2024-2025学年山东省青岛市高二上册12月阶段性检测数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年山东省青岛市高二上学期12月阶段性检测数学检测试卷注意事项（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．）试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列的首项，且，则（）A4044 B.4045 C.4046 D.4047【正确答案】B【分析】设出等差数列的公差，利用题时的比例式以及通项公式，可得答案.【详解】设等差数列的公差为，由，，可得，则，解得，.故选：B.2.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由已知得出，利用抛物线的定义结合可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的方程.【详解】因为点在抛物线上，则，可得，抛物线的准线方程为，焦点为，由抛物线的定义可得，因为，则，因为，解得，因此抛物线的方程为.故选：B.3.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（）A.2 B. C. D.【正确答案】C【分析】根据等差数列等差中项和等比数列等比中项的性质即可求解.【详解】因为数列是等差数列，，所以，，又数列是等比数列，，则，，，.故选：C4.如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设，由双曲线的定义可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的关系式，从而求得答案.【详解】设，由双曲线的定义得，，，由得，解得，所以，，中，由勾股定理得，整理得，即双曲线的离心率，故选：C．5.若数列满足，，则（）A. B.2 C.3 D.【正确答案】A【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案.【详解】∵数列满足，，∴，∴，，，，∴是周期为3的周期数列，而，故．故选：A6.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则C的离心率为（）A. B. C. D.2【正确答案】D【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率.【详解】由可得其渐近线为，依题意，圆的圆心到的距离为，化简得：，则．故选：D7.如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得.【详解】连接、，由在以为直径的圆上，故，、在椭圆上，故有，，设，则，则有，，即可得，解得，故，则，故.故选：C.8.已知数列满足递推公式，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】对两边取对数得，令，则可得是以为首项，2为公比的等比数列，求出，从而可求出，进而可求得结果.【详解】由题意可得，则由，得，所以，令，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以.故选：A关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；两个选项正确，选对一个得3分；三个选项正确，选对一个得2分，两个得4分；选错或不答得0分.9.数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则数列的前5项和最大B.若等比数列是递减数列，则公比q满足C.已知等差数列的前n项和为，若，则D.已知为等差数列，则数列也是等差数列【正确答案】CD【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的定义判断D.【详解】选项A，由，令，解得，令，解得，，所以，，又数列单调递减，故数列前6项的和最大，故A错误；选项B，当，时，等比数列也递减数列，故B错误；选项C，，∴若，则，故C正确；选项D，若为等差数列，则，∴，则（为常数），∴数列也是等差数列，故D正确．故选：CD10.已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（）A.的取值范围是B.C.以线段为直径的圆被直线截得的弦长为D.直线与直线的斜率之积【正确答案】AD【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D.【详解】易知，对于A，设Px0,则，故A正确；对于B，易知四边形为平行四边形，即，故B错误；对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为，则圆心到直线的距离为，则相应弦长为，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选：AD11.设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（）A.B.C.的值是中最大的D.使成立的最大自然数等于4044【正确答案】AD【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】，，，同号，且或，若，则不同号；若，则，不满足要求；故可得，，故A正确；，且，可得，故B错；，又，且最大，故C错；，且为等比数列，由等比数列的性质可得，，使成立的最大自然数等于4044，故D正确.故选：AD.关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________【正确答案】【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式.【详解】数列的前n项和，当时，，而，不满足上式，所以数列的通项公式为.故13.已知抛物线的焦点为为上一点，为的准线与轴的交点，．若为坐标原点，则______．【正确答案】##【分析】根据圆的性质，可得点满足的方程，联立抛物线方程，可得点的坐标，根据余弦的定义，可得答案.【详解】由题意知为线段的中点，又，所以．设Ax0,由为上一点，得．将代入，可得，解得（负值已舍去），则．故14.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________.【正确答案】①.②.【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围.【详解】根据椭圆定义得，所以，，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，因为的最大值为，且，则，解得，则.设切椭圆于点，由椭圆的光学性质可得、、三点共线，，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以，到直线的距离为，由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即.故；.方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知数列的前n项和，且满足．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项乘积为，求的最小值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由与的关系，先判定是等比数列，再求出数列的通项公式.（2）根据（1）中的结果，表示出，结合二次函数和指数函数的单调性求最小值.【小问1详解】当时，.当时，，且，两式相减得.所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以【小问2详解】由（1）可知：，所以.所以当或时，相等且最小，为.16.在直三棱柱中，，分别为棱中点.（1）证明：平面；（2）若，且，则当为何值时，有？【正确答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）构造平行四边形得线线平行，结合线面平行判断定理即可证明.（2）如图建立空间直角坐标系，设，得出各点坐标，令，即可求解.【小问1详解】取的中点为，连接，分别为的中点，结合题意得，且，故四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.【小问2详解】，取中点为，则有，连接，由题意得底面，如图以为原点，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，设，，则，，则，得，由题意得，即当时有.17.设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形的面积比为1:2，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得的坐标，则可求直线方程.【小问1详解】因为，，，所以，所以，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】如图，因为三角形与三角形的面积之比为，所以三角形与三角形的面积比为，所以，得，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，所以，所以，，所以，解得，当时，，当时，，故直线方程为.18.已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.（1）求C的方程；（2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.【小问1详解】由焦点坐标为得，所以，又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，得即，所以，所以双曲线C的方程为，即.【小问2详解】由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.联立，消去x得，则，得，，，则，又，所以，，所以，所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，所以直线BD过点F.19.若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆．（1）若圆是集合的包络圆．（ⅰ）求a，b满足关系式；（ⅱ）若，求t的取值范围；（2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）.（2），或，【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解；（ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可；（2）根据新定义，