形，则化简得即代入得，即.因为，所以，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆M经过点，，.（1）求圆M的标准方程；（2）若倾斜角为的直线l经过点，且l与圆M相交于E，F两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将三点代入圆的标准方程，即可求解；（2）首先求直线方程，再根据弦长公式，即可求解.【小问1详解】设圆M的标准方程为，将点，，代入方程，可得解得，，，所以圆M的标准方程为.【小问2详解】直线l的方程为，即.圆心到l的距离，所以.16.如图，在正方体中，分别为和的中点.（1）证明：直线平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以，又平面，所以直线平面；【小问2详解】A0,0,0故，设平面的法向量为，则有，可取，所以，即平面与平面夹角的余弦值.17.一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M.（1）求光线从点P到点M经过的路程；（2）求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）4（2）或【解析】【分析】（1）设点关于直线的对称点为，运用“中”“垂”性质构造方程组，求出，进而求出，再求路程即可；（2）设反射光线为，即，利用直线与圆相切条件计算k即可.【小问1详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，即.又圆心，所以，则光线从点P到点M经过的路程为.【小问2详解】由题可知反射光线经过点，易知反射光线的斜率存在，故设反射光线为，即.又圆心，所以，解得或.故反射光线所在直线的方程为或.18.已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，且实轴长为.直线与C交于A，B两点.（1）求C的方程；（2）若点为线段AB的中点，求k的值；（3）若，且A，B两点都位于y轴的右侧，求k的取值范围.【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）根据等轴双曲线概念，结合条件构造方程组求出即可；（2）运用点差法求解即可；（3）直曲联立，借助韦达定理和根的判别式即可.小问1详解】由题可设，因为实轴长为，所以，即.故C的方程为.【小问2详解】设，则两式相减得，整理得.因为线段AB的中点坐标为，所以，，所以直线AB的斜率.【小问3详解】由可得.因为直线与C的右支交于不同的两点，所以，故，即k取值范围为.19.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆.（2）在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线C.（i）求曲线C的方程；（ii）已知曲线C与x轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线于点M，直线BP交直线于点N，证明以MN为直径的圆G与x轴交于定点H，并求出点H的坐标.【答案】（1）（2）（i）；（ii）证明见解析，或【解析】【分析】（1）根据伸缩变换的定义计算即可；（2）（i）运用伸缩变换定义，构造方程计算即可；（ii）令点，点.设点，则，设直线AP的方程为，求出直线AP与直线的交点为.也求出直线BP与直线的交点为