新高考数学专题复习专题31运用构造法研究函数的性质专题练习(学生版+解析)

专题31运用构造法研究函数的性质一、题型选讲题型一、构造函数研究函数的单调性例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则A． B． C． D．变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（）A． B．C． D．题型二、构造函数研究函数的零点等问题例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A． B．C． D．变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）题型三、构造函数证明不等式例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx(a∈R)．设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.二、达标训练1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<02、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>03、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（）A． B． C． D．5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是()A． B．C． D．6、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．专题31运用构造法研究函数的性质一、题型选讲题型一、构造函数研究函数的单调性例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B．变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意设，则，又当时，，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，由可得，即，此时不存在，故选：．题型二、构造函数研究函数的零点等问题例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D．变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点，

∴函数与函数有一个交点，

作函数函数与函数的图象如下，

结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；

当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.

故选：ABC.变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.故选C．题型三、构造函数证明不等式例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx(a∈R)．设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.【解析】设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－eq\f(a,x1)＋1－eq\f(a,x2)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1)＋\f(a,x2))).又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx1＋\f(a,x1)＝0，lnx2＋\f(a,x2)＝0，))则p＝2＋ln(x1x2)．下面证明x1x2>a2.不妨设x1<x2，由①知0<x1<a<x2.要证x1x2>a2，即证x1>eq\f(a2,x2).因为x1，eq\f(a2,x2)∈(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x2)))>f(x1)．又f(x1)＝f(x2)＝0，即证feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x2)))>f(x2)．(14分)设函数F(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)))－f(x)＝eq\f(x,a)－eq\f(a,x)－2lnx＋2lna(x>a)．所以F′(x)＝eq\f(（x－a）2,ax2)>0，所以F(x)在(a，＋∞)为增函数．所以F(x2)>F(a)＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x2)))>f(x2)成立．从而x1x2>a2成立．所以p＝2＋ln(x1x2)>2lna＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2成立．(16分)例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.【解析】因为f′(x)＝lnx－k，所以f(x)在(0，ek]上单调递减，在[ek，＋∞)上单调递增．不妨设0＜x1＜ek＜x2.要证x1x2＜e2k，只要证x2＜eq\f(e2k,x1).因为f(x)在[ek，＋∞)上单调递增，所以只要证f(x1)＝f(x2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2k,x1)))，即要证(lnx1－k－1)x1＜(k－lnx1－1)eq\f(e2k,x1)令t＝2(k－lnx1)＞0，只要证(t－2)et＋t＋2＞0.设H(t)＝(t－2)et＋t＋2，则只要证H(t)＞0对t＞0恒成立．H′(t)＝(t－1)et＋1，H″(t)＝tet＞0对t＞0恒成立．所以H′(t)在(0，＋∞)上单调递增，H′(t)＞H′(0)＝0.所以H(t)在(0，＋∞)上单调递增，H(t)＞H(0)＝0.综上所述，x1x2＜e2k.二、达标训练1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A．2、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】因为，所以且，设，则零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选：A4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令函数，因为，，为奇函数，当时，，在上单调递减，在上单调递减．存在，得，，即，；，为函数的一个零点；当时，，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为，故选：．5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是()A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，，则，因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，因此，