2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）含答案

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符号题意的。1．已知，则A．0 B．1 C． D．22．已知命题，，命题，，则A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题3．已知向量，满足：，，且，则A． B． C． D．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：并部分整理下表：亩产量，，，，，，生产数61218302410据表中数据，结论中正确的是A．100块稻田亩产量中位数小于 B．100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间5．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为A． B． C． D．6．设函数，为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则A． B． C．1 D．27．已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为A． B．1 C．2 D．38．设函数，若，则的最小值为A． B． C． D．1二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。9．对于函数和，下列正确的有A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴10．抛物线的准线为，为上的动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则A．与相切 B．当，，三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个11．设函数，则A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点，（1）为曲线的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．记为等差数列的前项和，若，，则．13．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则．14．在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是．四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求周长．16．（15分）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．17．（15分）如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿对折至，使得．（1）证明：；（2）求面与面所成的二面角的正弦值．18．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．（17分）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，．（1）若，求，；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符号题意的。1．已知，则A．0 B．1 C． D．2【解析】：，则．故选：．2．已知命题，，命题，，则A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题【解析】：命题：，，时，不成立，所以命题：是假命题；则是真命题．命题，，时成立，所以命题是真命题，是假命题；所以和都是真命题．故选：．3．已知向量，满足：，，且，则A． B． C． D．1【解析】：向量，满足，，且，可得，，可得，所以．故选：．4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：并部分整理下表：亩产量，，，，，，生产数61218302410据表中数据，结论中正确的是A．100块稻田亩产量中位数小于 B．100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间【解析】：对于，根据频率分布表知，，所以100块稻田亩产量中位数不小于，选项错误；对于，亩产量不低于的稻田频数为，所以亩产量低于的稻田所占比例为，选项错误；对于，亩产量的极差最大值为，最小值为，所以极差介于至之间，选项正确；对于，估计平均数为，选项错误．故选：．根据表中数据，未填入表中的稻田的亩产量数为30．对于选项A，如果未填入表中的数据均在1050以上，则所给数据的中位数在区间[1050,1150)中，选项A错误；对于选项B，如果未填入表中的数据均在1150以上，则所给数据低于1100的比例为在36%到60%之间，选项B错误；对于选项C，所给数据极差最大可能为1200−900=300，最小可能为1150−950=200，选项C正确；对于选项D，考虑到所给数据平均数大于1000，因此所给数据的平均值大于1000，选项D错误．5．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为A． B． C． D．【解析】：设，，则，由中点坐标公式得，因为点在曲线上，所以，故线段的中点的轨迹方程为．故选：．6．设函数，为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则A． B． C．1 D．2【解析】：因为函数，，所以由得，，设，则是偶函数，时，曲线与恰有一个交点等价于直线与函数在处相切，代入得．故选：．7．已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为A． B．1 C．2 D．3【解析】：设棱台的高为，三条侧棱延长后交于一点，则由得：到上底面的距离为，到下底面的距离为，所以与平面所成角即为与平面所成角，又，，所以，解得，因为上底面中心到顶点的距离为，所以与平面所成角的正切值为．故选：．8．设函数，若，则的最小值为A． B． C． D．1【解析】：的定义域为，令，得，令，得，因为，当时，，所以，则，当时，，所以，则，故，即，所以，当且仅当，时等号成立．故选：．解法二：在处变号，在处变号，因此若，则,从而，故选：．解法三：思路：先求定义域：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。9．对于函数和，下列正确的有A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴【解析】：对于，令，解得，，即为零点，令，解得，，即为零点，故，零点不同，，，故错误；对于，，，，，两函数有相同的最大值，故正确；对于，显然两函数最小正周期都为，故正确；对于，由，得，函数的对称轴是，，由，得，函数的对称轴是，，故错误．故选：．10．抛物线的准线为，为上的动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则A．与相切 B．当，，三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个【解析】：对于，抛物线的准线为，是的一条切线，选项正确；对于，的圆心为，当、、三点共线时，，所以，选项正确；对于，当时，或，对应的或，当时，，，与并不垂直，选项错误；对于，焦点，，则等价于在的中垂线上，该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项正确．故选：．11．设函数，则A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点，（1）为曲线的对称中心【解析】：由，得，对于，当时，在上单调递减，在和上单调递增；的极大值，的极小值（a），所以有三个零点，故正确；对于，当时，在上单调递减，在和上单调递增，是极小值点，故错误；对于，任何三次函数不存在对称轴，故错误；对于，当时，，关于点中心对称，故正确．故选：．对于.法二考虑到三次函数的图像特征如果存在对称中心，两个极值点一定关于，（1）对称，所以a+0=2，且（a）+1=2（1）解得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．记为等差数列的前项和，若，，则95．【解析】：解法一：等差数列中，，，解得，，，则．故答案为：95．解法二：13．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则．【解析】：因为为第一象限角，为第三象限角，所以，，因为，，所以，所以，，所以则．故答案为：．14．在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是．【解析】：解法一：在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是：．故答案为：24；112．解法二：注意到表格中每一列中的两位数十位数字是相同的，所以第一行选个位是1的数，第二行选个位是3的数，第三行选个位是3的数，第四行选个位是5的数，考虑这四个数分布各列，所以选定．四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求周长．【解析】：解法一：（1）因为，所以，即，由为三角形内角，得，即；解法二：【山西省运城市张晓晓补解】由，又，消去得到：，解得，又，故（2）因为，，由正弦定理可得：，可得，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，所以，，所以的周长为．综上，的周长为．16．（15分）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．【解析】：（1）函数，当时，，，（1），切点坐标为，切线的斜率为（1），曲线在点，（1）处的切线方程为：，整理得：．（2）函数，，当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值，，令，得，当时，，当时，，函数的增区间为，减区间为，，，令，，在上单调递减，（1），等价于，的取值范围是．17．（15分）如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿对折至，使得．（1）证明：；（2）求面与面所成的二面角的正弦值．【解析】：（1）证明：在中，，，，所以，所以，所以，所以，所以，由折叠的性质可知，又，，面，所以面，又面，所以．（2），，，所以，，，所以，所以，又因为，，，面，所以面，又面，所以，所以，，所在直线两两垂直，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，0，，，，，，0，，，，，则，，，，，，所以，，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，所以，设，则，，所以，2，，设平面的法向量，，，所以，设，则，，所以，，，设平面与平面所成的二面角为，，，所以．18．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【解析】：（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：．（2）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：，若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：，，，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15，，，，，，记乙参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理，，因为，所以，为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．19．（17分）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，．（1）若，求，；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．【解析】：（1）在上，，解得，