2025年高考数学模拟卷（一）含答案及解析

2025年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•陕西西安•三模）若集合4={用代W2},B={-3,-1,0,1,3},则ACB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

2.（5分）（2024•湖南衡阳•模拟预测）若复数z=，贝叶的虚部为（）

A.-2iB.2iC.2D.-2

3.（5分）（2024•湖北武汉•一模）已知向量a=（—1,2）,b=（x,4）,且alb,则例=（）

A.4V5B.4V3C.2V5D.8

4.（5分）（2024•江西九江•三模）若2sin（a+3=cos（a—舁，贝肚an（a—£）=（）

A.-4—V3^B.-4+C.4—V3D.4+-\/3

5.（5分）（2024・浙江•模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各

地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛

的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为

50cm,斛内高36cm,那么一斗米的体积大约为立方厘米？（）

C.31500D.52500

__

6.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/'(%)=,-43是R上的单调函数，则实数a的

loga(4x)-l,x>-4

取值范围是()

A.(0,1)B.(1,V3]C.(1,V3)D.(1,3)

7.(5分)(2024•湖北武汉•模拟预测)设3>0,已知函数/'(£)=sin(33x-gsin(25+金在(0m)上恰

有6个零点，则3取值范围为()

儿(品]c得用D(淖]

8.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(久)的定义域为R,函数/(久)=/(I+%)-(1+久)为偶函

数，函数6(吗=/(2+3切-1为奇函数，则下列说法错误的是()

A.函数/(乃的一个对称中心为(2,1)B./(0)=-1

C.函数/'(%)为周期函数,且一个周期为4D.f(l)+/■⑵+f⑶+f(4)=6

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)(2024•四川成都•模拟预测)己知X,丫都是服从正态分布的随机变量，且X〜N(外,簧)，Y〜N3

,172),其中〃I,〃26R,CTI,CT2GR+,则下列命题正确的有()

A.E(X)=%

B.D(X)=tri

C.若〃i=2,6=1,则P(XW1)+P(XW3)=1

D.若〃i=〃2=0,。1=2,o-2=3,则P(|X|W1)>P(|HWl)

10.(6分)(2024•河北衡水•三模)已知函数/(%)=炉-小刀2,%=2是函数/(X)的一个极值点，则下列说

法正确的是()

A.m=3B.函数f(x)在区间(-1,2)上单调递减

C.过点(1,-2)能作两条不同直线与y=/(x)相切D.函数旷=升/。)]+2有5个零点

11.（6分）（2024•广东江门•一模）已知曲线E:岑+萼=1,则下列结论正确的是（）

4o

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在第二象限

D.M（x（）,yo）是曲线E上任意一点，贝11|四右+的取值范围为（0,4]

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024・上海・模拟预测）椭圆，+餐=1（£1>6>0）的左、右焦点分别为尸1尸2,过尸2作无轴的垂

线交椭圆于P,Q,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.

13.（5分）（2024・上海•三模）设曲线/（久）=。9+6和曲线g（x）=cos号+c在它们的公共点P（0,2）处有相

同的切线，则厅+c的值为.

14.（5分）（2024・云南•模拟预测）现有标号依次为1,2,3的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个

白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里

面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•安徽芜湖•三模）已知a,hc分别为△4BC三个内角4B,C的对边,且6cos2+V3bsinX=a+c

⑴求B；

（2）若b=2,△ABC的面积为g，。为AC边上一点，满足CD=24。，求BD的长.

16.（15分）（2024•浙江绍兴•三模）己知双曲线「/一。=1与直线八丫=久+1交于在、B两点（4在B左

侧），过点力的两条关于/对称的直线人、A分别交双曲线「于C、。两点（C在右支，。在左支）.

（1）设直线。的斜率为七，直线%的斜率为七，求七・七的值；

（2）若直线CD与双曲线「在点B处的切线交于点P,求△ABP的面积.

17.(15分)(2024•江西宜春•模拟预测)如图1,在五边形4BCDE中，AB=BD,ADLDC,EA=ED且

EAX.ED,将△4ED沿4D折成图2,使得EB=4B,F为4E的中点.

图1图2

(1)证明：BF〃平面ECD；

(2)若EB与平面4BCD所成的角为30。，求二面角4-EB-D的正弦值.

18.(17分)(2024・四川南充•模拟预测)已知函数f(x)=l-x[(lnx)a-制,a€R.

(1)若函数/(x)在久=9处切线的斜率为j求实数a的值；

(2)当a=2时，[1,+8),/(%)-0恒成立，求实数m的最大值；

n

,2>ln(2n+l),neN*.

Zi=lV(2i)2-1

19.(17分)(2024•安徽芜湖・模拟预测)对于数列｛an｝,｛bn｝,如果存在正整数23,当任意正整数

时均有历<a1<b2<a2<...<an_i<bn<an,则称｛an｝为｛bn｝的“沏项递增相伴数列”.若n。可取任意的正

整数，则称｛an｝为也｝的“无限递增相伴数列”.

(1)已知bn=2H请写出一个数列｛%｝的“无限递增相伴数列｛an｝"，并说明理由？

(2)若｛an｝,｛bn｝满足斯+bn=6n-2,其中也｝是首项比=1的等差数列，当｛an｝为也｝的“无限递增相伴数列”

时，求｛斯｝的通项公式：

(3)已知等差数列｛%｝和正整数等比数列｛斯｝满足：斯=^缄八以卜+i)-i(n=1,2，…,2024),其中人是正整

数，求证：存在正整数上使得｛an｝为｛以｝的“2024项递增相伴数列”.

2025年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024,陕西西安•三模）若集合4=W2},B={-3,-1,0,1,3},则ACB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

【解题思路】先求解根式不等式，化简集合4然后再根据集合交集运算规则即可求解.

【解答过程】依题意得力={x\y[x<2}-[0,4]>则anB=[0,1,3）.

故选：C.

2.（5分）（2024・湖南衡阳•模拟预测）若复数z=MJ，贝叶的虚部为（）

A.-2iB.2iC.2D.-2

【解题思路】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可.

,冷刀匠、廿工口中13-i（3-i）（l-i）3-l-4i

【解答过程】片干=（i+i）（i-i）=~r~=1-21,

所以：的虚部为-2.

故选：D.

3.（5分）（2024•湖北武汉•一模）已知向量a=（—1,2）,b=（x,4）,且a16,则网=（）

A.4V5B.4V3C.2V5D.8

【解题思路】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可.

【解答过程】因为a1b,所以=-lxx+2x4=0,所以％=8,

因为1=(8,4),所以“=,82+42=4V左

故选：A.

4.(5分)(2024•江西九江•三模)若25也(仇+勺=3(仇一9，贝ijtan"/)=()

A.-4—^3B.—4+C.4—D.4+V3

【解题思路】设S=a-也则原等式可化为2sin(/?+?=cos(/?—3,化简后求出tan/?即可.

【解答过程】令夕=a一也则a=S+?

所以由2sin(a+])=cos(a-勺，

得2sin(4+])=cos(/?-B，

即2cos/?=亨ocs£+|sin/?,

即sin£=(4-V^jcosS，得tan/?=

所以tan(a-微)=tanQ=4-V3,

故选：C.

5.(5分)(2024・浙江•模拟预测)清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各

地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛

的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为

50cm,斛内高36cm,那么一斗米的体积大约为立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【解题思路】利用棱台的体积公式，即可计算得出答案.

【解答过程】一斛米的体积为了=(。上+S下+[上S下｝=(252+502+25X50)x36=52500(cm3),

因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为卷=10500(cm3),

故选：A.

---z—x<-

,~43是R上的单调函数，则实数a的

loga(4x)-l,x>-

取值范围是()

A.(0,1)B.(1,V3]C.(1.V3)D.(1,3)

【解题思路】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于a的不等式,

即可求解.

【解答过程】根据题意，当xW：时，/(x)=—七=三，可得/(X)在(―叫H上递增，

--

要使得函数f(X)=,言3是R上的单调函数，

loga(4x)-l,x>-

则满足a>l,Jlloga(4xy)-l>-4XL4>解可得

所以实数a的取值范围为(1,、⑶.

故选：B.

7.(5分)(2024•湖北武汉•模拟预测)设3>0,已知函数/■(%)=sin(3s:-加n(23x+等)在(0万)上恰

有6个零点，则3取值范围为()

A-(S-3B.偿，目C偿用D.

【解题思路】令/(%)=0,解方程得刀=空户或％=当梦，在区间(0,n)取6个零点即可.

【解答过程】由题意可知，

令/'(x)=sin(3a>x—T)sin(2a>x+金=0,

即sin(33x—怖)=0或sin(23x+=0,

即久;管翳或％=啮史，

口5n7n9ir13TT17TT19TT

当x>0时，零点从小到大依次为x=

12co'五?五?五？12a/12co'五？

因此有翳

即3c修玛.

故选：B.

8.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(%)的定义域为R,函数9(%)=/(1+%)-(1+%)为偶函

数，函数6(吗=/(2+3吗-1为奇函数，则下列说法错误的是()

A.函数/(乃的一个对称中心为(2,1)B./(0)=-1

C.函数/(%)为周期函数，且一个周期为4D./(I)+/(2)+/(3)+/(4)=6

【解题思路】对于A,由G(x)为奇函数，则G(-久)=-G(x),再将6(久)=/(2+3尤)一1代入化简可求出对称

中心；对于B,由选项A可得f(2)=l,再由F0)为偶函数可得f(l+x)-f(l-x)=2x,令x=l可求出

/(0)；对于C,由/(X)的图象关于点(2,1)对称，结合/(0)=-1求出/(4)进行判断；对于D,利用赋值法求

解判断.

【解答过程】对于A,因为G(x)=/(2+3x)—1为奇函数，

所以G(-x)=-G(x),gp/(2-3x)-l=-，(2+3x)-1],

所以J(2-3x)+f(2+3x)=2,所以f(2—%)+/(2+x)=2,

所以函数/(久)的图象关于点(2,1)对称，所以A正确，

对于B,在f(2-%)+f(2+%)=2中，令尤=0,得2f(2)=2,得/(2)=1,

因为函数/(x)=/(I+%)-(1+尤)为偶函数，所以F(-幻=F(x),

所以/'(l-x)-(l-x)=/(I+x)-(l+x),

所以/(1+%)一/(1一支)=2久,

令％=1,则f(2)—f(0)=2,所以1—/(0)=2,得/(())=-1,所以B正确,

对于C,因为函数f(x)的图象关于点(2,1)对称，/(0)=-1,

所以/4)=3,所以-0)7f(4),

所以4不是/(x)的周期，所以C错误，

对于D,在/(2-吗+/(2+%)=2中令刀=1,则f(l)+/(3)=2,

令x=2,则f(0)+〃4)=2,因为-0)=-1,所以f(4)=3,

因为/1(2)=1,所以/'⑴+/(2)+/(3)+/(4)=6,所以D正确,

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)(2024•四川成都•模拟预测)己知X,丫都是服从正态分布的随机变量，且X〜N(包簧)，Y〜Ng

，黄)，其中“2CR,0-1,0-2GR+＞则下列命题正确的有()

A.E(X)=4]

B.D(X)=Oi

C.若%=2,6=1,则P(XW1)+P(XW3)=1

D.若〃i=〃2=0,-i=2,0-2=3,则P(|X|W1)>P(|Y|Wl)

【解题思路】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的

性质即可判断D.

【解答过程】对于A,由正态分布的期望公式得，E(X)=",故A正确；

对于B,由正态分布的方差公式得，D(X)=戊，故B错误；

对于C,由正态分布的对称性得，P(XW1)=P(X23),

所以P(X<1)+P(X<3)=P(X>3)+P(X<3)=l,故C正确；

对于D,由〃i=〃2=0，。1=2,cr2=3,则簧=4,成=9,

根据方差的性质知，X分布更集中，所以P(|X|W1)>P(|HW1),故D正确；

故选：ACD.

10.(6分)(2024•河北衡水•三模)已知函数/0)=久3一6/,久=2是函数/(久)的一个极值点，则下列说

法正确的是()

A.m=3B.函数f(x)在区间(-1,2)上单调递减

C.过点(1,一2)能作两条不同直线与y=fQ)相切D.函数旷=升/0)]+2有5个零点

【解题思路】求得f'(x)=3/-2mX,根据r(2)=0,可判定A正确；由尸(x)=3x(x—2),利用导数的符号

求得函数f(x)的单调区间，可判定B错误；设过点(1,-2)且与函数y=f(x)相切的切点为(xO,yo),求得切线

方程，列出方程求得配的值，可判定C错误；令〃x)=t,作出函数的图象，得到—l<ti<0<t2<t3,进

而的函数零点的个数，可判定以D正确.

【解答过程】对于A中，由函数f(x)=/―爪/,可得「(%)=3%2-2巾%,

因为久=2是函数/(x)的一个极值点，可得尸(2)=3x22-2巾X2=0,

解得爪=3,经检验适合题意，所以A正确；

对于B中，由尸(久)=3%(%—2),令/(久)=0,解得Xi=0或%2=2,

当x6(—8,0)时，尸(x)>0；当xe(0,2)时，f'(x)<0；当xe(2,+8)时，f(x)>0,

故f(x)在区间(-8,0)上递增，在区间(0,2)上递减，在区间(2,+8)上递增，所以B错误；

对于C中，设过点(L-2)且与函数y=f(x)相切的切点为(配,处)，

则该切线方程为y==(3就一6m)。一1)-2,

__2

由于切点(%o，yo)满足直线方程，贝！irOo)=(3XQ-6x0)(^o1)=焉-3痣

整理得2(x0-1)(焉—2祀+1)=0,解得%o=L所以只能作一条切线，所以C错误；

对于D中，令f（x）=t,则-t）=一2的根有三个，如图所示，2Vt3,

所以方程f（x）=11有3个不同根，方程/'（X）=以和/'（X）=%均有1个根，

故y=/l/（x）］+2有5个零点，所以D正确.

11.（6分）（2024•广东江门•一模）已知曲线E:岑+萼=1,则下列结论正确的是（）

4o

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为［-2,2］

C.曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在第二象限

D.M（%o，yo）是曲线E上任意一点，则|或久0+%|的取值范围为（0,4］

【解题思路】首先对X、y分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B,由双曲线的渐

近线与y=-1.4%的关系判断C,由点到直线的距离公式得到|6通+yob即点M（%o,yo）到直线+y=0

的距离的四倍，求出直线近x+y+c=0与曲线?+看=1（*20）20）相切时c的值，再由两平行线将的距

离公式求出|鱼孙+yol的最大值，即可判断D.

【解答过程】因为曲线E:岑+等=1,

4o

当X20,丫20时1+（=1,则曲线E为椭圆1+（=1的一部分；

4o43

当％>0,）/<0时1一（=1,则曲线E为双曲线3—《=1的一部分，

4-o4-o

且双曲线的渐近线为y=±V2x；

当％<0,）/>0时q-3=1,则曲线E为双曲线（一［=1的一部分，

且双曲线的渐近线为y=±V2%；

可得曲线的图形如下所示：

由图可知y随着x增大而减小，故A正确;

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误;

因为-1.4>-VL所以曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在第四象限，故C错误:

|V^Xo+yo|

因为|鱼配+y0|=V3XJ（耳+12,即点MQ）,yo）到直线+y=0的距离的四倍，

当直线缶+y+c=0与曲线?+^=l(x>0,y>0)相切时,

由［；_4+8-1,消去y整理得4X2+2V2CX+c2-8=0,

lv2x+y+c=0

2

则△=(2V^c)-16(c2-8)=0,解得c=4(舍去)或c=—4,

_⑶4

又衣％+y=。与+y-4=0的距离d==再，

所以|近&+y0|max=V3d=4,

所以+y0|的取值范围为（0,4],故D正确;

故选：AD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024・上海•模拟预测）椭圆，+=l（a>6>0）的左、右焦点分别为%,尸2,过尸2作无轴的垂

线交椭圆于P,Q,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_仓二

【解题思路】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.

【解答过程】令椭圆的半焦距为c,由PQlx轴，为等腰直角三角形，得|PF2l=l%尸2l=2c,

|P%|=五|%尸2|=2五c,由椭圆的定义得|P%|+|P&I=2a,即2近c+2c=2a,

r1

所以椭圆的离心率e=-=-^77=V2-1.

aV2+1

故答案为：V2—1.

1

13.(5分)(2024・上海•三模)设曲线f(X)=aeX+b和曲线g(x)=cos号+c在它们的公共点P(0,2)处有相

同的切线，则/+c的值为2.

【解题思路】根据两曲线在P(0,2)有公切线，贝必是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出a,瓦c的值,

则答案可求.

【解答过程】由已知得嗫3；仁仁]解得c=l,6=2—a,

又f'(x)=aex,g'(x)=-fsin^x,

所以尸(0)=9'(0)得a=。，

所以a=0,b=2,c=1,

所以/?a+c=2°+l=2.

故答案为：2.

14.(5分)(2024•云南•模拟预测)现有标号依次为123的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个

白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里

面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为=.

-----1Q-----

【解题思路】设4：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=0,1,2,B-.3号盒子里面是2个红

球和2个白球，则8=48U&8U4B,由概率的乘法公式和全概率公式可得P(B)=P(B|4o)P(&)+P

(BM1)P(X1)+P(B|42)P(42),再由古典概型分别求出对应结果，代入计算即可得到答案.

【解答过程】设4：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=0,1,2,

B：3号盒子里面是2个红球和2个白球，所以8=aoBu4iBu42B,

贝UP(B)=PQA0BUA^BUA2B)=P(4oB)+P(&B)+P(42B)

=P(B\Ao)P(Ao)+P(B®)P(4)+P(B|42)P(42)

_CjC|C|C|C|C|C|C|C|C|

一「2•[2十12'[2十12•r2

故答案为：

Io

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•安徽芜湖•三模）己知a,6,c分别为△ABC三个内角4B,C的对边,且bcosA4-gbsinA=a+c

⑴求B；

（2）若6=2,△ABC的面积为g，。为AC边上一点，满足CD=22。，求BD的长.

【解题思路】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去C,由和差公式和辅助角公式化简可得；

（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出a,c,然后在中利用余弦定理可得.

【解答过程】（1）由正弦定理有sinBcosA+V^sinBsinA=sinA+sinC,

因为sinC=sin（4+B）=sinXcosB+cosdsinB,

所以sinBcosA+V3sinBsin?l=sinX+sin/lcosB+cos/lsinB,

化简得A/^sinBsin力=sin力+sim4cosB,

由4£（0,Tt）,sin4丰0有V^sinB=1+cosB,可得sin（B—

因为（一和片）,

所以B—合也则B*.

（2）由B=='jacsinB=内有ac=4

又炉=a2+2accosB可得a?+c2=8,

联立｛加：£=8解得a=c=2,所以aaBC为正三角形，

所以4D=|,2=],

在△4BD中，由余弦定理得BA=22+（|）2-2x2x|x|=y.

故8。的长为第.

16.（15分）（2024•浙江绍兴•三模）已知双曲线「：*2一?=1与直线/：y=*+i交于人、B两点（4在8左

侧)，过点力的两条关于/对称的直线A、L分别交双曲线r于c、。两点(C在右支，D在左支).

(1)设直线A的斜率为H，直线L的斜率为七，求心・卜2的值；

(2)若直线CD与双曲线r在点B处的切线交于点P,求aABP的面积.

【解题思路】⑴设直线人、%的倾斜角分别为。1、&(。1、出6(0万))，则。1+。2=2戊=?再利用斜

率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解；

(2)先求出点B的坐标，进而得到双曲线「在点B处的切线方程为|x-|y=l,不妨设直线CD为巾(％+1)

+即/=1,与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解.

【解答过程】(1)由题意知直线，斜率为1,•••直线/的倾斜角a=也

设直线小&的倾斜角分别为&、。2(3、02G(O,n)),

直线，1、％关于直线，对称，.,・&+%=2a=],

•1•的•七=tang•tan02=tan。厂tan(1-g)=既台•=1.

⑵联立上力(_I,O),B(|，9，

{y=X+1'33，

双曲线「在点8处的切线方程为I%-|y=1.

不妨设直线CD为+1)+ny=1,。(8,月),

丫2—y—1r4r丫+11、2第2A=n

,.4•，得伊松乂+W+乙—「,

{m(x+1)+ny=1(mlx+ij+ny—1

=>4(%+l)2—8(x+1)[m(x+1)+ny]—y2=0

整理得缶+而•喜+8巾-4=0,将等式看作关于孱的方程：

IX--IX)人TA人TA

两根之和毋1+含=-8n,两根之积等T寿=8m-4，

y】yi

而其中七,k2=kAC-kAD=五百•石五=8m-4,

由(1)得/q,七=1,m=|

o

直线CD为ax+1)+ny=1,过定点电0),

又「双曲线F在点B处的切线方程为声—|y=1,过点《,0),P(1,0),

'''SAABP=|-\AB\'dP_AB=1-V2•|

17.(15分)(2024•江西宜春•模拟预测)如图1,在五边形4BCDE中，AB=BD,ADLDC,EA=ED且

EA1ED,将△AED沿4。折成图2,使得EB=4B,F为AE的中点.

图1图2

(1)证明：BF〃平面ECD；

(2)若EB与平面A8CD所成的角为30。，求二面角4—EB-D的正弦值.

【解题思路】(1)取4。的中点G,连接BG,FG,从而证明BG〃平面ECD,FG〃平面ECD,即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得证.

(2)推导出平面BFG,BGL平面E4D,平面E4D，平面48CD,连接EG,以G为坐标原点，GB,GD,

GE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角4-EB-。的正弦值.

【解答过程】(1)取2。的中点G,连接8G,FG,

■■■AB=BD,G为4。的中点，.-.BG1AD,

5LAD1DC,：.BG//CD.

又8GC平面EC。，CDu平面ECD,二BG〃平面ECD.

•••F为4E的中点，.-.FG//ED.

又FGU平面ECD,EDu平面ECD,；.FG〃平面EC。，

又BGC\FG=G,8G,FGu平面BFG,二平面BFG//平面EC。，

又BFu平面BFG,BF〃平面ECD.

(2)■•EALED,由⑴知FG//ED,.-.FG1AE,

又EB=AB,F为4E的中点，BF1AE,

又BFCFG=F,BF,FGu平面BFG,二4E_L平面BFG,

又BGu平面BFG,：.BGLAE,

又BG14D,AD(\AE=A,4D,4Eu平面EAD,.•.BG1平面E4D,

又BGu平面2BCD,二平面E4DJ.平面2BCD,

连接EG,-：EA=ED,G为4。的中点，.-.EG1AD,

又平面EADC平面ABCD=/W,EGu平面E4D,

：.EGA.^\^ABCD,BGu平面ABC。，：.EGLBG,

以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

NE8G是与平面力BCD所成的角，BRzFBG30°,

■：EA^ED,设E4=t（t>0）,贝！EG=*t,EB=&t,BG=等,

'1'G（0,0,0）,E（0,0,乎t）,力（0,—亨。0）,D（0,日t,0）,B（乎t,0,0）,

•••丽=(孚2一争),而=(0，¥t，¥t),而=(0,一乎t,争),

设平面/BE的法向量为亢1=(xlly1/z1),

（西•丽=逅江1一返tZi=。

则」一%1金1令孙=1,得用=（1,—6,㈣,

叫■AE=—ty1+—tzi=0

设平面DBE的法向量为无=(刀2，丫2/2),

[厄,朋=当52-受Z2=0

令X2=l，得放=(1,百,陶,

隔.而=一争丫2+孝tZ2=0

设二面角A-EB-D的平面角为仇

I无♦何I11

IcosOI=|3〈可市)|=帚扃=亦再=亍

所以sine=V1-COS20=竽，即二面角4一EB-。的正弦值为竽.

18.(17分)(2024•四川南充•模拟预测)已知函数/'(x)=l—x[(lnx)a—x],aeR.

(1)若函数/(%)在％=；处切线的斜率为：，求实数。的值；

(2)当a=2时，[1,+8),/(%)-61之0恒成立，求实数m的最大值；

n

—2—>ln(2n+l),n6N*.

Zt=17(2i)2-l

【解题思路】(1)求导，利用导数值等于切线斜率构造方程，求出。即可.

(2)将0代入不等式，x和加参变分离，转化为恒成立问题，构造函数后转化为求函数最值问题即可.

(3)由(2)知，当X>1时，有%+—2>(ln%)2,即V^-^>lnx,后进行放缩证明即可.

【解答过程】(1)因为/(%)=2%-(ln%)aT•(a+In%),所以「&=|一(一1)7•(a-1)=：,

所以a=l

-1

22

(2)因为/(%)=x—x(lnx)+1,%>0,当久之1时，/2_%(］口%)2+1之血久恒成立，所以m<x+--

(In%)2,

设9(%)=%+：—(1口%)2,%>1,

则g，(久)=19一等=互誓曰，

因为(%2-2%ln%-1)'=2(%-lnx-1),(%-lnx-l)z=1-p

当归1时，有1—嚏之0,所以函数y=%—In%—1单调递增，x—Inx—1>1—Ini-1=0,

所以函数y=单调递增，

故x2—2x\nx—l>I2—2x1xIni-1=0,

所以函数9(%)=%+§-(ln%)2单调递增，故g(%)Ng(l)=2,所以m<2,

所以实数冽的最大值为2.

11

(3)由(2)知，当时，有x+--2>(Inx)2,即V%->In%,

设iGN*,取第=券>1,所以&

ZL172t—172t+lZ.i—1

用22i+lyn2.Vn12i+l

理-乙

“412i-lZ-ij=iV4i2-1t=i2L-1

因为>=ln1+In,+…+In｝+；=Inf-x-xx2n+1)=ln(2n+1),

乙-2i-l132n