考点16 特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（原卷版）

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。【知识清单】1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；（3）等边三角形（边长为a）的面积：。6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。4）直角三角形的面积公式：(其中：c为斜边上的高，m为斜边长)。【易错点归纳】1.等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论。2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解。【核心考点】核心考点1.等腰（等边）三角形的性质与判定例1：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．变式1.（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是度．

变式2.（2023·青海西宁·统考中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是．例2：（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则．

变式1.（2023·陕西西安·校考模拟预测）图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形．多分布在菲律宾、以及我国台湾垦丁等区域．现有一个“钟螺”小摆件，可近似看成圆锥形，图2为其主视图，其中，摆件的高度为．现要在上选取一个位置P安装挂钩，在该点与C之间布设导线，线路上安装微型小彩灯，若挂钩以及导线连接处等长度损耗忽略不计，则最短线路，即的最小值为（

）

A． B． C． D．变式2.（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．例3：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形C．是等腰三角形 D．是等腰三角形变式1.（2023·广东湛江·三模）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点．则的周长为(

)A．9 B．11 C．12 D．13变式2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5例4：（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．

变式1.（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．变式2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（

）A． B． C． D．例5：（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动s．

变式1．（2024·上海普陀·统考一模）已知点P为等边三角形的重心，D为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么．变式2.（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，为等边三角形，在边上分别任取一点，使得，连接相交于点，现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是（）

A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错例6：（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点在内部，逆时针旋转得到，请添加一个条件：．使得是等边三角形．变式1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．变式2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．例7：（2024·福建福州·校考一模）如图，是等边三角形内的一点，且．(1)尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转后得到（不要求写作法，但需保留作图痕迹）；(2)求的度数．

变式1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为.

变式2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．核心考点2.垂直平分线的性质与判定例8：（2023·广东清远·统考二模）如图，在中，．(1)请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．变式1．（2023·河北·模拟预测）在中，是钝角，则该三角形三边垂直平分线的交点可能在下图中的（

）

A．M点 B．N点 C．O点 D．P点变式2．（2023·广东佛山·统考二模）阅读以下尺规作图的步骤：（1）作射线，在射线上截取；（2）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；（3）作直线交于点；（4）在直线上截取；（5）连接，。则可以说明的依据是（

）

A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等C．等腰三角形的“三线合一”D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直例9：（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（

）

A． B． C． D．变式1．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则．

变式2．（2023·广东·统考二模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，若，则（）

A． B． C． D．例10：（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是．

变式1．（2023·天津·统考中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（

）

A．9 B．8 C．7 D．6变式2．（2023·青海·统考中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是.

核心考点3.勾股定理与逆定理及其应用例11：（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．变式1.（2023·江苏南通·统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则（用含的式子表示）．变式2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为．（杯壁厚度不计）

变式3.（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据：）．

例12：（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．变式1.（2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（）

A． B． C． D．变式2．（2023·浙江温州·校考二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABCD，CEFG，FHMN，GNPQ，DGST如图所示排列，其中点A、B、E、H、M共线，可得结论：正方形CEFG与的面积相等．若正方形CEFG与的面积之和为120，则正方形DGST与正方形GNPQ面积之和为（

）A．270 B．300 C．320 D．350例13：（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．变式1.（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（

）

A． B． C． D．变式2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是．

变式3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

例14：（2023·广东广州·统考中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．变式1.（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）已知的三边长分别为，，，过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，若与不全等，则这条剪痕的长可能为（

）A． B． C． D．核心考点4.直角三角形的性质及计算例15：（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则度．

变式1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的