高中数学专项复习：正态分布和条件概率（讲解）（解析版）

考点38正态分布与条件概率

【思维导图】

定义卡在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率

记作—P（BIA）

读作4A发生的条件下B发生的概率

条

刖田期法：曲⑷二必^

件

概必）

解题方法

率

\H⑷________

任何事件的条件概率都在0和1之间

性质«如果8和U是两个互斥事件，则A8U=/4刈+凡。⑷

1

函数5.乂方丁.xe(-«,+8),其中实数〃,<X^>0)

2na

为参数，称3“的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线

(1)P(JL。<XWy4-0)=0.6826；

(2)P(u-2o<X<u+2o)=0.9544；

⑶P(u-3—+3。)=0.9974

【常见考法】

考点一条件概率

1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件/为“第一次取到的是奇数”，B为“第

二次取到的是3的整数倍”，则P(3|A)=()

313133

A.-B.—C.—D.一

840454

【答案】B

【解析】由题意。(⑷亮

事件AC8为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9,第二次有2

种情况；若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况，故共有2x2+3x3=13个事件

1313

P(AnB)=

9^872

由条件概率的定义：尸n/n⑻一、冷尸=(不AA齐3)=而13故选：B

2.将三枚骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”,事件3为“至少出现一个6点”,则概率P(A|B)

的值为()

601591

A.—B.-C.—D.---

91218216

【答案】A

【解析】VP(A|B)=P(AB)+P(B),P(AB)=—=——

63216

60

P(B)=1-P(B)-=-^-AP(A/B)=P(AB)4-P(B)=^-=—

632162162191

216

3.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为工，在A题答对的情况下，B题也

3

Q

答对的概率为一，则A题答对的概率为()

9

1317

A.—B.—C.—D.一

4429

【答案】B

2

【解析】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则P(AB)=P(A)・P(3)=§,

/、P(AB)8,、3

=3,二0(A)=Z,故选：

4.已知随机事件A,3,且尸⑷=；,P(B|A)=|,贝iJP(A|3)=

3

【答案】-

4

【解析】因为尸(A)=g,P(B|A)=1,所以P(AB)=P(A).P(3|A)=：,

1

/.、P(AB)733

所以P(A⑻=7祸=f=z.故答案为：“

3

考点二正态分布

1.已知X~N(4,b2),且P(X<2)=p,则P(X<6)=()

【答案】D

【解析】•••X~N（4Q2）,.•.P（X，6）=P（XW2）=p,所以P（XW6）=1—P（X>6）=1—p.故选:

D.

2.已知随机变量X服从正态分布N（3,CT2）,且P（X44）=0.8,则P（2<X<4）=（）

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2

【答案】B

【解析】由题可知，P（X>4）=l-P（X<4）=l-0.8=0.2,

由于X~N（3,"）,所以，P（X<2）=P（X>4）=0.2,

因此，P（2<X<4）=1-P（X<2）-P（X>4）=1-0.2-0.2=0.6,故选:B.

3.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了

100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标.

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数元（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布NW。?），利用该正态分布，求Z

落在（38.45,50.4）内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标

值位于（1。,30）内的包数为X,求X的分布列和数学期望及方差.

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为cr=土11.95;

②若Z~N(〃,cr2),则尸(〃一cr<z”〃+cr)=0.6826,P(〃一2cr<Z”〃+2cr)=0.9544.

频率/组距

【答案】(1)26.5；(2)①0.1359；②分布列见解析，数学期望为2,方差为1.

【解析】(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为：

(0,10］的频率为：0.010x10=0.1,

(10,20］的频率为：0.020x10=0.2,

(20,30］的频率为：0.030x10=0.3,

(30,40］的频率为：0.025x10=0.25,

(40,50］的频率为:0.015x10=0.15,

所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数元为：

x=5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5.

(2)①QZ服从正态分布Ng/),且〃=26.5,cr~11.95,

P(38.45<Z<50.4)

=P(26.5-2xll.95<Z<26.5+2x11.95)-P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)

=(0.9544—0.6826)+2=0.1359

r.Z落在(38.45,50.4)内的概率是0.1359.

②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为Q2+0.3=0.5，

X的可能取值分别为：0,1,2,3,4,

2

p(x=o)=c：d)4=±，

2lo

P(X=l)=C；d)4=),

24

i3

P(X=2)=C：g)4=

2o

P(X=3)=*4=；

24

P(X=4)=C：(1)41

16

的分布列为:

X01234

1j_3j_1

p

1648416

1111

QX~B(4,5),E(X)=4x-=2,r)(X)=4x-x-=l.

4.某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米）,

按数据分成[121.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组，得到如图所示的频

率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59,1.59,1.61,1.61,

1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,

以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.

（1）求这批零件的长度大于L60分米的频率，并求频率分布直方图中〃z,n,/的值;

（2）若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在（141.6］的个数，求X的分布列和数学期

望;

(3)若变量S满足忸(〃—b<S<〃+cr)-0.6826归0.05且忸(〃-2cr<S<〃+2cr)—0.9544归0.05,

则称变量S满足近似于正态分布N（〃,cr2）的概率分布.如果这批零件的长度y（单位：分米）满足近似于

正态分布N（1.5,0.01）的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问,

该批零件能否被签收?

【答案】（1）777=0.25,H=1.25，f=3.5；（2）分布列见解析，2.1；（3）能被该公司签收.

【解析】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于L60分米的共有18件,

1Q

则这批零件的长度大于1.60分米的频率为,=0.15,

120

3

记F为零件的长度，则P(1.2<Y<1.3)=P(1.7<y<1.8)=—=0.025,

P(1.3<y<1.4)=P(1.6<y<1,7)=^=0.125,

P(1.4<Y<1.5)=P(1.5<y<1.6)=1x(1-2x0.025-2x0.125)=0.35,

,,0.025…0.125,-0.35.「

故根=-----=0.25,n-------=1.25,t=------=3.5.

0.10.10.1

（2）由（1）可知从这批零件中随机选取1件，长度在（1.4,1.6］的概率2=2x0.35=0.7.

且随机变量X服从二项分布X~5（3,0.7）,

则尸(X=0)=Cfx(l-o.7)3=0.027,p(x=1)=C；x(l-0.7)2x0.7=0.189,

p(X=3)=C；x07=0.343,

故随机变量X的分布列为

X0123

P0.0270.1890.4410.343

EX=0x0.027+1x0.189+2x0.441+3x0.343=2.1=3x0.7=2.1）.

（3）由题意可知〃=1.5,cr=0.1,

则P（//-cr<y<//+o-）=P（1.4<y<1.6）=0.7；

P（//-2cr<y<//+2cr）=P（1.3<y<1.7）=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95,

因为|0.7-0.6826|=0.0174<0.05,|0.95-0.9544|=0.0044<0.05,

所以这批零件的长度满足近似于正态分布N（L5,0.01）的概率分布.

应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.

5.某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产一一腊排骨，并通过该网购平台

销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中

随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下

五组：［1,3）、［3,5）、［5,7）、［7,9）、［9,11］,统计结果如下表所示：

所获纯利润（单位：万元）口，3）艮5）[5,7)[7,9)[9,11]

农户户数1015452010

（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从

正态分布N（〃,b2）,其中〃近似为样本平均数嚏，/近似为样本方差/土2.件.若该县有1万户农户在该

网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间(1.9,82)内的户数.(每区间数据用该区间的中间值表

示)

(2)为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖

机会，每次抽奖的中奖率均为!.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，

每次中奖的奖金都为1024元.求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望.

参考数据：若随机变量X服从正态分布则P(〃—cr<XW〃+b)y0.6827,

P(^jU-2a<X</4+2a)«0.9545.

【答案】(1)8186；(2)1020元.

【解析】(1)由题意知：

中间值246810

频率0.10.150.450.20.1

样本的平均数为1=2x0.1+4x0.15+6x0.45+8x0.2+10x0.1=6.1，

所以Z~所以(〃一2cr,〃+cr)=(1.9,8.2),

而P(〃一2b<Z<〃+cr)=gp(〃—tr<Z<〃+cr)+gp(〃-2cr<Z<〃+2cr)

~1(0.6827+0.9545)-0.8186.

故1万户农户中，Z落在区间(198.2)内的户数约为10000x0.8186=8186；

(2)设中奖次数为i,贝Ui的可能取值为0、1、2、3、…、8,

的,0V注7,，eZ

则P（X=1024，）=<

J=8

所以E（X）=（；X0+?><1+2X2+-一++><6+5><7+£><8）X1024.

人「1237

令S=F+F+-7+…+E①

22232428

11267^

-5o=—+—+■­-+—+—,②

223242829

711719

由①—②得:

2-F-2®2-2®

S=1——,

28

所以E（X）=11-*+城义8卜1024=。-白卜1024=1020（元）.

所以参与调查的某农户所获奖金X的数学期望为1020元.

6.2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力.福建省

漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉.东山岛，别

称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门

市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天

独厚的优势.根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正

态分布N（28O,25）.

（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；

（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增

量.现用以往的先进养殖技术投入七（千元）与年收益增量%（千元）.（，=L2,3,…,8）的数据绘制散点图,

由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y=a+Z?4的附近，且无=46.6,5=563,亍=6.8,

8888

£(%,—可2=289.8,£&-亍『=1.6,2(西—可(％—9)=1469，Z&—『)(%—9)=108.8,其中

i=lz=li=\i=l

_]8

4=毒，T=一根据所给的统计量，求y关