专题11 概率与统计（老师版）

专题11概率与统计一、单选题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为（）A．①用简单随机抽样：②③均用系统抽样B．①用抽签法；②③均用系统抽样C．①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D．①抽签法；②用系统抽样；③用分层抽样【答案】D【解析】对于①,所收集的数据没有明显差异,且数量较少,应用抽签法;对于②,所收集的数据没有明显差异,且数量较多,应用系统抽样;对于③,所收集的数据差异明显,应用分层抽样;故选:D2.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若是质数，且互质，那么的次方除以的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为，另一个作为，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】所取两个数符合费马小定理时,因为是质数,所以可能为:2,3,5;又互质,所以可能的情况共9种,列举如下:;在数集中任取两个数,共有种情况,因此,所取两个数不符合费马小定理的概率为,故选:A.3.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】名学生中有且只有名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】记名会颠足球的同学为、、，名不会颠足球的同学为、，从名学生中任意选取人，基本事件有：、、、、、、、、、，共种情况.其中选择的人都会颠足球包含的基本事件有：、、，共种情况.因此，所选的这人都会颠足球的概率.故选：A.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】饕餮(tāotiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这种，所以次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为.故选：D.5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆形钱币的半径为2cm,面积为S圆＝π•22＝4π；正方形边长为1cm,面积为S＝12＝1．在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P＝,则．故选：A．6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】记两名男性为，三名女性为，则从5人中抽调2人有，，，，，，，，，共10种不同结果，抽调的两人刚好为一男一女有，，，，，共6种不同结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.故选：C7.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意将甲乙看成一个整体,满足要求的安排方式种类有,总的安排方式的种类有,所以甲乙被安排到同一个场馆的概率为.故选:C.8.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：对于A中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；对于B中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；对于C中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；对于D中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.故选：D.9.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】已知某个数据的平均数为，方差为，现加入和两个新数据，此时个数据的方差为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设原数据为、、、、、，则，加入和两个新数据后，所得个数据的平均数为，所得个数据的方差为.故选：B.10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制（5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束）．现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛．若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行比赛．假设甲与A或Ｂ比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响．那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为（）A．0.24 B．0.25 C．0.38 D．0.5【答案】C【解析】记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，因为甲与A或Ｂ比赛，甲每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响．所以甲所在球队恰好经过4场比赛获胜的概率为：，若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，因为甲与A或Ｂ比赛，甲每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响．所以A所在球队恰好经过4场比赛获胜的概率为：，所以恰好经过4场比赛分出胜负的概率为：,故选：C11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID-19的概率统计表：单独防疫措施戴口罩勤洗手接种COVID-19疫苗感染COVID-19的概率一次核酸检测的准确率为．某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID-19疫苗，感染COVID-19的概率都为0.01．这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的．他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测．以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID-19的概率为依据，这10次核酸检测中，有次结果为确诊，的数学期望为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据条件，．一个人落实了表中三项防疫措施后，感染COVID-19的概率为，一次核酸检测的准确率为，这个人再进行一次核酸检测，可知此人被核酸检测确诊感染COVID-19的概率为．以这家人核酸检测确诊感染COVID-19的概率为依据，这家3人10次核酸检测中被确诊感染COVID-19的次数为，∴．故选：B．12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚【答案】C【解析】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率，乙获取96枚金币的概率，则甲应该获得枚金币；乙应该获得枚金币；故选：C．13.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生、、和名女生、、、中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】从名男生、、和名女生、、、中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，所有的组队方法数为种，其中和两人组成一队的组队方法数为种，因此，和两人组成一队参加比赛的概率为.故选：C.14.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】某校开设类选修课4门，类选修课3门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①若从类课程中选1门，从类课程中选2门，有（种）选法；②若从类课程中选2门，从类课程中选1门，有（种）选法.综上，两类课程中都至少选一门的选法有（种）.故选：C.15.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，所求概率.故选：C.16.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中至少有1名女医生的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，从5名男医生和3名女医生中选派3人共有种方法，而选派的三人中至少有1名女医生的有（）种方法，所以所求概率为，故选：A二、多选题1.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图.则（）A．2022年我国5G用户规模年增长率最高B．2022年我国5G用户规模年增长户数最多C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差【答案】AC【解析】由图表可得，年5G用户规模年增长率最高，故A正确；年5G用户规模年增长户数最多为（万人），故B错；由图表可知，从年开始，年与年5G用户规模年增长率增加，从年开始到年5G用户规模年增长率逐年递减，故C正确；由于后五年5G用户数增长不大，数据较稳定，故方差小于前5年数据方差，所以D错.故选:AC.2.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）附表：0.0500.0103.8416.635附：A． B． C． D．【答案】BC【解析】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音不喜欢抖音合计则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，即，得，，则的可能取值有、、、，因此，调查人数中男生人数的可能值为或.故选：BC.3.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（）A．这10天中日均值的众数为33B．这10天中日均值的中位数是32C．这10天中日均值的中位数大于平均数D．这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差【答案】ABD【解析】由折线图得，这10天中日均值的众数为33，中位数为，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.故选：ABD4.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）A．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％【答案】BD【解析】A显然错误；，与2018年基本一致，B正确；，不会超过，C错误；％％，不会超过10％，D正确.5.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据统计图分析，下列结论正确的是（）A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了30%D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了0.6吨【答案】AB【解析】由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项A正确；当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D错误.故选：AB.6.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为【答案】ABD【解析】A.恰有一个白球的概率，故A正确；B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．故选：ABD.7.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】下列命题中，正确的命题有（）A．已知随机变量服从二项分布，若，，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量服从正态分布，若，则D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为【答案】BCD【解析】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以A错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；由正态分布的图象的对称性可得，所以C正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故D正确.故选：BCD8.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（）A．B．C．本次思想政治考试平均分为80D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为【答案】ABD【解析】由题知，，选项A正确；，选项B正确；本次思想政治考试平均分估计值为，选项C错误；可知在内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为，选项D正确，故选：ABD．三、填空题1.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】由题意可知：∴，即,∴故答案为：2.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为__________；一年度内盈利的期望为__________万元.（参考数据：）【答案】0.63150【解析】每份保单不需要赔付的概率是，则10万分保单不需要赔付的概率；需赔付的概率是设10万份保单中需赔付的件数，设为，则，则需赔付的保险金为，则，则一年内的盈利的期望是（元）=150（万元）故答案为：；3.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为___________【答案】【解析】由题意，在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有种，①当在个､十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；所以所拨数字大于300的概率为，故答案为：.4.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】若某商品的广告费支出x(单位：万元）与销售额y(单位：万元）之间有如下对应数据：245682040607080根据上表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为=x+1.5，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为________万元.【答案】【解析】由题得，所以=5+1.5，所以，所以=x+1.5，当时，.故答案为：四、解答题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱.（1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？（2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：/箱456频数30①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求的取值范围.【答案】（1）；（2）①21天：②的取值范围为.【解析】(1)设这6位顾客是,,,,,,其中3点以前购买的顾客是,,,,3点以后购买的顾客是,,从这6位顾客中任选2位有15种选法:,,,,,,,,,,,,,,,其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的有8种:,,,,,,,,,,根据古典概型的概率公式可得;(2)①依题意有,,所以估计接下来的一个月天)内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是天;②批发店每天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:元;批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:元;批发店每天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:;若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大,则,解得,所以的取值范围范围为.2.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】某班主任利用周末时间对该班级年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于之间，现将所有分数情况分为、、、、、、共七组，其频率分布直方图如图所示，已知.（1）求频率分布直方图中、的值；（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.（每组数据用该组区间中点值作为代表）【答案】（1），；（2）平均数为，中位数为.【解析】（1）由频率分布直方图，得，解得；（2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为，因为，，所以该班级这次月考语文作文分数的中位数为.3.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：质量指标产品等级级级级级废品频数试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）.（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.记表示某天从生产线上随机抽取的个包装胶带中质量指标值在区间之外的包装胶带个数，求及的数学期望（精确到）；（2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：.质量指标利润假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量，则，，，，.【答案】（1），；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）由题意可得中间值概率则样本平均数，，而，从而质量指标值在区间之外的概率为，则，X的数学期望为；（2）由题意可得该包装胶带的质量指标值与对应的概率如下表所述质量指标利润故每个包装胶带的利润，则，令，可得，故当时，则，当时，.所以当时，取得最大值，（元）,由已知可得改生产线的年产量为万个，故该生产线的年盈利的最大值为（万元），而万元万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：时间代号t12345z01235（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元【解析】（Ⅰ），（Ⅱ），代入得到：，即，预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于．【答案】（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为；②分布列见解析，；（2）证明见解析．【解析】（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为．②设甲参加抽奖活动的次数为，则，；；，123∴．（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为．设丙参加抽奖活动的次数为，“丙中奖”为事件，则，令，则丙在第次中奖的概率在第次中奖的概率，即，在丙中奖的条件下，在第，次中奖的概率为，则丙参加活动次数的均值为，设，则，∴，，所以．6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的个黑球和个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示恰好第次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第个红球则停止抽球，且无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为，求的数学期望.(精确到小数点后位)参考数据：，，，.【答案】（1）；（2）8.6.【解析】(1)若第（）次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球则对应地有：则第次取球时个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：利用等比数列求和公式即可得：(2)由题意可知，的可能取值依次是，，…，，特别地，当时，对应的由参考数据可得：对应的数学期望为：由参考数据可得：7.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级比例赋分区间而等比例转换法是通过公式计算：其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分等级设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：，即：，所以，得：，显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，，，则分布列为0123则期望为：8.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为.（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.①求一棵种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？【答案】（1）详见解析；（2）①0.96；②700棵.【解析】（1）依题意，的所有可能值为0，1，2，3.则；，即，，；的分布列为：0123所以.（2）当时，取得最大值.①一棵树苗最终成活的概率为.②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，则，，，，要使，则有.所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元.9.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中，．456P0.4ab（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为（单位：元）．（i）设时的概率为m，求当m取最大值时，利润的分布列和数学期望；（ii）设某数列满足，，，若对任意恒成立，求整数t的最小值．【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，数学期望为4900；（ii）4．【解析】（1）由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”.所以.（2）（i）由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.，，，，，所以，取最大值的条件为，所以分布列为：400045005000550060000.160.240.330.180.09.（ii）由题可得，所以，化简得，即是等比数列，首项为，公比为，所以，化简得.由题可知：①，解得或；②，当为偶数时，上述不等式恒成立；当为奇数时，，解得；综上所述，的最小值为4.10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶，中的一个．（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为．①；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1），；（2）①；②甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.【解析】（1）若一次性购买个甲系列盲盒后集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；②若其中两个玩偶各各，另外两个玩偶1个，则共有种结果，故；若一次性购买个一系列盲盒，全部为与全部为的概率相等为，故.（2）①由题可知：，当时，，即是以为首项，以为公比的等比数列.所以②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以.即购买甲系列的人数的期望为，所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】皮皮鲁同学乘坐米多多老师为其设计制造的“时空穿梭机”，通过相应地设置，可以穿梭于过去、现在和未来．某天，皮皮鲁同学回来兴奋地告诉同学们：2035年，教育部将在长郡中学试行高考考试改革，即在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．【解析】（1）记“该生考上大学”为事件，其对立事件为，则．．（2）该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5．，，，．故的分布列为：2345．12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为．①；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1），；（2）①；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【解析】（1）由题意基本事件共有：种情况，其中集齐，，玩偶的个数可以分三类情况，，，玩偶中，每个均有出现两次，共种；，，玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共种；，，玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共种；故.根据题意，先考虑一次性购买个乙系列盲盒没有集齐，玩偶的概率，即，所以.（2）①由题意可知：，当时，，∴，所以是以为首项，为公比的等比数列，∴，②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，所以购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．13.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．（1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为750；（2）．【解析】（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，，∴，∴的分布列为：050010001500P∴．（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为．个元件中有个正常工作的概率为，因此系统工常工作的概率．在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：（a）原系统中至少个元件正常工作，概率为；（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为；（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为．所以,因此，，故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．14.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中xi，yi分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0．试判断r0与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差s2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．附：①回归方程中：②若，则③11.2【答案】（1）r0＜r，理由详见解析；（2），81分；（3）3413．【解析】（1）r0＜r．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回归直线l．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（2）由题中数据可得：，所以，又因为，所以，，所以，将代入，得，所以估计B同学的物理成绩约为81分.（3），所以ξ～N（74，125），又因为11.2所以，因为，所以，即该地区本次考试物理成绩位于区间（62.8，85.2）的数学期望为3413．15.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.（1）证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大；（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组可派出，若小组能完成特殊任务的概率t；，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.【答案】（1）证明见解析；（2）按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组.【解析】（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，.∵，∴，，，∴概率）的值最大.（2）由（1）可知，当时，有的值最大，且，∴.∴应当以的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值.证明如下：假定为的任意一个排列，即若三个小组按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则，且的分布列为123P∴数学期望.下面