2025年粤人版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记则向量=（）

A.

B.

C.

D.

2、若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A.B.C.D.3、若则A.B.C.D.4、已知在区间上是增函数，则的范围是（）A.B.C.D.5、数列的通项公式为若前n项和为24,则n为()A.25B.576C.624D.6256、设为向量，则“”是“的夹角是锐角”的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、已知α且sinα=则sin（）-=____．8、【题文】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱则正三棱锥外接球的表面积为___________.9、已知正四棱锥的底面边长是2cm，侧棱长是cm，则该正四棱锥的体积为______．10、过两条直线中的一条，可以作______个平面平行于另一条直线．11、函数f(x)

是定义在R

上的奇函数，当x>0

时，f(x)=x2鈭�2x

则x鈮�0

时，f(x)=

______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)12、（本小题满分12分）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间.13、如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；（2）证明：EG⊥DF。14、（普通班做）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G是CC1；BC，CD的中点．

求证：①AB1∥平面CDD1C1；

②平面EFG∥平面BC1D．

15、(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．16、设函数．

（Ⅰ）求函数f（x）在区间[-2；2]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）设函数f（x）在区间[-4；6]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

17、已知数列的首项（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：对任意的（3）证明：18、（本小题共12分）如图，已知四棱锥中，底面四边形是直角梯形，（1）证明：（2）在线段上找出一点使平面指出点的位置并加以证明；19、（本题13分）已知数列满足a1=0，a2=2，且对任意m，都有（1）求a3，a5；（2）求证明：是等差数列；（3）设求数列的前n项和Sn。20、【题文】如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点

(1)求圆的方程；

(2)当时，求直线的方程；

(3)是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是,请说明理由．评卷人得分四、作图题(共2题，共18分)21、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．22、画出计算1++++的程序框图．评卷人得分五、计算题(共4题，共24分)23、在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=____．24、已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25、（+++）（+1）=____．26、（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移____单位时，⊙P与直线AC相切．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

∵D是△ABC的边AB上的中点，∴．

在△BCD中，由向量的三角形法则可得=．

故选B．

【解析】【答案】由D是△ABC的边AB上的中点，可得．在△BCD中，利用向量的三角形法则可得代入即可．

2、D【分析】试题分析：此题为当型循环，顺着程序流动即可.当A=6时，终止循环，故选D.考点：循环结构.【解析】【答案】D3、C【分析】试题分析：∵∴又∵∴∴=∴故选C．先由结合不等式性质，求出由得所以=所以．考点：特殊角的三角函数；不等式性质；简单三角方程【解析】【答案】C4、B【分析】因为在区间上是增函数，则对称轴为x=2-a，因此可知2-a的范围是选B.【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】

因为则选C【解析】【答案】C6、B【分析】【解答】解：若“的夹角是锐角”；设夹角为θ；

则．

当θ=0时，满足

但的夹角是锐角不成立．

∴“”是“的夹角是锐角”的必要不充分条件．

故选：B．

【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

∵已知α且sinα=∴cosα=-

∴sin（）-=cosα+cosα=cosα==．

故答案为．

【解析】【答案】利用同角三角函数的基本关系及α的范围求出cosα，由诱导公式化简要求的式子为cosα+cosα；运算求得结果．

8、略

【分析】【解析】

试题分析：正三棱锥S-ABC中侧棱正三棱锥的外接球与以为临边的正方体的外接球是相同的，正方体边长为时，体对角线为6，球的半径为3，所以球的表面积为

考点：三棱锥外接球。

点评：把握住三棱锥的特点将三棱锥外接球转化为正方体外接球【解析】【答案】9、略

【分析】解：如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2cm，PA=cm，

设正四棱锥的高为PO；连结AO；

则AO=AC=（cm）．

在直角三角形POA中，PO===1（cm）．

所以VP-ABCD=•SABCD•PO=×4×1=（cm3）．

故答案为：cm3

正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．

本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．【解析】10、略

【分析】解：当两条直线相交时；作不出平面平行于另一条直线；

当两条直线平行时；可以作出无数个平面平行于另一条直线；

当两条直线是异面直线时；只能作出1个平面平行于另一条直线；

故答案为：无数个；1个或0个．

根据空间两条直线的三种位置关系和线面平行的定义；进行判断符合条件的平面的个数．

本题的考点是直线的三种位置关系和线面平行的定义，主要根据具体的位置关系和题意判断，考查了空间想象能力．【解析】无数个，1个或0个11、略

【分析】解：函数f(x)

是定义在R

上的奇函数；在f(鈭�x)=鈭�f(x)

中，令x=0

解得f(0)=0

又当x>0

时；f(x)=x2鈭�2x

所以当x<0

时，鈭�x>0f(x)=鈭�f(鈭�x)=鈭�(x2+2x)=鈭�x2鈭�2x

．

当x=0

时；鈭�x2鈭�2x=0

也成立；

故答案为：鈭�x2鈭�2x

．

根据奇函数的性质，结合x>0

时；f(x)=x2鈭�2x

可得答案．

本题主要考查了函数奇偶性的性质.

熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．【解析】鈭�x2鈭�2x

三、解答题(共9题，共18分)12、略

【分析】【解析】试题分析：6分故该函数的最小正周期是最小值是－2；8分单增区间是[]，12分考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数图象和性质。【解析】【答案】最小正周期是最小值是－2，单增区间是[]，13、略

【分析】【解析】试题分析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。则A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）。1分(1)设M(x,y),由题意知2分∴3分两边平方化简得：即5分即动点M的轨迹为圆心（4,1），半径为2的圆，∴动点M的轨迹围成区域的面积为6分（2）由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，7分由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，8分由得故点G点的坐标为10分又点E的坐标为（1，0），故12分所以即证得：13分考点：动点的轨迹及直线垂直的判定【解析】【答案】（1）（2）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，由得故点G点的坐标为故所以即证得：14、略

【分析】

①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AD和B1C1平行且相等；

故四边形ADC1B1为平行四边形，故AB1∥DC1．

而DC1在平面CDD1C1中，AB1不在平面CDD1C1中，故有AB1∥平面CDD1C1．

②由于E，F，G是CC1；BC，CD的中点，故FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD．

而BD在平面BC1D内，FG不在平面BC1D内，故有FG∥平面BC1D；

同理可证EF∥平面BC1D．

由于EF和FG是平面EFG内的2条相交直线，故有平面EFG∥平面BC1D．

【解析】【答案】①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，先证明四边形ADC1B1为平行四边形，可得AB1∥DC1．再利用直线和平面平行的判定定理证得AB1∥平面CDD1C1．

②根据FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD，从而证明FG∥平面BC1D，同理可证EF∥平面BC1D．再根据平面和平面平行的判定定理证得平面EFG∥平面BC1D．

15、略

【分析】试题分析：解题思路：（1）利用赋值法进行求解；（2）将不等式化成的形式，再利用单调性进行求解.规律总结：抽象不等式的求解，要依据函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.试题解析：（1）证明：令得即令得令得（2）【解析】

不等式化为f（x）>f（x－2）+3∵f（8）=3,∴f（x）>f（x－2）+f（8）=f（8x－16）∵f（x）是（0，+∞）上的增函数∴解得考点：1.赋值法；2.抽象不等式的解法.【解析】【答案】（1）16、略

【分析】

（Ⅰ）在区间[-2，2]上，f（x）=（2-x）（x+4）=-x2-2x+8．

其对称轴为x=-1；且开口向下，如图；

所以f（x）在区间[-2；-1]上单调递增，在区间[-1，2]上单调递减；

所以f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（-1）=-（-1）2-2×（-1）+8=9；

最小值为f（2）=-22-2×2+8=0．

（Ⅱ）当x＞2时，f（x）=（2-x）（x-a）=-x2+（a+2）x-2a

函数的对称轴为x=且横过定点（2，0）．

当a≤2时；f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，6]上单调递减；

所以f（x）的最大值为f（-1）=9．

当2＜a≤8时；f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减；

在单调递增，在上单调递减；

此时f（-1）=9，所以f（x）的最大值为9．

当8＜a≤10时；f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减；

在单调递增，在上单调递减．

此时所以f（x）的最大值为．

当a＞10时；f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，在[2，6]单调递增；

此时f（6）=4（a-6）＞f（-1）；所以f（x）的最大值为4（a-6）．

综上，

【解析】【答案】（Ⅰ）函数在区间[-2；2]上的解析式一定，找出函数的对称轴，由对称轴把区间[-2，2]分段，判出函数在两个区间上的单调性，则最大值和最小值可求；

（Ⅱ）函数f（x）=（2-x）（x-a）=-x2+（a+2）x-2a横过定点（2，0），根据a的不同取值范围对函数的对称轴所在的位置讨论，结合函数f（x）=（2-x）（x+4）=-x2-2x+8得到函数f（x）在区间[-4；6]上的单调性．最后通过比较极值与端点处的函数值得到函数在[-4，6]上的最大值．

17、略

【分析】试题分析：（1）由题意两边同时取倒数，又所以是以为首项，以为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式可求出的通项公式；（2）由（1）知则注意到即可．（3）左边不等式，由可得证右边不等式，由（2）知取则（1）又所以是以为首项，以为公比的等比数列．（2）由（1）知（3）先证左边不等式，由知当时等号成立；再证右边不等式，由（2）知，对任意有取则考点：等比数列的通项，放缩法，等比数列的前n项和【解析】【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析18、略

【分析】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理，及直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解答本题的关键（1）由已知中四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，我们易得PA⊥AB，AB⊥AD，由线面垂直的判定定理易得AB⊥平面PAD，根据线面垂直的定义，即可得到AB⊥PD；（2）若点E是线段PB的中点，取PC的中点F，连接AE，EF，DF，由三角形中位线定理，我们判断四边形EFDA是平行四边形，结合空间中直线与平面平行的判定定理，即可得到AE∥平面PCD．【解析】【答案】见解析。19、略

【分析】本题考查等差等比数列的证明和数列的求和，利用错位相减法求和的时，注意讨论与的两种情形以及相减以后项数的确定。【解析】

（1）由题意，令m=2，n=1可得再令m=3，n=1可得（2分）（2）当时，由已知（以n+2代替m）可得于是，即所以，数列是首项公差为8的等差数列。（5分）（3）则另由已知（令m=1）可得，那么，=2n于是，当时，当时，两边同乘可得上述两式相减即得=所以综上所述，【解析】【答案】（1）（2）见解析；（3）20、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）已知圆的圆心，再根据直线与圆相切可利用圆心到直线的距离等于半径来求出圆心，这样即可求出圆的标准方程;（2）已知直线被圆截得的弦长可联想到圆的特征三角形的三边的关系：又直线过一点可联想到设出直线的点斜式方程，但此处一定要注意斜率是否存在从而分两种情况讨论：当斜率不存在时，由图可直接分析得出;当斜率存在时，先计算出圆心到直线的距离，再结合已知由上述特征三角形的关系可求出直线的斜率进而得出直线方程;（3）要判断是否为定值，发现点是弦的中点，根据圆的几何性质有：即可得再由向量运算的知识可知这样可转化为去求最后结合（2）中所设直线的两种形式去求出点的坐标，由向量数量积的运算公式可得是一个常数．

试题解析：（1）设圆的半径为因为圆与直线相切，所以故圆的方程为（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意;当直线与轴不垂直时，设直线的方程为即．连接则由得得直线的方程为所求直线的方程为：或（3）当直线与轴垂直时，得则又当直线的斜率存在时，设直线的方程为由解得综上所述，是定值，且．

考点：1.圆的方程;2.直线与圆的位置关系;3.向量的数量积【解析】【答案】（1）（2）或（3）是定值，且．四、作图题(共2题，共18分)21、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．五、计算题(共4题，共24分)23、略

【分析】【分析】作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解．【解析】【解答】解：作BE∥AC；

∵AB∥CE；∴CE=AB；

∵梯形中位线为6.5；