2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第23章图形的相似23.5位似图形

第23章图形的相似23.5位似图形教学目标1.理解位似图形、位似中心的概念，理解位似变换是特殊的相似变换.2.会画位似图形，能根据相似比的大小把一个图形放大或缩小.3.理解位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比.教学重难点重点：理解位似图形、位似中心的概念.难点：位似多边形的判断，从位似中心的不同方向绘制位似多边形.教学过程复习巩固1.什么叫相似多边形呢？两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.2.什么叫相似比？相似多边形对应边的比叫做相似比.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）【思考】1.前面我们已经学习了图形的哪些变换？平移：平移的方向，平移的距离.轴对称：对称轴.旋转：（中心对称）旋转中心，旋转方向，旋转角度.2.下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？（1）（2）教师：这就是本节要学习的内容.教师引出课题：23.5位似图形探究新知探究点一位似图形【问题2】活动2（学生交流，教师点评）如图，下面两个多边形相似，将两个图形的对应顶点相连，观察发现连结的直线相交于点O.有什么关系？【答案】【总结】探究点二位似图形的性质活动3（学生交流，教师点评）从图（1）中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，则，AB∥A′B′.图（2）呢？你得到了什么？（1）（2）【总结】位似图形的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.（2）位似图形上对应点的连线或延长线交于一点.（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质.典例讲解（师生互动）例1如图所示，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，相似比k1

＝

2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，相似比k2＝1.则四边形A″B″C″D″∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″.∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD.又∵四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线经过同一点O，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形.∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，相似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，相似比k2＝1，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的相似比为.探究点三位似图形的画法【问题3】活动4（学生交流，教师点评）例2如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.【解】作法：画射线OA、OB、OC；在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F，使OD＝2OA，OE＝2OB，OF＝2OC；顺次连结D、E、F，这样就得到与△ABC位似，相似比为2的△DEF.想一想：你还有其他的画法吗？思考：如果点O在两个三角形之间呢？能不能画出这时的图形?作法：画射线OA、OB、OC;沿着射线OA、OB、OC反方向上分别取点D、E、F，OD＝2OA，OE＝2OB，OF＝2OC;顺次连结D、E、F，这样就得到与△ABC位似，相似比为2的△DEF.【归纳】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）分别连结位似中心和能代表原图的关键点并延长；（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；（4）按照原图的形状，顺次连结上述各点，得到放大或缩小后的图形.【即学即练】如图，已知四边形ABCD，把四边形ABCD缩小到原来的.（画出一种情形）【解】作法：（1）在四边形ABCD外任选一点O（如图）；（2）分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使得＝＝＝＝；′′′′′′′′【题后总结】利用位似，可以将一个图形放大或缩小.课堂练习1.下列关于位似图形的表述错误的是（）A.相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形B.位似图形一定有位似中心C.如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形D.位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于相似比2.如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点PB.点OC.点MD.点N3.如图所示，将平行四边形AEFG变换成平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是（）A.这种变换是相似变换B.对应边扩大到原来的2倍C.各对应角度数不变D.面积扩大到原来的2倍4.下列4个图中的两个相似三角形是位似三角形的是（）（1）（2）（3）（4）A.图（3）、图（4）B.图（2）、图（3）、图（4）C.图（2）、图（3）D.图（1）、图（2）5.如图所示，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A.（3，3）B.（4，3）C.（3，1）D.（4，1）6.如图，△ABC和△是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则的长为（）A.1B.2C.4D.87.如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过相似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，求五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比.8.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形.参考答案1.A【解析】相似图形不一定是位似图形.2.A【解析】利用位似图形的概念找出每组对应点所在直线的交点，显然交点为点P.3.D【解析】面积比等于相似比的平方，所以面积应扩大到原来的4倍.5.A【解析】分别过点A，C作两坐标轴的垂线，利用相似三角形的性质可求解.6.B【解析】∵C1为OC的中点，∴OC.∵△ABC和△是以点O为位似中心的位似三角形，∴A1B1∥AB，＝，∴△OA1B1∽△OAB，＝，∴，∴＝2，故选B.7.∵五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过相似变换得到的，∴五边形ABCDE∽五边形FGHMN.∵F为OA的中点，∴OF＝AO，∴OA∶OF＝2∶1，∴五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比为4∶1.8.画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点G、H、E、F，使OE＝2OA，OF＝2OB，OG＝2OC，OH＝2OD;顺次连结E、F、G、H，与便到与正方形ABCD位似，位似比为1∶2的正方形EFGH.课堂小结（学生总结，老师点评）布置作业教材第81页练