《画法几何与机械制图》课件第03章

第3章投影变换3.1换面法的基本概念3.2点的投影变换3.3直线的投影变换3.4平面的投影变换3.5换面法的应用举例

3.1换面法的基本概念

图3-1所示为一三角形铅垂面，在V面和H面投影体系(以后简称为V/H体系)中的两个投影都不显示实形。为使新投影显示实形，取一平行于三角形平面且垂直于H面的新投影面V1，组成新投影体系V1/H，V1与H面的交线成为新投影轴，三角形在V1面上的投影就显示三角形的实形。再以新投影轴为轴，使新投影面V1旋转至与H面重合，就得到了V1/H体系中投影图。图3-1V/H体系变为V1/H体系

3.2点的投影变换

3.2.1点的一次变换

如图3-2(a)所示，点A在V/H体系中，正面投影为a′，水平投影为a。

图3-2(b)表示按上述规律，由V/H体系的投影求V1/H体系的投影的作图。(a)立体图(b)投影图图3-2点的一次变换(更换V面)图3-3表示更换H面，由点A在V/H体系中的投影(a′,a),求其在新体系V/H1中的投影(a′，a1)的作图过程。(a)立体图(b)投影图图3-3点的一次变换(更换H面)3.2.2点的二次变换

点在一次变换时所得出的作图规律也适用于二次变换或多次变换。图3-4为由V/H体系经过V1/H体系而变换成V1/H2体系的立体图和投影图，当然变换次序也可以是V/H→V/H1→V2/H1。(a)立体图(b)投影图图3-4点的二次变换

3.3直线的投影变换

3.3.1直线的一次变换

1.将一般位置直线变为投影面的平行线

在图3-5(a)中，线段AB在V/H体系中为一般位置，若求AB的实长及其对H面的倾角α，则可用一个平行于AB且垂直于H面的V1面来代替V面，此时AB在V1/H体系中成为V1面的平行线，它在V1面上的投影a1′b1′ 反映AB的实长，a1′b1′ 与X1轴的夹角即为AB对H面的倾角α。(a)立体图(b)投影图图3-5一般位置直线变换为投影面平行线(求实长和倾角α)图3-5(b)表示投影图作法，具体步骤如下：

(1)作X1轴∥ab，X1与ab的距离可任取。

(2)根据点的投影变换规律，作出A、B两点的新投影a1′、b1′。

(3)连a1′、b1′ 即得a1′b1′，它反映AB的实长，与X1轴的夹角反映AB对H面的倾角α。若求AB的实长及其对V面的倾角β，则应更换H面，将AB变为H1面的平行线。图3-6表示其投影图作法。图3-6一般位置直线变换为投影面平行线(求实长和倾角β)

2.将投影面平行线变换为投影面垂直线

把投影面平行线变换为投影面垂直线，其目的是使线段的投影具有积聚性，以便于求解某些度量问题。

(a)立体图(b)投影图图3-7将投影面平行线变为投影面垂直线3.3.2直线的二次变换

垂直于一般位置直线的平面一定是一般位置平面，因此，欲把一般位置直线变换为投影面的垂直线，仅一次变换是不行的，必须连续地变换两次投影面，称为直线的二次变换。如图3-8(a)所示，第一次把一般位置直线变为投影面的平行线，第二次再把投影面的平行线变换为投影面的垂直线。

(a)立体图(b)投影图图3-8将一般位置直线变为投影面(H2)的垂直线图3-8(b)表示其投影图的作法，具体步骤如下：

(1)先作X1轴∥ab，求得AB在V1面上的新投影a1′b1′。

(2)再作X2轴⊥a1′b1′，得出AB在H2面上的投影a2(b2)，这时a2与b2积聚为一点。

图3-9表示先更换H、再更换V面将直线变成V2面的垂直线的作图过程。图3-9将一般位置直线变为投影面(V2)的垂直线

3.4平面的投影变换

3.4.1平面的一次变换

1.将一般位置平面变换为投影面的垂直面

将一般位置平面变换为投影面的垂直面，目的是使平面的投影具有积聚性，以便于求解某些度量(如求平面与投影面的夹角及与平面有关的距离)和定位等问题。(a)立体图(b)投影图图3-10将一般位置平面变为投影面垂直面(求夹角α)如求△ABC对V面的夹角β，可在△ABC内取一正平线为辅助线，并用H1代替H，则△ABC的H1面投影与X1轴的夹角即为平面对V面的夹角β，如图3-11所示。图3-11将一般位置平面变为投影面垂直面(求夹角β)

2．将投影面垂直面变为投影面的平行面

目的是为了求平面的实形和解决同一平面内的有关图解问题。

由于投影面垂直面已经垂直于一个投影面，所以只要建立一个与已知平面平行的新投影面，即可在新体系中得到该平面的实形。图3-12将投影面垂直面变为投影面平行面3.4.2平面的二次变换

平面的二次变换主要用于把一般位置平面变换为投影面的平行面。因为平行于一般位置平面的平面仍为一般位置平面，所以必须连续交替更换两次投影面才行，即第一次将一般位置平面变换为投影面的垂直面，第二次再将投影面垂直面变换为投影面的平行面。图3-13将一般位置平面变为投影面平行面

3.5换面法的应用举例

3.5.1求解距离问题

【例3-1】如图3-14(a)所示，已知平面△ABC及面外一点M的两面投影，求M点到三角形平面ABC的距离及其投影。图3-14用换面法求点到平面的距离

【解】当平面变换成投影面垂直面时，问题得解。

如图3-14(b)所示，当平面变成V1面的垂直面时，反映点

至平面的垂线MK为一V1面的平行线，它在V1面上的投影m1′k1′ 显示实长。一般位置平面变换成垂直面时，只

需一次变换即可。设新投影面V1垂直于H面，以代替V面。

【例3-2】如图3-15(a)所示，已知直线AB及线外一点M的两面投影，求作点M到直线AB的距离及其投影。

【解】当直线变换成投影面的垂直线时，则在该投影面上就直接反映出点到直线的距离，如图3-15(b)所示。为此，必须将一般位置直线AB经两次变换变为投影面的垂直线，M点也随之变换两次，即可求出距离的实长。图3-15用换面法求点到直线的距离

【例3-3】求两交叉直线AB、CD的公垂线实长及投影(图3-16)。

【解】两交叉直线之间的最短距离就是它们的公垂线，因此，如果把两交叉直线之一变换成投影面的垂直线，例如将CD变为垂直于H2面(图3-16(b))，则公垂线MN必为H2面的平行线，故m2n2 = MN。据上述分析，实质上是把一般位置直线变换成投影面的垂直线的作图问题。图3-16用换面法求两交叉直线的公垂线及投影3.5.2求解角度问题

【例3-4】如图3-17(a)所示，已知两一般位置平面△ABC和△ABD的两面投影，试用换面法求两平面之夹角f。

【解】任何不平行两平面必相交，其相交之夹角称为二面角。当两个平面同时垂直于某一投影面时，它们在该平面上的投影均积聚为直线，此两直线间的夹角就反映出两平面间的真实夹角。要使两平面同时变换为新投影面的垂直面，必须把它们的交线变换为新投影面的垂直线。从图3-17(a)、(b)中知道，AB是两平面的交线，为一般位置直线，故需要两次变换投影面，才可求出两平面的夹角f

。图3-17用换面法求两平面之夹角

【例3-5】如图3-18(a)所示，已知四边形ABCD和直线EF的两面投影，用换面法求直线EF与平面ABCD夹角θ的真实大小。

【解】作一新投影面和直线EF平行，且与平面ABCD垂直，则在该新投影面上的投影反映θ角。由于平面ABCD处于一般位置，因此，首先将它经过二次变换变为投影面平行面，然后，在其上作新投影面V3与之垂直，并与直线EF平行。故本题共需要变换三次投影面才能获解。(a)已知条件(b)作图过程及结果图3-18用换面法求直线与平面之夹角3.5.3求解定位问题

【例3-6】如图3-19所示，求一般位置直线DE与△ABC平面的交点。

【解】如前所述，直线与平面的交点是直线与平面的共有点，这一共有点可用换面法求出。(a)已知条件(b)作图过程和结果图3-19用换面法求直线与平面的交点

【例3-7】如图3-20(a)所示，求两一般位置平面△ABC和△DEF的交线MN。

【解】只要把两平面之一变为投影面垂直面，问题

得解。(a)已知条件(b)作图过程和结果图3-20用换面法求两一般位置平面的交线

【例3-8】如图3-21(a)所示，已知平面图形的实形及一边AB的投影，求作其正面投影和水平投影。

【解】由平面换面的基本问题可知，将一般位置平面变换为投影面的平行面需经两次变换。