2023-2024学年北师大版（2019）高一数学必修第二册第6章5.2 平面与平面垂直（第一课时 二面角）教学设计

2023-2024学年北师大版（2019）高一数学必修第二册第6章5.2平面与平面垂直（第一课时二面角）教学设计学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自于2023-2024学年北师大版（2019）高一数学必修第二册第6章5.2节“平面与平面垂直（第一课时二面角）”。本节课主要介绍了二面角的概念及其性质，以及如何利用二面角判断平面与平面是否垂直。具体内容包括：

1.二面角的定义：通过两个相交平面的交线，将空间划分为四个区域，其中一个区域称为二面角的内部，其余三个区域称为二面角的外部。

2.二面角的性质：二面角的内部是一条直线，二面角的外部是由两条直线组成的角。在二面角的内部，任意一条直线都与二面角的两个平面垂直。

3.平面与平面垂直的判断：若两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面垂直。

4.二面角的计算：利用空间向量求解二面角的余弦值。

本节课的内容是学生空间几何知识体系的重要组成部分，为后续学习立体几何其他内容奠定基础。核心素养目标本节课的核心素养目标为空间想象、逻辑推理和数学运算。通过学习二面角的概念和性质，学生能够建立空间几何直观，培养空间想象能力；通过分析平面与平面垂直的判断方法，学生能够提升逻辑推理能力；通过计算二面角的余弦值，学生能够增强数学运算能力。同时，通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作交流意识和问题解决能力。教学难点与重点1.教学重点

-二面角的定义与性质：理解二面角是由两个相交平面的交线所划分的空间区域，掌握二面角的内部和外部的特征。

-平面与平面垂直的判断：学习如何利用二面角来判断两个平面是否垂直，掌握垂直平面的性质。

-二面角的计算：学会使用空间向量来求解二面角的余弦值，理解向量在空间几何中的应用。

2.教学难点

-二面角的概念理解：学生可能难以直观理解二面角是由两个相交平面的交线所划分的空间区域，难以想象二面角的内部和外部。

-平面与平面垂直的判断：学生可能难以理解如何利用二面角来判断两个平面是否垂直，以及如何应用垂直平面的性质。

-二面角的计算：学生可能对空间向量的应用不熟悉，难以掌握如何使用空间向量来求解二面角的余弦值。

针对以上难点，教师可以通过实物模型、动画演示、图形绘制等方式帮助学生直观理解二面角的概念；通过实际例题和练习题，引导学生应用二面角的性质判断平面与平面是否垂直；通过步骤分明的讲解和练习，引导学生掌握使用空间向量计算二面角的方法。教学方法与手段1.教学方法

-引导探究法：通过提出问题，引导学生主动探索二面角的定义和性质，激发学生的思考和探究兴趣。

-案例教学法：通过分析实际案例，让学生学会如何利用二面角判断平面与平面是否垂直，提高学生的应用能力。

-小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

2.教学手段

-多媒体演示：利用多媒体设备展示二面角的模型和实例，让学生更直观地理解二面角的概念和性质。

-几何画板软件：利用几何画板软件绘制二面角的图形，让学生直观地观察和操作二面角，增强学生的空间想象力。

-在线教学平台：利用在线教学平台进行课堂互动和练习，提高学生的学习兴趣和主动性，及时巩固所学知识。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括本节课的PPT、相关视频和文档，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“二面角”的概念和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用在线平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读预习资料，理解二面角的概念和性质。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：教师引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：教师通过故事、案例或视频等方式，引出二面角的概念，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：教师详细讲解二面角的概念和性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：教师设计小组讨论、实验等活动，让学生在实践中掌握二面角的性质。

-解答疑问：教师针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论、实验等活动，体验二面角的性质。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：教师通过详细讲解，帮助学生理解二面角的概念和性质。

-实践活动法：教师设计实践活动，让学生在实践中掌握二面角的性质。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解二面角的概念和性质，掌握相关技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：教师根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：教师提供与二面角相关的拓展资源，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：教师及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：教师引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：教师引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的二面角知识点和相关技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。学生学习效果1.知识与技能：

-学生能够准确地定义二面角，并理解其性质。

-学生能够掌握判断两个平面是否垂直的方法，并能够运用到实际问题中。

-学生能够运用空间向量计算二面角的余弦值，增强空间几何问题的解决能力。

2.过程与方法：

-学生通过自主探索和小组合作，培养了独立思考和合作交流的能力。

-学生通过实践操作和问题解决，提高了空间想象和逻辑推理的能力。

-学生学会了如何利用已知条件和数学原理来解决问题，培养了问题解决的能力。

3.情感态度与价值观：

-学生在解决数学问题的过程中，体验到了数学的逻辑性和美感，增强了学习数学的兴趣。

-学生通过克服学习中的困难，培养了坚持不懈和自信乐观的品质。

-学生学会了如何与他人合作，培养了团队精神和互助合作的意识。作业布置与反馈1.作业布置

-布置作业时，要根据本节课的教学内容和目标，设计具有针对性和实效性的作业。例如，可以布置一些有关二面角定义和性质的应用题，让学生通过解决问题来巩固所学知识。

-作业量要适中，避免过多或过少。过多会让学生感到压力，过少则不能达到巩固知识的目的。

-作业难度要适中，太难或太简单的作业都不能有效提高学生的能力。可以设计一些需要学生运用所学知识进行推理和计算的题目，以提高学生的逻辑推理和数学运算能力。

-作业要求学生独立完成，培养学生的自主学习能力。同时，可以鼓励学生相互讨论和交流，促进学生之间的合作和互助。

2.作业反馈

-及时批改学生的作业，并及时给予反馈。在批改作业时，要注意学生的解题思路和方法，找出存在的问题并及时指出。

-在反馈时，要具体、明确地告诉学生他们的错误所在，并给出改进的建议。例如，如果学生在解题过程中使用了错误的公式，要明确告诉他们正确的公式是什么，并解释为什么这个公式是正确的。

-鼓励学生提问和答疑。如果学生在作业中遇到问题，可以鼓励他们课堂上提出疑问，或者通过微信、QQ等在线方式进行咨询。

-定期总结学生在作业中普遍存在的问题，并在课堂上进行讲解和复习，以提高学生的学习效果。板书设计一、二面角的定义与性质

1.二面角的定义：由两个相交平面的交线所划分的空间区域

2.二面角的内部和外部：内部是一条直线，外部是由两条直线组成的角

3.二面角的性质：二面角的内部任意一条直线都与二面角的两个平面垂直

二、平面与平面垂直的判断

1.利用二面角判断平面与平面是否垂直

2.垂直平面的性质：法向量互相垂直

三、二面角的计算

1.利用空间向量求解二面角的余弦值

2.向量在空间几何中的应用

四、作业布置

1.有关二面角定义和性质的应用题

2.需要学生运用所学知识进行推理和计算的题目

五、作业反馈

1.及时批改学生的作业，及时给予反馈

2.指出存在的问题，给出改进建议

3.定期总结学生在作业中普遍存在的问题，并在课堂上进行讲解和复习

六、板书设计艺术性和趣味性

1.使用图形、颜色和符号来增加板书的吸引力

2.通过简洁明了的语言和概括性的表达来突出重点

3.增加一些与教学内容相关的趣味元素，如漫画、故事等，激发学生的学习兴趣和主动性课后作业1.请根据二面角的定义和性质，判断以下两个平面是否垂直，并说明理由。

①平面ABC与平面DEF相交于直线AB，平面ABC的法向量为a，平面DEF的法向量为b，且a与b垂直。

②平面ABC与平面DEF相交于直线AB，直线AB与平面ABC的法向量a垂直，与平面DEF的法向量b垂直。

2.请计算以下二面角的余弦值。

①二面角α的内部为直线l，平面β的法向量为v1，平面γ的法向量为v2，且l与v1垂直，l与v2垂直。

②二面角α的内部为直线l，平面β的法向量为v1，平面γ的法向量为v2，且l与v1平行，l与v2平行。

3.请说明以下两个平面是否垂直，并给出证明。

①平面ABC与平面DEF相交于直线AB，直线AB与平面ABC的法向量a垂直，与平面DEF的法向量b垂直。

②平面ABC与平面DEF相交于直线AB，平面ABC的法向量为a，平面DEF的法向量为b，且a与b垂直。

4.请根据二面角的性质，计算以下二面角的余弦值。

①二面角α的内部为直线l，平面β的法向量为v1，平面γ的法向量为v2，且l与v1垂直，l与v2垂直。

②二面角α的内部为直线l，平面β的法向量为v1，平面γ的法向量为v2，且l与v1平行，l与v2平行。

5.请判断以下两个平面是否垂直，并说明理由。

①平面ABC与平面DEF相交于直线AB，直线AB与平面ABC的法向量a垂直，与平面DEF的法向量b垂直。

②平面ABC与平面DEF相交于直线AB，平面ABC的法向量为a，平面DEF的法向量为b，且a与b垂直。

答案：

1.①垂直，因为平面ABC的法向量a与平面DEF的法向量b垂直，根据平面与平面垂直的性质，如果两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直。

②垂直，因为直线AB与平面ABC的法向量a垂直，与平面DEF的法向量b垂直，根据二面角的性质，二面角的内部任意一条直线都与二面角的两个平面垂直。

2.①二面角α的余弦值为0，因为直线l与平面β的法向量v1垂直，与平面γ的法向量v2垂直，根据二面角的性质，二面角的内部任意一条直线都与二面角的两个平面垂直。

②二面角α的余弦值为1，因为直线l与平面β的法向量v1平行，与平面γ的法向量v2平行，根据二面角的性质，二面角的内部任意一条直线都与二面角的两个平面平行。

3.①垂直，因为直线AB与平面ABC的法向量a垂直，与平面DEF的法向量b垂直，根据二面角的性质，二面角的内部任意一条直线都与二面角的两个平面垂直。

②垂直，因为平面ABC的法向量a与平面DEF的法向量b垂直，根据平面与平面垂直的性质，如果两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直。

4.①二面角α的余弦值为0，因为直线l与平面β的法向量v1垂直，