专题突破03规律探究题（3种类型）（针对第16171819题）（原卷版）

专题突破03规律探究题（3种类型）（针对第16，17，18，19题）【安徽十年真题考点及分值细目表】类型1：数式规律探究（2022年18题，2020年17题，2019年18题，2018年年18题，2015年13题，2014年16题）类型2：图形与等式关系的规律探究（2017年19题，2016年18题）类型3：图形规律探究（2021年18题，2013年18题）类型1：数式规律探究1．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．2．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．3．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．4．（2018•安徽）观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．5．（2017•安徽）【阅读理解】我们知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝，因此，12+22+32+…+n2＝．【解决问题】根据以上发现，计算：的结果为．6．（2014•安徽）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12＝5①52﹣4×22＝9②72﹣4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×2＝；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．7．（2023•瑶海区二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．8．（2023•太湖县一模）观察下列等式：第1个等式：2+22＝23﹣2；第2个等式：2+22+23＝24﹣2；第3个等式：2+22+23+24＝25﹣2；第4个等式：2+22+23+24+25＝26﹣2；…请根据以上规律，解决下列问题．（1）试写出第6个等式：；（2）请证明第4个等式．9．（2023•黄山一模）观察以下等式：第1个等式：42﹣22＝3×4；第2个等式：62﹣42＝5×4；第3个等式：82﹣62＝7×4；第4个等式：102﹣82＝9×4；••••••按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．10．（2023•庐阳区校级一模）观察以下等式：第1个等式：32﹣3＝2×1×3，第2个等式：52﹣5＝2×2×5，第3个等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上规律，解决下列问题：（1）按照此规律下去，第4个等式是：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．11．（2023•包河区一模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．12．（2023•安庆模拟）观察下列式子：①15×15＝（1×2）×100+25；②25×25＝（2×3）×100+25；③35×35＝（3×4）×100+25；…根据上述规律，回答下列问题：（1）请把第4个式子补充完整：45×45＝；（2）通过以上算式，我们发现若用（10a+5）来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明．13．（2023•蚌山区校级二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．类型2：图形与等式关系的规律探究14．（2016•安徽）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．15．（2023•长丰县二模）[观察思考]用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形中有个圆形棋子．（2）第n个图形中有个圆形棋子．（用含n的代数式表示）[问题解决]（3）现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由．16．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．​​按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉盆；（2）第n个图案需要花卉盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．17．（2023•芜湖模拟）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为；（用含n的式子表示）（3）当摆放到第个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．18．（2023•庐江县二模）观察下列图形和其对应的等式：根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个图形对应的等式是．（2）第n个图形对应的等式是（用含n的等式表示），并证明．19．（2023•庐阳区校级模拟）图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案．（1）第5个图中有多少个菱形；（2）第n个图中有多少个菱形（用含n的代数式表示）．类型3：图形规律探究20．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？21．（2013•安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合