18.2平行四边形的判定（原卷版）

八年级下册数学《第十八章平行四边形》18.2平行四边形的判定知识点一知识点一平行四边形的判定◆1、平行四边形的判定方法类别判定方法图形几何语言边两组对边分别平行的四边形是平行四边形.∴AB∥CD，AD∥BC，∵四边形ABCD是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.角两组对角分别相等的四边形是平行四边形.∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形.对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵AO=CO，DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形.◆2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.◆3、平行四边形的联系与区别区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.知识点二三角形的中位线知识点二三角形的中位线◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.几何语言：在△ABC中，∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.几何语言：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE=12BC◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.◆5、三角形的中线与中位线相同点：都是与中点有关的线段.不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.题型题型一利用定义进行平行四边形的判定【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D解题技巧提炼当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法.【变式11】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°【变式12】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是．【变式13】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：四边形ABED是平行四边形．【变式14】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．题型二题型二利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定【例题2】（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．解题技巧提炼已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形.【变式21】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD【变式22】（2022•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接DE、CD、【变式23】（2022春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．【变式24】（2021•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．题型三题型三利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定定【例题3】（2022春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．求证：四边形DBEC是平行四边形．解题技巧提炼当出现的已知要证明的四边形有一组对边相等，可选择证另一组对边相等，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定.【变式31】下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（）A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3【变式32】如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式33】如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．题型四题型四利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定定【例题4】一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题技巧提炼当已知条件出现在要证明的四边形的角上时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.【变式41】下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3【变式42】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式43】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形．题型五题型五利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定定【例题5】（2022•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；（2）求四边形ABCD的面积．解题技巧提炼当要证明的四边形的对角线交于一点，且易得出其对角线互相平分时，应选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.【变式51】（2022春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：．（只需填一个你认为正确的条件即可）【变式52】（2021春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式53】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．【变式54】（2021春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．（1）求证：OD＝OC．（2）求证：四边形AFBE平行四边形．题型六题型六应用中位线定理求线段的长度定【例题6】如图，在▱ABCD中，AD＝10，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（）A．3 B．4 C．5 D．6解题技巧提炼运用中位线定理求线段长的方法：当题目有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，常考虑用三角形的中位线来解决，先证出它是三角形的中位线，在利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段长.【变式61】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是．【变式62】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．12 B．1 C．72 D【变式63】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式64】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．14 C．24 D．21【变式65】（2022春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．题型七题型七应用中位线定理推理证明定【例题7】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.解题技巧提炼当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.【变式71】（2022•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AF=12【变式72】（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．【变式73】（2022春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．（1）求证：AE垂直平分CD；（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．【变式74】如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．求证：DE=12（AB﹣【变式75】在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．题型八题型八平行四边形性质与判定的综合运用【例题8】（2022春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF解题技巧提炼平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．【变式81】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（）A．26 B．32 C．34 D．36【变式82】（2022•丰顺县校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有个．【变式83】（2022秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．求证：BE＝CF．【变式84】（2022秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．【变式85】（2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．题型九题型九平行四边形的判定与动点运动问题定【例题9】（2022春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．解题技巧提炼运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题.【变式91】（2021春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．【变式92】（2022春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm