人教版高中数学精讲精练必修一2.2 基本不等式（精练）（含答案及解析）

2.2基本不等式（精练）1．（2023·重庆）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）A． B．2 C．42（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值23．（2023·江苏）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．124．（2023·新疆喀什）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．25．（2023春·河南新乡）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．1 C．9 D．6．（2022秋·广东深圳）若x，y满，则（

）A． B． C． D．7．（2023·高一课时练习）若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2023春·江西宜春）已知，且，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2023春·浙江杭州）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2023春·安徽·高一校联考期中）（多选）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．（2023春·陕西安康）（多选）若，则（

）A． B．C． D．12．（2023北京）（多选）若、，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．13．（2023·河北）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则14．（2023春·云南临沧）（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7.515．（2022秋·天津和平）已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________.16．（2023·四川成都）已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为______．17．（2023春·福建三明）已知实数，，则的最小值是______.18．（2023·浙江）函数在上的最大值为_______________．19（2023·新疆）当时，函数的最小值为___________．20．（2023春·陕西渭南）已知正实数x，y满足，则的最小值为______.21．（2023春·上海金山）已知正数、满足，则的最小值为___.22．（2023河南）正实数满足，则的最小值为_______.23．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知，，，则的最大值为____________．24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．25．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．26．（2023·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？1．（2023·广东）已知，，且，则下列不等式不正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023·海南省）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023上海）（多选）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·河南南阳·高一统考阶段练习）（多选）已知,则（

）A． B．C． D．4．（2023·内蒙古）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．5．（2023·广西玉林·高一统考期末）（多选）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（

）A．最大值为1 B．有最大值4C．的最大值为2 D．的最小值为96．（2023春·广西防城港·高一统考期中）（多选）已知，，且，则（

）A． B． C． D．7．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）（多选）已知，则下列说法中正确的有（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为8．（2023春·辽宁）（多选）已知，，，则下列判断正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为6 D．的最大值为89．（2023·山东烟台）（多选）已知且，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为6 D．的最小值为410．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．11．（2023·全国·高三专题练习）设非负实数满足，求证：12．（2023·新疆乌鲁木齐）已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.13（2023·全国·高三对口高考）（1）设.若，求的取值范围；（2）设，，.若，求的取值范围.14．（2023·广东湛江）（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的最大值；（3）当时，求函数的最小值；（4）当时，求函数的最大值；（5）设，求函数的值域．（6）①当时，求函数的最大值；②求函数的最大值；15．（2023·江苏宿迁·高一统考期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短?

2.2基本不等式（精练）1．（2023·重庆）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）A． B．2 C．4【答案】D【解析】，等号成立条件是，即时取等号，即当且仅当时取等号，所以ab的最大值是4.故选：D.2（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【解析】若，则，当且仅当即等号成立，所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.3．（2023·江苏）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因为所以，(当且仅当即时，等号成立故最小值为，故选：A4．（2023·新疆喀什）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由（当且仅当时等号成立），得，即，即，，当且仅当a=b=时等号成立.所以的最小值为.故选：B.5．（2023春·河南新乡）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．1 C．9 D．【答案】B【解析】因为，变形得.由题意，当且仅当，即时，等号成立．故选：B.6．（2022秋·广东深圳）若x，y满，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以，因为，而，所以，于是有，故选项AB都不正确；由，故选：C7．（2023·高一课时练习）若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】因为，对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确；对于②中，由，当且仅当时，等号成立，所以，所以②不正确；对于③中，由不等式，可得，两边同除，可得成立，所以③成立；对于④，由，可得，即，所以成立，所以④正确.故选：B.8．（2023春·江西宜春）已知，且，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意知，且，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.9．（2023春·浙江杭州）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得时等号成立，所以，所以时，的最小值是，故选：B10．（2023春·安徽·高一校联考期中）（多选）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因为正实数、满足，对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，因为，则，当且仅当时，等号成立，B错；对于C选项，当，时，，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD.11．（2023春·陕西安康）（多选）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对A、B：∵，则，∴，即，，A、B正确；对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；对D：∵，则，∴，D正确.故选：ABD.12．（2023北京）（多选）若、，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A选项，，故，A对；对于B，取，此时，B错；对于C，取，此时，C错；对于D，因为，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD.13．（2023·河北）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对；对于B选项，若，，则，所以，，B错；对于C选项，因为，则，所以，，C对；对于D选项，若，则，，则，故，D对.故选：ACD.14．（2023春·云南临沧）（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7.5【答案】BC【解析】由，且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.故选：.15．（2022秋·天津和平）已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________.【答案】5【解析】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，解得，则的最大值5．故答案为：5．16．（2023·四川成都）已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为______．【答案】【解析】因为.当且仅当，即时取等，故的最小值为.故答案为：17．（2023春·福建三明）已知实数，，则的最小值是______.【答案】3【解析】,令,则,当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.故答案为：318．（2023·浙江）函数在上的最大值为_______________．【答案】【解析】因为，，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：19（2023·新疆）当时，函数的最小值为___________．【答案】【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.20．（2023春·陕西渭南）已知正实数x，y满足，则的最小值为______.【答案】8【解析】因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以.即的最小值为.故答案为：21．（2023春·上海金山）已知正数、满足，则的最小值为___.【答案】【解析】正数、满足，则则，又时，，则，则的最小值为.故答案为：22．（2023河南）正实数满足，则的最小值为_______.【答案】1【解析】因为正实数满足，所以，则，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为1，故答案为：123．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知，，，则的最大值为____________．【答案】【解析】由已知，，，则，而，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：.24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．【答案】【解析】∵，则，原题意等价于对任意恒成立，由，，则，可得，当且仅当，即时取得等号，∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：．25．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以实数m的取值范围为．故答案为：．26．（2023·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】(1)，(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．【解析】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，则，，．（2）解：由（1）可得，，当且仅当，即时等号成立，此时．所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．1．（2023·广东）已知，，且，则下列不等式不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，且，由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；由基本不等式知，则，即（当且仅当时取等号），B正确；由题得，由已知，故，所以，故，C正确；由基本不等式可得，即（当且仅当时取等号），D错误.故选：D.2．（2023·海南省）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.2．（2023上海）（多选）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由，可得，所以A错误；由且，则，当且仅当时等号成立，又因为，所以等号不成立，故成立，所以B正确；当，时，可得，所以C错误；因为，所以，当且仅当时取等号；同理可得：，当且仅当时取等号，又因为，即，不同时等于1，所以，所以D正确．故选：BD．3．（2022秋·河南南阳·高一统考阶段练习）（多选）已知,则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由题知,当时,,故选项A,D错误;根据算术平均数大于等于调和平均数,所以,即,由,当且仅当,即时,等号成立,因为,所以,此时,故,故选项B正确.因为,所以,即,当且仅当,即时,等号成立,所以,故选项C正确.故选:BC4．（2023·内蒙古）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为，，所以，所以，因为，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B不正确；因为，，所以，故C正确；因为，，所以，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，故D正确.故选：ACD5．（2023·广西玉林·高一统考期末）（多选）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（

）A．最大值为1 B．有最大值4C．的最大值为2 D．的最小值为9【答案】AC【解析】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；，当且仅当时取等号，有最小值4，故B错误；因为，则，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当时取等号，故D错误．故选：AC．6．（2023春·广西防城港·高一统考期中）（多选）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因，，且，则有，当且仅当时取“=”，故A正确；因，，且，则，，当且仅当时取“=”，故B错误；因，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故C正确；因，，且，则，，则，因为取等的条件为，即，又取等的条件为，因为取等条件不一致，故，故D正确.故选：ACD7．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）（多选）已知，则下列说法中正确的有（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为【答案】ABD【解析】A选项，因为，所以，即，解得，当且仅当时，等号成立，A正确；B选项，因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，B正确；C选项，由基本不等式得，故，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错误；D选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，D正确.故选：ABD8．（2023春·辽宁）（多选）已知，，，则下列判断正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为6 D．的最大值为8【答案】ACD【解析】对于A：，当且仅当，即时取等号，故A正确；对于B：由条件可知，所以，解得，由，得，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误；对于C：由得，当且仅当，即，时取得等号，故C正确；对于D：由上述条件可知，整理得.令，则，解得，则，当且仅当，即，时取得等号，故D正确.故选：ACD.9．（2023·山东烟台）（多选）已知且，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为6 D．的最小值为4【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；对于B，因为，所以，即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，由得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC.10．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．【答案】(1)2(2)证明见解析【解析】（1）（2）因为，所以，所以．因为，，所以，当且仅当时，等号成立，则，即的最小值是2．（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以．当且仅当时，等号成立则，即，当且仅当时，等号成立．11．（2023·全国·高三专题练习）设非负实数满足，求证：【答案】证明见解析【解析】因为，，，，所以，.当且令当时，等号成立，所以，即.12．（2023·新疆乌鲁木齐）已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）因为，，，所以，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以.（2）因为，，，所以，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；上述三式相加可得，即，当且仅当时，等号成立.所以.13（2023·全国·高三对口高考）（1）设.若，求的取值范围；（2）设，，.