2022年江苏新高二数学暑假教材讲练（苏教版2019选择性必修第一册）第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（含详解）

第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题

新【学习目标】

1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所

成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.

L【基础知识】

知识点1.求点线、点面、线面距离的方法

(1)若P是平面。外一点，。是平面a内的一条直线，过P作平面a的垂线P。，。为垂足，过。作

O4_La,连接心,则以附_L〃.则线段用的长即为P点到直线。的距离(如图所示).

巨____________/(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直

线与平面的距离.

3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来

求解.

②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.

③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.

知识点2,异面直线所成角的常用方法

求异面直线所成角的一般步骤：

[1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.

：2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

(3)结论——设(2)所求角大小为。.若(rve«90°,则。即为所求；若90。<6<180。，则180。-6即为所

求.

知识点3.直线与平面所成角的常用方法

求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；

⑵通过斜线上除斜足以外的某•点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线

和射影所成的锐角即为所求的角:

(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.

知识点4.作二面角的三种常用方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则NAOB

为二面角a-//的平面角.

图①图②图③(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面

与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，N408为二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为8,由点8向二面角

的棱作垂线，垂足为。，连接A。，则NA08为二面角的平面角或其补角.如图③，NAQ8为二面角

的平面角.

知识点5.求体积的常用方法

选择合适的底面，再利用体积公式求解.

人【考点剖析】

考点一：异面直线所成的角

注y1.在空间四边形ABCD中，E,尸，G,”分别是AB,BC,CD,的中点，若AC=8D=2,

且AC与5。所成的角为60。，则EG的长为()

A.1或&B.&或6C.1或GD.g或3

考点二：线面角

例2.如图，在三棱柱ABC-A&C中，底面48。是正三角形，A4'J_底面ABC,且4?=1,AAr=2,

则直线BC与平面AB^A所成角的正弦值为

考点三：二面角

A

力^例3.在四棱锥尸一A8CD中，底面ABCO是菱形，ZABC=60°,E4J_平面A8CO,PA=AB=2.

(2)求二面角P-CD-A的正弦值.

考点四：距离问题

江］例4.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1BC,AA,=AC,AB=2BC=2,E,尸分别是AG，AB

的中点.

(1)证明：AE〃平面4cL.

(2)求点C到平面用GF的距离.

考点五：体积问题

5.如图，在四棱锥尸-A8c。中，平面A8CD,四边形48co为正方形，点尸为线段PC上

的点，过A,D,尸三点的平面与尸8交于点E.

(1)证明：所〃平面ABC。；

(2)若E为尸8中点，且人8=Q4=2,求四棱锥。的体积.

【真题演练】

1.在正方体ABCO-AMG。中，P为4A的中点，则直线PB与所成的角为()

2.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SDJ_底面ABCD,则下列结论中不正确的是（）

B.AB〃平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角1.线面平行垂直的判定；2.线面角，异面直线所成角

3.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段48上的点（不含端点），设SE与8C

所成的角为4，SE与平面A3CO所成的角为打，二面角S-AB-C的平面角为名,则

A.0,<02<0,B.44名44C.0,<0,<02D.名钢的

4.在正方体486-ABCiA中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与C。所成角的正切值为

A.立B.3C.在D.立

2222

5.已知正方体ABC。-中，E、尸分别为4线、CG的中点，那么异面直线AE与。尸所成角的余

弦值为.

如下图，在四棱锥S-AB8中，底面ABCO是正方形，平面SADJ_平面A8CD,

SA=SD=2,AB=3.

（1）求SA与8C所成角的余弦值;

(2)求证：AB1SD.

7.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

BC=3.

(1)证明：BC〃平面PDA；

证明：BC1PD；

(3)求点C到平面PDA的距离.

8.如图，在圆锥PO中，已知尸。=应，圆0的直径A8=2,点C在A8上，且NC48=30。，。为AC的

中点.

(I)证明：ACPOD；

(II)求直线0C和平面PAC所成角的正弦值.

P

尸是边长为1的正六边形ABCDE尸所在平面外一点，PA=\,P

(I)证明P4JLM；

(II)求面AP3与面所成二面角的大小的余弦值.

10.在匹棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,平面L平面ABCD,

点M在线段PB上，？£)〃平面MAC,PA=PD.

(1)判断M点在P8的位置并说明理由;

⑵记直线。M与平面外。的交点为K,求R的值；

KM

(3)若异面直线CM与AP所成角的余弦值为斗,求二面角M-CD-A的平面角的正切值.

11.如图，在长方体中，A£>=1,AB=AAi=2,H,尸分别是棱GR，8片的中

(1)判断直线“/与平面A6cA的位置关系，并证明你的结论;

(2)求直线"/与平面A8CO所成角的正弦值;

(3)在线段HF上是否存在一点Q,使得点。到平面ABC"的距离是应，若存在，求出要的值；若不存在,

HF

说明理由.

1.在长方体ABC。—A8GA中，AB=AA.=2fAO=3,点E、尸分别是棱A3、从片的中点，E、尸、

Gc平面。，直线AAn平面。=尸，则直线即与直线CR所成角的余弦值为()

A.立B.述C.在D.叵

3399

2.在正方体488-A妫GA中，E,尸分别为棱A。，4线的中点，则异面直线E尸与CR夹角的余弦值为

()

A.3B.3C.—D.—

6363

3.如图所示,三棱锥P-A8C的底面48c是等腰直角三角形，ZACB=90t^PA=PB=AB=2,PC=2夜,

则PC与平面以B所成角的余弦值等于)

A

B

人•普x/3D,也

r\.z>----

33

4.在空间四边形ABC。中，E,F,G,H分别是A3,BC,CD,D4的中点，若AC=8O=2,且AC与

8。所成的角为60。，则EG的长为（)

n1t5/3

A.1或加B.四或白C.1或石D.7或匚

22

5.在棱长为1的正方体相8-A4GA中，。为正方形的中心，则下列结论错误的是（）

A.BO1AC

C.点8到平面AC"的距离为6

D.直线8。与直线A"的夹角为？

6.在正方体ABC。-ABGN中，瓦EG分别为的中点，则下列结论中正确的是（）

2

c.异面直线AG与律所成角的余弦值为典

10

D.点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

7.如图，A8是半球的直径，。为球心，A8=4,M,N依次是半圆AS上的两个三等分点，户是半球面上一

点，且PN上MB,

(1)证明：平面P8M_L平面PON

代/0\1.一沙

(2)若点P在底面圆内的射影恰在匕求二面角A-PB-N的余弦值.

8.己知平面四边形A8C£>,AB=AD=2,Za4D=60°,ZBCD=30°,现将△A8D沿边折起，使得平

面ABD_L平面88,此时AD_LCD,点P为线段AO的中点.

AA

\W%)求证：HPJ_平面AC。；

\7,

c

(2)若历为。。的中点，求MP与平面8PC所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，求二面角P-8M-。的平面角的余弦值.

9.已知四棱锥尸-A8CQ的底面是边长为2的菱形，底面A8CD

4B

(1)求证：AC_L平面尸BQ；

(2)当PZ)=1,80=我时，求直线//与所成角的余弦值；

10.已知四棱锥P-A88的底面是边长为2的菱形，尸。_L底面A8CQ

⑴求证：AC_L平面产或＞；

(2)已知PD=1,

(i)当80=近时，求直线即与A。所成角的余弦值；

(ii)当直线内与平面46CO所成的角为45。时，求四棱锥A6CO的体积.

11.在直三棱柱ABC—AgG中，ZABC=90°,AB=BC=1,

(1)求异面直线8c与4。所成角正切值的大小;

(2)求点片与平面ABC的距离.

第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题

威

学静【学习目标】

1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所

成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.

:尸,【基础知识】

知识点1.求点线、点面、线面距离的方法

(1)若尸是平面。外一点，。是平面a内的一条直线，过P作平面。的垂线尸。，。为垂足，过。作

OA_La,连接以，则以以_La.则线段朋的长即为尸点到直线。的距离(如图所示).

3------------------------/(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直

线与平面的距离.

[3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来

求解.

②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.

③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.

知识点2,异面直线所成角的常用方法

求异面直线所成角的一般步骤：

。)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考志中位线.

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

(3)结论——设(2)所求角大小为。.若(T<6<90°,则。即为所求；若90。<<9<180。，则180。-6即为所

求.

知识点3.直线与平面所成角的常用方法

求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤⑴确定斜线与平面的交点(斜足)；

⑵通过斜线.上除斜足以外的某•点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线

和射影所成的锐角即为所求的角：

(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.

知识点4.作二面角的三种常用方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则NA08

为二面角。-/力的平面角.

图①图②图③(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面

与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，NA08为二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为8,由点8向二面角

的棱作垂线，垂足为。，连接4。，则NA08为二面角的平面角或其补角.如图③，NAQ8为二面角

的平面角.

知识点5.求体积的常用方法

选择合适的底面，再利用体积公式求解.

.【考点剖析】

考点一：异面直线所成的角

d1.在空间四边形ABCD中，E,尸，G,”分别是AB,BC,CD,D4的中点，若AC=8D=2,

且AC与5。所成的角为60。，则EG的长为()

A.1或&B.及或6C.1或GD.g或亭

【答案】C

【解析】

【分析】

连接E兄FG,EG,根据异面直线所成角的意义，在AE-G中分情况计算作答.

【详解】

A

连接ERFG,EG,如图,

依题意，EF//AC.FG//BD,^.EF=-AC=l,FG=-BD=\,

22

因AC与BO所成的角为60°,则NEFG=60。或Z.EFG=120，

当/及匕=60。时，△瓦G是正三角形，皿=1,

当NEFG=120时，EG=2£Fcos4FEG=2cos30°=石，

所以EG的长为1或

故选：C

考点二；线面角

2.如图，在三棱柱A8C—A&C中，底面48c是正三角形，A4'_L底面48C,且AB=1,A4=2,

则直线BC与平面ABffA1所成角的正弦值为

【答案】姮##［厉

1010

【解析】

【分析】

取A:Ef的中点。，连接OCOB,则CC±平面A8'C',CO_LA9,由AA〃CC，得CO_LA4',从而Z.CBO

是直线BC与平面A8&A所成角，由此能求出直线BC与平面AB&A!所成角的正弦值.

【详解】

解：取40的中点O,连接OC'QA.

因为在三棱柱A5C-A&C中，底面A8C是等边三角形，且A4'_L底面ABC，

所以CCJ_平面A'8'C',CO_LA£,

因为AA'〃C'C，所以COJ_A4',

所以ACBO是直线BC与平面A8&A'所成角，

因为48=1,A4'=2,

所以5C=^/i7涯=^/5,c'o=「|=孝，

-r

所以〈in/「we-C'0_T_V>5>所以直线8c与平面ABBW所成角的正弦值为如，

sinzcDU=-------=-7=-=---------------------------m

BC,7510,u

故答案为：姮.

10

考点三：二面角

ZABC=60°,%_!_平面ABC。，PA=AB=2.

(2)求二面角P-8-4的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵乎

【解析】

【分析】

(1)作辅助线，证明ACLBO,PAVBD>即证明8£>J_平面B4C,根据线而垂直的性质及可证明结论；

(2)取CO中点为点F,连接匕证明CDL平面PAF,从而说明NAFP是二面角P-CO-A的平面角.解

直角三角形4PF,即可求得答案.

(1)

证明：连接AC交于3。点0,

因为底面A8CO是菱形，

所以ACJ_BO.

又因为P4_L平面48CD,3Ou平面A8CQ,

PA1BD，

又因为PACIAC=A，

所以8O_L平面朋C,PCu平面附C,

所以3£>_LPC.

(2)

取CO中点为点尸，连接AF,PF,

因为底面ABCD是菱形，AABC=ZADC=60°，

所以AACD是等边三角形，

所以A”_LCO.

因为A1J■平面A8C£>,CDu平面ABCD.

所以R4_LCO,

而

所以CO_L平面以尸，P尸u平面21/，

所以C0JLP尸，

所以NA尸P是二面角P-CD-A的平面角.

因为4D=R4=2,则A尸=J5,

因为R4_LAF,

所以"=也2+3=/，

所以sinNA尸「=3=班，

J77

所以二面角P-CD-A的正弦值为短.

7

考点四：距离问题

例4.如图，在直三棱柱ABC-481G中,A8_L8cAA=AC,48=28C=2,E,尸分别是AC，A8

的中点.

(1)证明：4E〃平面片。尸.

⑵求点C到平面用。尸的距离.

【答案】(1)详见解析.

⑵画

6

【解析】

【分析】

(1)取4G的中点G,连接EG,FG,易得四边形EG四是平行四边形，从而AE〃尸G,再利用线面平行

的判定定理证明；

(2)根据匕叫厅=%叫“，利用等体积法求解.

(1)

证明：如图所示：

取3G的中点G,连接EG,FG,

则EG//AF,且EG=A/，

所以四边形EGFA是平行四边形，

所以4E//产G,乂AEa平面与。尸，尸Gu平面用G尸，

所以4E〃平面耳

⑵

因为_LBC,又AB2BB、B,

所以BCJ,平面ABB14,因为B|G〃BC,

所以4C；_L平面AB4A，则MG，与F,

因为伍=AC,A8=2BC=2,

所以AC=岔，BF=QBB：+BF2=",

则S.孙F=g8GX妫/=母,S涡GC=；86XCG=乎,

因为％-与#=V-fcc»

所以g〃xS0»=：8/xS^Gc，

解得力=我，

6

即点。到平面4G?的距离为：我.

考点五：体积问题

例5.如图，在四棱锥尸—A8co中，%_!_平面48CD,四边形ABC。为正方形，点尸为线段PC上

的点，过A,D,尸三点的平面与P8交于点£

⑴证明：律〃平面ABC。；

(2)若E为尸8中点，且4B=B4=2,求四棱锥P-AEED的体积.

【答案】(1)证明见解析；

0)1.

【解析】

【分析】

(1)利用线面平行的判定证明AO〃平面P8C,再利用线面平行的性质、判定推理作答.

(2)利用线面垂直的性质、判定证明4XL平面进而证得P5JL平面AD尸E,再借助锥体体积公式计

算作答.

(I)

正方形ABC。中，ADHBC,而BCu平面必C,AOS平面PBC,4)〃平面PBC,

又仞u平面AZ)尸石，平面PBCri平面4)正=在，则有比V/AD,而ADu平面ABC。，石尸S平面A8CD,

所以即〃平面4BCD

(2)

因R4J_平面ABC£>,ADu平面ABC4则AD_L21,又AD_LAB,ABr>PA=A,A&EAu平面Q4B,

则4刀_1_平面以5,

P8,4Eu平面RR,于是得AE_LAO,PB上AD,因/3=R4=2,E为PB中点、,则P8_LAE,

PE=AE=®，

而AEnAO=A,AEMOu平面AO庄，因此，尸8_L平面AOT^E.

由(1)知EF/JBC,则有E产=32。=1：梯形4。尸E面积S=；(E户+A£>)AE

2

所以四棱锥P-AEFD的体积V=1S-PE=LX孑，X&=1.

【真题演练】

1.在正方体4BCO-A81GA中，尸为4。的中点，则直线PB与所成的角为()

71C兀「兀c兀

A.-B.-C.—D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

、『移直线人R至〃G，将直线与人R所成的角转化为尸6勺BG所成的角，解三角形即可.

【详解】

:;\/如图

,连接5C「PG，P8,因为ADI〃BC|,

所以NP8G或其补角为直线PB与AD,所成的角,因为J.平面ABCR，炉以8片_LPG,又PC,1B、D\,

阴cBR=片，

所以PGJ.平面段5,所以PG_LP8,

设正方体棱长为2,则BC；=2及,PG=g"8|=

sinZPBC,=—^=-,所以NP8G==.

万。26

故选：D

2.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD_L底面ABCD,则下列结论中不正确的是（）

A.AC_LSB

>C

B.AB〃平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB,CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相

交与0,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为ZASO,NCSO•.•SA=SC所以两

角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等

考点：1.线面平行垂吏的判定；2.线面角，异面直线所成角

3.已知四棱锥S-AB8的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点），设SE与8C

所成的角为4，SE与平面ABC。所成的角为。-二面角S-AB-C的平面角为“，则

A.0.<G2<B.O3<02<C.口式名《。2D.【答案】D

【解析】

【分析】

分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.

【详解】

设。为正方形48CD的中心，M为A8中点，过E作的平行线E尸，交。>于尸，过。作CW垂直E尸于N,

连接S。、SN、则S。垂直于底面ABC。，垂直于A3,

因此/SEN=4/SE0=仇,/SMO=%

SNSNSO介SO

从川tannq=7^;=7^7,tann打

ENOMEOOM

因为SN之SO,EO>OM,所以tanqztanaztana，即4之心之心，选D.

线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.

4.在正方体A3CD—ABCR中,E为棱CG的中点，则异面直线4E与。所成角的正切值为

A."B.且C.在D.立

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方体ABC。-A4GA中，8〃/3,将问题转化为求共面直线A3与AE所成角的正切值，在A4BE中

进行计算即可.

【详解】在正方体ABC。-A乌GA中，CD//AB,所以异面直线AE与8所成角为NEW,

设正方体边长为射，则由E为棱CG的中点，可得CE=a,所以=

则tanH人谬噜呼.故选C.

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所

在的三角形：③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余

弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

5.已知正方体ABCO-ABCR中，E、尸分别为84、CG的中点，那么异面直线AE与A尸所成角的余

C

AB

【解析】

【详解】

如图连接。尸，EF,则所以0尸与所成的角即为异面直线所成的角，设正方体的边长为2,

5十«一43

则。尸==在，在三角形DD]F+cosDjFD=--==-.

2x^/5xv55

6.如下图，在四棱锥S-4BC力中，底面A8CO是正方形，平面SAD_L平面SA=SD=2fAB=3.

(1)求SA与8c所成角的余弦值;

(2)求证：AB1SD.

3

【答案】(1)(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意可得44Z)即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；

(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.

【详解】

【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质

【解】(1)因为AD//BC,因此N5AO即为SA与BC所成的角，在△SAD中，SA=SD=2,

又在正方形月8c。中AD=AB=3,因此cos乙SAD='4十心-)。=2：空二2：=2,

2SAAD2x2x34

因此SA叮8c所成角的余弦值是1.

4

(2)因为平面SADJ_平面A8CO,平面SAOc平面ABCQ=AD,在正方形ABCZ)中，ABA.AD,

因此ABJ"平面”£>,又因为S£>u平面取九因此AB1.S。.

7.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

P

BC=3.DAC

A---------------------B

(1)证明：BC〃平面PDA；

(2)证明：BC1PD；

(3)求点C到平面PDA的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)迈.

2

【解析】

【详解】

试题分析：(1)由四边形ABCD是长方形可证BC//AD,进而可证BC〃平面PDA：(2)先证BC_LCD,

再证BC_L平面PDC,进而可证BC_LPD：(3)取CD的中点E,连接AE和PE,先证PE_L平面ABCD,

再设点C到平面PDA的距离为人利用V工核锥「PDA=丫二极椎P_ACD可得〃的值，进而可得点C到平面PDA的距

离.

试题解析：(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC//AD,因为BC©平面PDA,ADu平面PDA,所

以BC//平面PDA

(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC_LCD,因为平面PDC_L平面ABCD,平面PDCfl平面

ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BC_L平面PDC,因为PDu平面PDC,所以BC_LPD

C(3)取CD的中点E,连接AE和PE,因为PD=PC,所以PE_LCD,在

RtAPED中，PE=VPD2-DE2

=V42-32=V7»因为平面PDCJ_平面ABCD，平面PDCD平面ABCD=CD，PEu平面PDC，所以PE_L

平面ABCD,由(2)知：BC_L平面PDC,由(1)知：BC//AD,所以AD_L平面PDC,因为PDu平面PDC,

所以AD_LPD，设点C到平面PDA的距离为力，因为V三极锥C-PDA=V三极傕p_ACD，所以《皿.〃=/8件,

S,"-PE卜3x6x5

挛，所以点C到平面PDA的距离是迈

即〃=

-x3x422

2

考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.

8.如图，在圆锥P0中，已知PO=0,圆0的直径A8=2,点C在AB上，月.NC4B=30。，。为AC的

中点.

（I）证明：AC_L平面尸OO：

（II）求直线0C和平面尸AC所成角的正弦值.

P

【答案】（D证明见解析；（ID也

3

【分析】

（I）由等腰三角形的性质可得AC_LO。、再由线面垂直的判定即可证结论.

（II）由（I）结合面面垂直的判定可得平面PODJL平面PAC,过。作O〃_LPD于H,连结C”，易得CH是

OC在面附C上的射影，进而找到直线和平面PAC所成角的平面角，即可求其正弦值.

【详解】

（I）因为OA=OC,PA=PC,。为AC的中点，则AC_LOD且PZ）_LAC,

又。。02。=0,且ORPOu平面PO"

所以4CJ■平面POD.

（II）由（I）,ACL平面POD,又ACu平面尸AC,

所以平面POD1平面孙C,

在面POD中，过。作。于4,则O〃_L面PAC,连结C"，则C"是OC在面PAC上的射影,

所以4XH是直线0C和平面PAC所成角的平面角.

POOD

在小△POO中，0H

>JPO2+OD2

则在Rt△0"C中sinZOCH=—=—.

OC3

9.如图，P是边长为1的正六边形ABCDE尸所在平面外一点,PA=\,P在平面ABC内的射影为8尸的中

点O.

(I)证明RA_LM；

(II)求面AP3与面。P8所成二面角的大小的余弦值.

c3>/5457

(1)证明见解析;

1819

【解析】

【分析】

(I)由己知得A0为以在平面AB尸内的射影，再由40J_8尸可得证；

(11)过0在平面。08内作0〃，08于4连AH、£>〃，则有NA//D为所求二面角平面角，解三角形可求

得答案.

【详解】

解：：I)在正六边形ABCDE尸中，△"尸为等腰三角形，

・・・P在平面ABC内的射影为0,・・・P0_L平面A8F,JAO为以在平面AB尸内的射影；

:。为B/中点，・・・A0J_8R：.PAA.BF.(II)・.・P0J_平面ABF,平面户8凡1_平面ABC；

而0为8尸中点，ABCDEF是正六边形,0、£>共线，且直线AO_L5P,平面尸平面A5C=8",

则AO_L平面PBF；

又;正六边形ABCQE广的边长为1,

AAO=-,D0=-BO=—.

22f2

过O在平面POB内作OH_LPB于”，连,4”、DH,则DHLPB,

所以为所求二面角平面角.

在即中,OH耳tan/A”O二券二者二品.

7

-3I

fOO2721

mHO中，tan/.DHO=-----=z-=------.

仕।'OH叵2'

7叵

而tanNAHD=tan(ZAHO+ZDHO)=~~%==-=--

,7yJ2\3V219

1-----J=X--------

2V212

所以cosZ.AHD=-35457

所以面力总与面。心所成二面角的大小的余弦值为-也且.

1819

⑴判断M点在PB的位置并说明理由；

⑵记直线。“与平面布。的交点为K,求劣的值;

(3)若异面直线CM与AP所成角的余弦值为平，求二面角M-8-A的平面角的正切值.

【答案】(1)M为PB中点，理由见解析

小DK6

(2)——=2

KM

(靖喈

【解析】

【分析】

(1)连接交AC于0,连0M,由平面平行的性质可得答案：

(2)连接0P,则K=OPcZ)M,可得点K为重心，由三角形重心的性质，可得答案：

(3)取A。中点H,连接777,”8,取〃8中点6,连接欣7,6。,可得必7〃尸”，取其8中点乂可知加乂〃口4,

NCMN或其补角就是异面直线CM与AP所成角，由面面垂直的性质可得平面ABC。，MG_L平面

ABCD,令PH=t,AD=2,由余弦定理可得CG,在直角ZWCG中，求出CM,MN=gPA,由余弦定

理得cosNCM/V,从而得到3/4-28/+25=0,解方程求出乙过G作G。J_C0交8于Q,连接MQ,可

得C£>_L平面MGQ,CD1MQ,在直角AMQG中可得lan/MQG.

(1)

连接6。交AC于O,连接。M,

因为尸。〃平面MAC,OMu平面。8。,

平面MACc平面P8O=QM,则尸£)〃OM,

又因为。为8。中点，所以M为P3中点.

⑵

如图所示，连接OP,则平面尸4CCI平面目圮=P。，K=OPcDM,

M

因为。为8。的中点，M为P8的中点，所以点K

为重心，

由三角形重心的性质，可得-7=2.

KM

(3)

取4。中点H,连接P”，HB,取H8中点G,连接MG,GC,可得MG〃PH.

取A8中点N,连接MN,NC,可知MV//R4,

所以NCMN或其补角就是异面直线CM与人P所成角，如图所示，

因为平面小。，平面ABC。，平面抬力0平面

ABCD=AD，又PA=PD,所以P”_L4），

所以尸"_L平面A8CQ,因此MGJ_平面A8CD,令PH=t,AD=2,

由尸”〃MG,.且M为尸B的中点，可得MG=!PH=1I,

22

在A5CG中，可得BC=2,BG=—,cosZCBG=—,由余弦定理，可得CG=巫,

在直角△A/CG中，CM=y/CG2+MG2=

又由M,N分别是尸8,A8的中点，可得MN=LH4=

2

2cM•MN

解得劣4—28/+25=0,解得*=1或?，即"1或逋，

33

过G作GQ_LCD交CO于Q,连接MQ,由MG_LCD，目.GQ「]MQ,

可得CQJ■平面MGQ,所以8_LMQ,

所以/M0G就是所求二面角的平面角，如图所示，

在直角AMQG中，可得tanNMQG=^=(=：或

3J

5后

—

11.如图，在长方体ABC。—A4GA中，AO=1,AB=AA]=2,H,尸分别是棱GA，的中点.

(1)判断直线"F与平面ABC。的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线〃尸与平

(3)在线段”户上是否存在一点Q,使得点。到平面A8CQ的距离是垃，若存在，求出哭的值；若不存在,

HF

说明理由.

【答案】(1)“/〃面ABC",证明见解析:

⑵亍

(3)不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)。为C"，OG的交点，连接”0,80,易得正HO为平行四边形，根据平•行四边形性质、线面平行判

定即可证”/〃面A8cA.

(2)由(1)只需求6。与面ABC。所成用的正弦值，根据已知条件求值即可.

(3)力(1)知"尸I-任意一点到面A8cA的距离都相等,只需求户到面A8CR的距离.利用长方体的结构

特征求距离即可.

(I)

若。为CZVDG的交点，连接“0,80,又“，产分别是棱CQ,的中点,

由长方体的结构特征知：HO//BF\\.HO=BF,故为平行四边形,

所以HF//BO,HF(z面ABCR,BOu面ABCR,则97/面

(2)

由(1)知：”「与面A8CO所成角，即为30与面A8C。所成角，

长方体中，。到面48C。的距离为竽=1,8O=JF+F+F=百,

所以80与面A8C。所成角正弦值为立，即“尸与面ABC。所成角的正弦值为由.

33

(3)由(1)知：HF"面NCR,即“?上任意一点到面ABC"的距离都相等，

所以只需求F到面ABCR的距离d,而用到面ABCR