河北省沧州市三校联考2024-2025学年高三年级上册11月期中数学试卷（含答案）

河北省沧州市三校联考2024-2025学年高三上学期11月期中数学试

卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知集合A>,3={#|<7},则）

9x4

A.{5}B.{5,6}C.{4,5,6}D.{5,6,7}

2.已知三1=2—i,则z=()

z+3

A._2_2iB._2+2iC.-5+2iD.-5-2i

3.在△ABC中，D,E分别是边BC，AC的中点，点R满足而=2两，则访=（）

cl—•1―.

^--AB+-ACB.-AB——AC

3636

cl—.1—.

C.-AB+-ACD.-AB——AC

6363

4.已知sin(a-0=%tana=4tan/7,则sin(a+/7)=()

A5mB2m3m口3nl

~'V~~

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为1：3,则圆锥

的高与底面半径之比为()

A巫B.lC.3D.拽

9333

6.若函数/•(力=(一炉+2欠-6,“〈I在R上是增函数，则。的取值范围为()

[alnx+5,x>l

A.[1,+co)

C.(fD.(O,1]U[6,-H»)

7.函数/(x)=3sin12x-；]-sin3x在区间[0,3兀]上的零点个数为()

A.4B.5C.6D.8

8.已知函数〃司的定义域为R,〃尤+2)为偶函数，/(%)-1为奇函数，且/(%)在

区间［6,8］上是增函数.记a=/(—33)，b=f(19)，c=〃88)，则()

人a<b<cc<b<a

C-b<c<a^a<c<b

二、多项选择题

9.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量y(单位：克)服从正态分布

N(600,o-2),则()

A.p(y>600)=1B.b越小，尸(599<F<601)越大

C.p(y<595)=p(y>605)D.P(592<Y<598)<P(602<Y<606)

10.已知％=2是函数尤)=(x+2)2(x+a)的极小值点,则()

A.a=Y

B./(x)在区间［—3』上的值域为［-27,0］

C.不等式+4x+8)>/(x2+4)的解集为(1,收)

D.当尤<一2时，

11.已知曲线C上的点满足：到定点尸(0,1)的距离与到定直线/:y=3的距离之和为

4,则()

AC恰好经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)

B.当点(%,%)在C上时，-473<%0<473

C.C上的点到直线氐_y_15=0的距离的最大值为12

DC上的点与点歹的距离的取值范围为［1,4］

三、填空题

22

12.已知双曲线C：Z_2L=1(〃>0，6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,P,。是

a2b2

。上关于原点对称的两点，且二闺闾=10，|尸匐=3|尸闾，则。的离心率为

13.若直线y=kx-2k是曲线/(%)二e"”的切线，也是曲线g(x)=ln(x—2)+机的切

线，贝!)相=.

14.某盒子中有12个大小相同的球，分别标号为1,2,12,从盒中任取3个

球，取出的3个球的标号之和能被4整除的概率为.

四、解答题

15.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知6+c=Zacos，-1].

⑴求A;

(2)若△ABC的面积为3百，sin3sinC=2，求△ABC的周长.

64

16.已知椭圆c：4+]=i(a>b>o)的离心率为多点伊|)在C上.

⑴求C的方程；

(2)记C的上顶点和右顶点分别为A,B,过原点的直线/与C交于点M,N,与直线

交于点。，且点N,。均在第四象限，问是否存在直线/,使得的面积是

△A(9M(其中。为原点)面积的4倍？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说

明理由.

17.如图，在多面体ABC-A51cl中，朋=3,AAJIBB、,四边形是边长为2

的菱形，尸为棱AG上一点.

(1)若PC]=2AP,证明：4P〃平面ABC]；

(2)若5月，平面ABC，AB=2，AQ=273-直线44与平面A4P所成角的正弦值为

6庖,求4尸的长.

85

18.已知函数/(%)=e、i一1，g(x)=mx2---In%.

X

⑴求/(%)的最值;

⑵若g(x)在定义域内单调递增，求机的取值范围；

⑶当X>1时，g(x)>根-与，求机的取值范围.

e

19.记数列｛%｝的前〃项和为S“，若对任意“eN*，^an<an+l<4an，则称｛%｝是“H

数列”.

(1)若S"=3”；5〃,判断｛%｝是否是““数列，，，并说明理由；

(2)若｛4｝是首项为1,公比为q的等比数列，且数列｛叫和⑸｝均是也数列”.

①求q的取值范围；

②当qeZ时，若在所有数列｛%｝中随机抽取一个数列，求在q>l的条件下，q恰为偶

数的概率.

⑶若等差数列｛%｝是首项为1的“H数列”，且囚+出+%+…+为=501左，求正整数左

的最小值，以及左取最小值时相应数列｛4｝的公差.

参考答案

1.答案：B

解析：由!得4＜%＜9，又因为xeN所以A={5,6,7,8}，

由国＜7得—7（尤＜7，所以3=卜卜7（尤＜7},因此人口5={5,6}.

故选：B.

2.答案：D

解析:由三二27

可得:z—1=(2—i)(z+3)，z-1=(2-i)z+6—3i，

所以:

故选:D

3.答案:D

解析:

故选：D.

4.答案：A

sina-cos/?-cos•sin/?=m,

解析：由已知可得

tana=4tan/?,

—sina.sinB.八

口」大口—4，sinoc,cos/?=4coscc,sinp

cosacos/?

sina-cos/?=~^~^

解得

m

cosa-sin8=一,

I3

5/77

所以sin(a-/?)=sincr-cos0+cosa•sin/?=-y，

故选：A.

5.答案：C

解析：设圆柱和圆锥的底面半径为「，高分别为4，h2,

“锥=；兀/为，唳柱=兀/4

所以％=j/l,，①

圆柱的侧面积耳=2口4,②

圆锥的侧面积S2=gx2兀r./=TIT片+厂之，③

qi

又因为代入①②③,

2D

解得：3/即&

■rV33

故选：C.

6.答案：B

解析：g^=-x2+2ax-6>%<1;/z(x)=alnx+5>x>l.

为使在R上递增，则g（x）在（-8』上递增，〃（力在（L+8）上递增，

a>l

且g⑴«〃⑴，即＜a>0=>1<6z<6.

2a-l<5

故选：B

7.答案：C

解析：由题意可将问题转化成3sin2%—：—sin3x=0,在［0,3兀］上的根的个数,

也即y=3sin12x-；J,y=sin3x在［0,3兀］上的交点个数,

通过五点作图法画出两函数图象：

由图象可知共有6个交点，

所以/(x)=3sin(2x-sin3x在区间［0,3可上的零点个数为6.

故选：C

8.答案：D

解析：根据题意，函数八外的定义域为R,/(%+2)为偶函数，

即/("=/(4一X)，

又/(%)-1为奇函数,则/(x)+〃f)=2,即/(x)=2—

所以〃4+x)=2—/(%),则〃x+8)=2—〃x+4)=2—［2—/(切=/(%),

即函数外可周期为8,

/(可在区间［6,8］上是增函数，则在区间［-2,0］上是增函数，

又/(%)—1为奇函数，则/(0)=1,所以/(—1)<1,

而a=〃-33)=/(-1)<1，^=/(19)=/(3)=/(1)=2-/(-1)>1,

c=/(88)=/(0)=l,

所以a<c<Z?.

故选：D

9.答案：ABC

解析：由条件可知〃=600,由正太密度曲线的对称性可知：

p(y>600)=1，p(y<595)=p(y>605)，

P(592<Y<598)=P(602<Y<608)>P(602<Y<606)，

b越小，说明数据越集中，故尸(599<F<601)越大,

故选：ABC

10.答案：ABD

解析：因为函数/(x)=(x+2)2(x+a)，

所以(x)=(x+2)(3x+2a+2),

对于A,因为％=2是函数〃力=(%+2)2(%+4)的极小值点，

所以/'(2)=(2+2)(3*2+2。+2)=0，解得a=-4，

则/(尤)=(x+2)2(x-4)，f(x)=(x+2)(3x-6))

令/'(X)=(X+2)(3X-6)=0，解得％=一2或X=2，

所以当XG(-co,-2),XG(2,+OO)时，/(%)单调递增，

当％«-2,2)时，/'(x)<0，/(%)单调递减，

所以％=2是函数〃x)=a+2)2(x+a)的极小值点，故A正确；

对于B,由A知，当龙目-3』时，/(%)在［-3,-2］上单调递增，在(-2』上单调递

减，因为4—2)=(—2+2)2(—2-4)=0，”_3)=(_3+2)2(_3_4)=_7，

/(1)=(1+2)2(1-4)=-27所以/(%)在区间上的值域为［-27,0］，故B正确;

对于C，因为尤2+4%+8=(%+2)~+424，%2+4>4>

所以不等式/(%2+4%+8)>/(/+4)时，

%2+4%+8>%2+4>解得%>-1，

即不等式/(X2+4X+8)>/(x2+4)的解集为(―1,+8),故C错误；

对于D,因为/(T—x)=(—|._彳+2)-(-4-X-4)=(x+2)2(-8-%)，

所以/(T—尤)一/(x)=(x+2)2(—8—龙)一(无+2)2(x—4)=(九+2)2(—2x—4)，

当％<—2时,-2x—4>0,则=(尤+2)2(-2无一4)>0,

即/(T—%)>/(%)，故D正确.

故选：ABD.

11.答案：ACD

解析：设曲线C上的点（羽y）到定点尸（0,1）的距离与到定直线/:y=3的距离之和为

4,则J/+(y-l)2+1_3]=4,即x?=(4-1一3|),

整理）=工彳2,y43或y=4-L，y〉3,

-412

画出函数图像，

22_

对于B,y>3SP4-->3=>-2A/3<x<273；y<3§P—<3=>-2^<x<273»故B

124

错误；

对于A,由B可得x可取±3,±2>±1，0,

当％=±3时，y=2或"，无整点;

44

当％=±2时，y=l或,,整点为(-2,1),(2,1);

当％=±1时，＞=工或土，无整点;

—412

当％=0时，y=0或4,整点为（0,0）,（0,4）;

所以共有4个整点，故A正确;

对于C,作直线的平行线丁=氐+机,

当平行线过点「26,3）,两平行线间距离最大，即上等曾=12,故C正确;

对于D,C上的点到定直线y=3的距离范围为［0,3］，则C上的点与点尸的距离的取值

范围为［1,4］，故D正确;

故选：ACD.

12.答案：叵

2

解析：由双曲线对称性及|PQ|=|耳段=10,可知|。尸|=|0a=|。制,

则为以《为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性，

可知四边形耳P&Q为平行四边形，结合NPGQ=],

可知四边形耳P&Q为矩形，则△公尸耳为直角三角形.

设归闾=%，则归周=3xn2a=2x，\FXF^=+\PF2f=2c=A/WX-

故e，3=也

a2a2

故答案为：叵

2

解析：由题意可得r(x)=ei，设直线y=Ax-2左与曲线/(x)=ei的切点为(看,%)，

则e*T=左，即%=Ink+1,

又切点在曲线上，所以弘=/1=』-=左，

代入直线方程可得左=左(山上+1)—2左，即左(2—In左)=0，解得左=0或e2，

又e*'T=左，所以k=0舍去，

，(%)=—-—，设直线y=辰-2左与曲线g(x)=ln(x-2)+根的切点为(%2，%)，

x—2

所以广士，由一代入可得一+9

「力=皿尤2-2)+仁所以％=2

又e42+4j-2e=b

y2=kx2-2k

所以将卜+二"代入曲线g(x)=ln(x-2)+根可得1=ln1

—7+，

e

解得m=3-

故答案为：3.

14.答案：1

4

解析：从12个球中任取3个球有C：2=220种不同的方法，

1-12中能被4整除的有4,8,12,除4余1的有1,5,9,除4余2的有2,6,10,

除4余3的有3,7,11,故将1-12划分为以上四类，

能被4整除可分：3个数都来自4,8,12,或一个数来自4,8,12,两个数来自2,

6,10,或一个数来自4,8,12,一个数来自1,5,9,一个数来自3,7,11,或两

个数来自1,5,9,一个数来自2,6,10,或两个数来自3,7,11,一个数来自2,

6,10.

共有：C；+C；C；+C；C；C；+C；C；+C；C；=37,

所以取出的3个球的标号之和能被4整除的概率尸=至=上

2204

故答案为：1.

4

15.答案：⑴巴；

3

⑵18

解析：（1）由正弦定理及6+c=2acos，-g1,

可得sin5+sinC=sinB+sin（A+B）=2sinAcos13-1]

=>sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+GsinAsinB

=>sinB+cosAsinB=gsinAsinB,因5£（0,兀），则sinB>0，

贝UGsinA—cosA=ln2sin[A—=l,结合人£（0,兀），

则HillA4——兀=—兀=>4A=兀—;

663

（2）因△ABC的面积为36，则;bcsinA=3G，

则历=60=12,由正弦定理，^="_=_^=2R&sinBsinC=2

sinAsinAsinBsinC64

则4霜=货=N竺Tn2R=座，

sinBsinC933

则Q=27?sinA="逝x=8•

32

由余弦定理，Q2=〃2+。2—2bccosA=64=Z?2+02_]2=+o2=16，

则b2+02+2bc=(Z?+c)2—100=>Z?+c=10，

则三角形周长为a+〃+c=8+10=18.

22

16.答案：(1)2L+L=i；

94

(2)存在，y=-2x或y=--x

8

C_y/5

a3

由题意H+N=i,

解析：(1)解得a=3b=2,c=亚,

4a2b~

a2=b2+c1

22

所以椭圆。的方程为匕+土=1.

94

(2)

存在，由(1)知4(0,3)，5(2,0),所以直线的方程为3无+2y-6=0,

匕+三

设直线/:y=右，攵＜0,联立于+77一，消去丁可得

、y=kc

增+%'解得一浸高’则I潦石

所以M

m+2k6=0得（上J

由

y=kx（2左+32k+3）

右S&AQN~4s-加，则|NQ|=4|MO|,

由椭圆的对称性可得|。叫=|。叫，所以|N9=4|ON|,即|O9=5|ON卜

所以JEFQy=sJhfej+hfC

化简整理可得8左2+25k+18=0，解得左=-2或-2,

8

此时直线I的方程为y=-2X或y=-|x.

17.答案：（1）证明见解析；

3

⑵2

2

解析：（1）在线段AA］上取一点〃，使

连结BM,MP，则MA=2aM,

又因为PCi=2Ap，所以MP//AG，

因为MP<Z平面ABC1，AGu平面ABC］，所以MP〃平面ABC，

由AA=3,得AM=2，又43=2,且的/加用，

所以四边形ABBXM为平行四边形，所以用“HAB,

因为用Ma平面ABC】，Afiu平面ABG，所以4M〃平面ABC1，

又为0rlMP=M,耳Mu平面与MP,"Pu平面与MP,

所以平面4Mp〃平面ABC,,

又因为qPu平面31MP,所以用P〃平面ABC1.

因为四边形是边长为2的菱形，55］，平面ABC，所以CG，平面ABC，

又ACu平面ABC，所以CC]，AC，所以AC=4AC；-CC；={12-4=2后，

AB=2=BC，所以Ag2+gc2=Ac2,^AB±BC>

所以AB，BC，5与两两相互垂直，以3为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

)(020),4(023)，4(0,0,2),q(2,0,2),设尸(0%,zj，

AG=(2,-2-1)-邛=(冷%一2,z「3),4^=(0,-2,-1).福=(0,-2,2),

再=24

设个=4前，0<2<b所以<%=2—2/1，

7i=3—几

即P(22,2—22,3—九)，AP=(22,-22,3-2)-

设平面AB{P的法向量为w=(x2,y2,z2),

则,些=。即厂2%+2Z2=0,

n.AP=0[2Ax2-2Ay2+(3-A)z2=0

取%=1，则元=”,

设直线4耳与平面AB.P所成角为夕,

解得八g,所以「„,所以邛=^i+i+l=|.

18.答案：(1)/(%)的最小值为0,无最大值;

2

(2)m>——；

27

2

解析：(1)八x)=e'T-1，令/'(x)=0，则x=l，

所以当%>1时，ff(X)>0,/(X)在(1,+8)上单调递增，当％<1时，/(%)<0,f(X)

在(-8,1)上单调递减，所以/(%)min=/(I)=0，f(x)没有最大值;

(2)g(x)的定义域为(0,+oo),g>(x)=W：X+1>

%2

因为g(x)在定义域内单调递增，

所以g'Cx)NO在(0,+oo)恒成立，

所以2〃u：x+吆0,所以力加_%+&0，

X

所以机2二在(0,+oo)恒成立，

设夕3=1^，则"(x)=V1^，

令〃(x)>0,则0<x<3，令p'(x)<0,则x>3,

22

所以p(x)在(0,1)上单调递增，在(|,+00)单调递减,

所以P(X)max=P(|)=g,所以机25；

(3)当1>1时，mx2---In%>zn——1

1i1

所以加〉/U在（Ly）恒成立，

m>—一

111

令松）」+尸Q，由（1）知ei>x，

x-1

所以」!(工，所以]+lnx_：Inx

e%血X)>F^=E

令〃(x)=lnx-x+l(x>1),M'(x)=---1,

X

因为x>l时M'(x)<o，所以M(x)在(1,+8)单调递减,

所以M(x)<M⑴=0,所以lnx<x—1，

所以詈<君=士'因为当时'士<；

所以占K所以m(x)>g，

所以m2L

2

19.答案：（1）是，理由见解析;

（2）①）“43;②;；

（3乂=335,此时相应数列｛4｝的公差为鬻.

解析：（1）｛4｝是“H数列”，理由如下：

1

因贝k=]：'"[=

2电-S“-2，〃之213n+l,n>2

又%=3xl+l=4,则％=3〃+1,故an+i=3〃+4.

aa

则n+i~^n=3〃+4—4(3〃+1)=—9〃<0，即an+1<4an；

an+\=3«+4--(3/1+1)=^-+^>0，即。“+i>~an

则｛«„｝满足［为<%<4an，即｛«„)是“H数列”;

(2)因｛%｝是首项为1,公比为q的等比数列，

\-qn1

-----，"]

则%=，E,=<1-q

n,q=l

1,

<4+14

①因数列｛4｝和｛S“｝均是"H数列”,则

5—4S”

当q=l时，显然满足条件;

当q#1时，|a„<a„+1<4a”n/</<4l，

若q<0,且〃—1为奇数时，则矛盾;

1为偶数时，；<q<4，矛盾.

故q〉0,贝或1<”4;

=十_*<1_/+1‘1-矿、

此时,ZS〃KS〃+i<S<4

n4(1-qJ1-q

、j7

qn+1-4qn+3>0

若;Vq<l,则:(l_q")Kl_q'+iK4(l_q")n13

qn+1--qn--<0

44

q"(q-4)+320

恒成立.

当时，函数=—4)+3=—+3-〃eN*单调递增，要使

q"(q—4)+320恒成立，则心〃)，=7?(1)=3-j|>0,

此时十,一；］一?=一；<0,贝满足条件；

当!<q<l时，

4

函数/(〃)=q"(q—4)+3，〃eN*单调递增，

g(〃)=/[q—；)—[，“eN*单调递减，

^"(^-4)+3>0/(味n=〃1)="3)(4-1”。

恒成立,需满足g⑴=(4-1)，+；卜鼠

g(〃)max=

解得：--<q<\,则工<4<1满足条件;

4