河北省2024-2025学年高二年级上册12月期中考试数学试题

河北省2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线y=8/的焦点到其准线的距离为（）

A.—B.—C.-D.4

32168

22

2.已知椭圆上+匕=1上有一点尸到右焦点的距离为4,则点尸到左焦点的距离为（）

94

A.6B.3C.4D.2

22

3.双曲线乙_±=1的焦点坐标为（）

36

A.(±6,0)B.（0,土司C.(±3,0)D.(0,±3)

22

4.已知椭圆上+匕=1（0＜租＜8）的左、右焦点分别为用鸟，点尸是椭圆上一个动点，若

16m

△P耳耳的面积的最大值为3g,则"7=（）

A.7B.3C.用D.9

22

5.若方程一丁一工=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数加的取值范围为（）

4-m"1+m

A.（-co,-2）B.（-2,-1）

C.（—2,2）D.（—Ll）

6.己知点A在抛物线丁=2/5＞0）上，若点A到抛物线的对称轴的距离是6,到焦点的距

离是10,则P的值是（）

A.2或4B.6或12C.4或16D.2或18

7.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，

22

可以看成是双曲线C:=-4=1（。＞0）＞0）的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.

ab

若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm,最大直径为60cm,双曲线的离心率为痛，则该花

瓶的高为（）

A.90cmB.100cmC.110cmD.120cm

8.已知椭圆C**1（〃〉"0）的左，右顶点分别为A,B,且椭圆C的离心率为粤,

点P是椭圆C上的一点，StanZPAB=,则tanNAPB（）

4

A10R11,11n10

910109

二、多选题

2222

9.关于双曲线三一二=1与双曲线上——J=i（_4<r<6）,下列说法不正确的是（）

464+/6-1

A.实轴长相等B.离心率相等

C.焦距相等D.焦点到渐近线的距离相等

22

10.设点乙，尸2分别为椭圆C：/+1=1的左、右焦点，点尸是椭圆C上任意一点，若使

得西•强=%成立的点恰好是4个，则实数加的取值可以是（）

A.1B.3C.5D.4

11.已知抛物线C：y2=12x,点尸是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点"（4,3）,

则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为x=-3

B.若|尸产|=7,贝IUPMF的面积为

C.|尸耳-|尸”|的最大值为加

D.APM/的周长的最小值为7+而

三、填空题

22

12.双曲线工-匕=1的一个焦点在抛物线V=2px（p>0）的准线上，则抛物线的标准方程

106

试卷第2页，共4页

为_____

22

13.已知椭圆C:3+}=l(0<b<2),偶函数〃力=(m-1)9+犬_3,且/(小2,则椭

圆C的离心率的取值范围是.

14.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离

分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以

通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问

题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代

数问题可以转化为点A(x,y)与点8(。,6)之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程

|7/-8y+25-打+8y+251=2币的解为.

四、解答题

15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过尸(-3,0),。(0,-2)两点；

3

(2)长轴长等于20,离心率等于

16.已知圆C的方程为％2+y2-4x+6y-m=0.

(1)求实数机的取值范围；

⑵若圆C与直线/：元+y+3=o交于跖N两点，S.\MN\=2yf3,求加的值.

17.已知点A(T⑵，8(2,8),C(4,2)中恰有两个点在抛物线E:f=2py(p>0)上,

(1)求E的标准方程；

⑵若点”(工,％),在E上，且玉马=-16,证明：直线上W过定点.

18.在平面直角坐标系xOy中，点加(X,y)到点尸(1,0)与到直线x=5的距离之比为手，记

点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

⑵若点尸是圆Y+y2=5上的一点(不在坐标轴上)，过点尸作曲线C的两条切线，切点分

别为记直线尸APB的斜率分别为附网，且勺=-4-七,求直线。尸的方程.

f«兀

19.已知双曲线C:=-1=l(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为二，C的焦距为8.

ab3

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过右焦点厂的直线/与双曲线C交于N两点，A(-2,0).求证：点A在以线段MN为

直径的圆上.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDDAADBBABDBD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.

【详解】解：抛物线的标准方程为f=；y,

O

所以焦点坐标为尸[。,其准线方程为丁=-[,

所以抛物线y=8Y的焦点到其准线的距离为d=

32132J16

故选：B

2.D

【分析】根据椭圆的定义即可求出.

22

【详解】由椭圆二+乙=1,得"=9,即。=3,设左焦点为月，右焦点为F?,

94一

则伊置+|尸阊=2"=6,因为|%|=4,所以|尸用=2,即点尸到左焦点的距离为2.

故选:D.

3.D

【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.

22

【详解】由双曲线匕-4-=1,可得。=0,6="，则0=，？寿=3，

36

且双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的焦点坐标为（。,±3）.

故选：D.

4.A

【分析】利用点P的纵坐标表示APKK的面积，再借助范围求出最大值即可.

【详解】依题意，椭圆半焦距c=A/m,设点产（x°,%）,%w。，则0<|%区后，

2

因此AP^外的面积S=~-2c-\y0\<416-m-\[m=y/16m-m,

贝l=3疗，即“-16〃z+63=0，而0（根<8，解得〃z=7,

所以m=7.

答案第1页，共11页

故选：A

5.A

y2Y2I—1—ATI>0

【分析】原方程可变形为“-----J=l，根据已知有，2八，解出即可.

-777-1m--4[-A+m->0

22

【详解】因为方程上r-工=1表示焦点在y轴上的双曲线，

4-m1+m

一^-上，=1可变形为上----J=L

4-m1+m-m-1m-4

,f—1—m>0fm+1<0

所以有“2八，即，“八，解得加<一2・

[-A+m>0[，犷一4>0

故选：A.

6.D

【分析】设A（x,6）,根据抛物线的定义求解;

【详解】

设A（x,6）,代入抛物线y2=2pxCp>0）,解得：x=-,

又因为点到焦点的距离是10,根据抛物线的定义，得：一+（=1。，

化简得：p2-20p+36=0,

解得：。=2或18.

故选：D.

7.B

【分析】由a,4c关系以及离心率、。=20可得双曲线方程，进一步代入x=30即可求解.

【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm,有。=20,

又由双曲线的离心率为赤，有c=2Q瓜b=205

22

可得双曲线的方程为」——匚=1,代入尤=30,可得y=±50,故该花瓶的高为100cm.

4002000

答案第2页，共11页

故选：B.

8.B

【分析】设尸（如%）是椭圆上的点，设尤=tanZPAB=；,&=-tanZPBA求出勺•%为定值,

从而能求出tanZPBA的值，然后根据tanZAPB=-tan（ZPAB+ZPBA）求解.

22

【详解】设P（x。,为）代入椭圆方程，则2+咚=1m>6>0）

ab

整理得：W=「（"-无；），设左=tanN尸A8=：,k2=-tanZPBA

又h=十~人在，所以

x0+a

2

y0b

匕•左2=———

2

x0+ax0-aa

i92

JfjJ=tanZPAB=—,所以左？=-tanNPB4=-§,所以tan/PR4=]

12

—+—

tanZPAB+tanZPBA11

tanNAPB=-tan(ZPAB+ZPBA)=-43

1-tanZPAB-tanZPBAI1210

43

故选：B

9.ABD

【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可

22

【详解】双曲线土-匕=1中，实轴长为2%=4,虚轴长为2伪=2灰，焦距长为

46

2q=2V4+6=2A^0,右焦点为(加,。),

所以离心率4=立=母，渐近线方程为y=±在尤，不妨取y=逅x即"x-2y=0,

ax222

所以焦点到渐近线的距离为4=篇$=屈,

22

双曲线三---匚=1（-4</<6）中实轴长为2a,=2甲7,虚轴长为2&=2后7,焦距长

4+16-t

为2c2=2&5,右焦点为（痴,0）,

所以离心率4=2=~^=="±1",渐近线方程为y=不妨取即

~a2V4+r4+rV4+r'<4+t

答案第3页，共11页

J(6-，4+ty=0,

所以焦点到渐近线的距离为4=逅三地。

=y/6—t,

回

综上，两条双曲线只有焦距相等,

故选：ABD

10.BD

【分析】首先设点P（%%）,得到两=（-2-毛,-％）,M=（2-^,-J0）,结合点尸在椭圆

上得到焉=罔」，若成立的点有四个，则与在（-3,3）有两实数解，

则有0〈怨9m—一9<9,解出其范围结合选项即得.

4

【详解】设P（9%）,：耳（一2,0）,6（2,0）,.•.所=（一2-%,一%）,%=（2-%,一%）,

由所•质=m可得/+乂=根+4,又：点P在椭圆C上，即京+展1,

•••片=3，工，要使得西•魂=〃，成立的点恰好是4个，则0<二宁<9,解得1<m<5.

故选：BD

11.ACD

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为了=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到

%>=4,故尸点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B,利

用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到

二.（|尸刊-］「河|）2=性团，计算即可判断C,三角形PMF的周长

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+4IO,再结合抛物线定义即可求出1PMi+1尸产I的最小值,

即得到周长最小值.

【详解】•.•y=12x,”=6,.一（3,0）,准线方程为％=-3,故A正确；

根据抛物线定义得附|=无「%>+3=7,/=4,•:/（4,3）,

PM//y轴，当x=4时，y=±4石，

若尸点在第一象限时，此时尸（4,43），

答案第4页，共11页

12

故PM=4A/5—3,△PMF的IWJ为1,故SAPMF=5、（4^/^—3卜1=2^/5—万,

若点尸在第四象限，此时尸(4,-4⑹，故尸知=4宕+3,

△PMF的高为1,故邑9=*(46+3卜1=2若+?故B错误;

PF|-|PM|<|MF|，二（IPFI-1PM|）max=\MF\=J（4-3）2+（3-0）2=M，故c正确；

(连接双，并延长交于抛物线于点P,此时即为IPFI-IPMI最大值的情况,

图对应如下)

过点尸作BD_L准线，垂足为点D,

△PMF的周长=+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+y/iO=\PM\+\PD\+yflO,

若周长最小，则归河|+归刈长度和最小，显然当点尸,位于同一条直线上时，|PM|+|MF|

的和最小,

M\PM\+\MF\=\PD\=7,

故周长最小值为7+Jid,故D正确.

故选：ACD.

12.y2=16x

【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意

可得P的值，进而求出抛物线的方程.

22

【详解】由双曲线上-2=1的方程可得C?=10+6=16,解得c=4,

106

所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),

答案第5页，共11页

抛物线的准线方程为》=-4，

由题意可得兰=-4,解得。=8,

所以抛物线的方程为：y2=16x,

故答案为：y2=16x.

i3-H]

【分析】根据奇偶性求如由/。)归2可得b的范围，然后可得离心率范围.

【详解】•••/(x)是偶函数,

/(-X)=(1-加+/_3=/⑺=(m-l)x3+X2-3,

=解得m=l,/(x)=d_3,

.•”(。)|=尸_3卜2,

:.-2<b2-3<2,l<b2<5,

y_-.-0<b<2,:.l<b<2,

cyja2-b2

..e——=-------=------,..Gu,.

aa2I2_

故答案为：

14.±J14

22

【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线x=3与双曲线二-二=1的交点的纵坐标。

79

【详解】原方程可化为J(3-0)2+(y-4)2-J(3-0)2+(y+4)2=2屿,

其几何意义为点(3,y)到(0,4),(O,T)距离之差的绝对值等于2近<8,

则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：2。=2夕，a=不，c=4,所以

b2=c2-a2=9,

22

又因为双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：匕-上=1,

79

答案第6页，共11页

令％=3得y=±JiW,所以原方程的解为y=±JHo

故答案为：土VI"

15.(1)—+^=1

(2)=1或志=1.

9410064

\CI=j

【分析】⑴设出椭圆方程，根据椭圆经过点A(-30),3(0,-2),得出，代入方程即可.

0=2

2〃=20。=10

(2)由条件可得£=3，则可得＜c=6，根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.

5b=8

22

【详解】解：(1)设椭圆方程为：二+2=1,因为椭圆经过点4(-3,0),川0,-2),

ab

A(-3,0),3(0,-2)分别为左顶点和下顶点，所以得［二：，

22

所以椭圆标准方程为土+匕=1.

94

3

(2)椭圆的长轴长等于20,离心率等于不

2a-20(a-10

<c3，所以1乙，由。2=/一H=64,即/?=8

依题意:

—二〔。二6

5

2222

所以椭圆标准方程为:工+匕=1或与+二=1.

1006410064

16.(l)m>-13

(2)m=-8

【分析】(1)将圆C的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到13+机＞0,解之即可;

(2)利用弦长公式|脑V|=2〃2-筋求得正进而得到而百=百，易得加的值.

【详解】(1)方程—+y2一4%+6>-机=0可化为(％-2)2+(y+3)2=13+加,

・・,此方程表示圆,

13+m>0,即a>一13,即用£(-13,+8).

(2)由(1)可得圆心。(2,—3),半径r=dm+13，

则圆心C(2,-3)到直线/:%+y+3=0的距离为d

由弦长公式|MV|=2〃2-储及|肱V|=26,得2j=2M1百,解得r=石,

答案第7页，共11页

r=5/772+13=#!，得加=—8.

17.⑴*=8y

（2）证明见详解.

【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的P值，得到标准方程；

（2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数6的值，得

到直线的定点.

【详解】（1）将ALU）代入抛物线方程E：（T）2=4〃，解得。=4,

2

将8（2,8）代入抛物线方程E::2=16p,解得p=；,

将C（4,2）代入抛物线方程E:不=4p,解得。=4,

根据题意可知P=4,

•••£的标准方程为£：/=分

(2)VXjX2=-16,/.x^x2,

，设直线MN:y=+

Iy=kx+b

则联立方程组得2，即公―8版—汕=0,

11=8oy

—

X|X2=~~~16,:•b=2,

/.MN:y=kx+2,

直线肱V过动点(0,2).

⑵y=

22

【分析】（1）根据椭圆的第二定义列出等式，整理即可得曲线c的方程为L+二=1；

54

答案第8页，共11页

（2）设直线丛的方程为＞=匕（了-机）+〃并于椭圆方程联立，由直线与椭圆相切可得

22

nk^+2mnkl+4—n=0,同理可知/也是关于方程/人?+2〃z成+4-川=0的两个根，可求

得直线OP的方程为y=；尤.

【详解】（1）根据题意可得「驾=中，即J（xT『+y2二旦,

,-5|5|^-5|5

22

整理可得上+匕=1,

54

22

因此曲线C的方程为三+匕=1；

54

（2）如下图所示：

设尸（加,〃）,4（%,%）,8（々，%），则加=5,

又点尸不在坐标轴上，所以〃7Ko且〃片0；

因此直线的方程为y=£（x-"）+w,直线PB的方程为y=e（尤一机）+〃,

又直线PA与椭圆相切与点A，

y=kx（x-m）+n

联立，了2y2整理可得（4+54卜2+（10左”-10"〃卜+5（左；田+〃2-2匕"2〃-4）=0

,y+T-

可得△=0,即（10尢〃一10户根丫一4（4+5好）x5（%：m2+n2-2klmn-4）=0,

整理可得（5-irr）好+2kxmn+4-»=0,

又加2+/=5,可得〃-4-+2mnkt+4—n-=0；

直线PB与椭圆相切与点B,同理可得/代+2wi*+4-〃2=0,

所以匕，网是关于左的一元二次方程》左2+2加成+4-〃2=。的两个不同的实数根,

因此发+匕=一丝2m

nn

答案第9页，共11页

再由勺=_4_卷可得匕+左2=_2=