调和点列与极点极线（解析几何）（学生版）

线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等,是圆锥曲线的常考问题,这些问题大多和极点极线与调或点列A,C,B,D的交比.【证明】令线束O(a,b,c,d(分别交l于A,B,C,D,则=/=/=,,又因为各对应向量方向相同,故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的.保A/,B/,C/,D/,可视为对l作射影变换,所得交比不变,由此说明交比是射影不变量,具有射影不变性.定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列.一般地,(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列.线段端点和内外分点,依次构成调和点列.②也可以以D,C为基点,则四点D,B,C,A仍构成调和点列,故称A,B与C,D调和共轭.③如图,若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点,则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束,则截得的四点A/,C/,B/,D/|CA||DA||CB||DB||AB|-|CA||DA|-||CA||DA||CB||DB||AB|-|CA||DA|-|AB||CA||DA||CA||DA||AC||AD||A若A,C,B,D构成调和点列,则D,B,C,A也构成调和点列.①==λ=-=l3,l4成调和线束.3均为正数,其它情况同理可证.l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点,则2k2=k1+k3⇔=+⇔=⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线,过F任作一直线交椭圆于A,B两点,交l于点M,则A,B,F,M成调和点列.AF=AA1=分别为∠APB的内外角平分线,则CP⊥DP,即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割.即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.即=,所以EHFI为调和点列.其余的可由线束的交比不变性得到.如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点,过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点,称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线.直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点,则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线.若P在圆锥曲线Γ上,则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E(F,M,N(对应的极线,就是切线PE;.对于定点P(x0,y0(与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B,那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地,称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地,对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P(x0,y0(,则对应的极线为2→xx0,y2→yy0,xy→.(1)椭圆+=1(a>b>0)的三类极点极线(1)若极点P(x0,y0(在椭圆外,过点P作橢圆的两条㘦线,切点为A,B,则极线为切点弦所在直线AB:x0x+y(2)若极点P(x0,y0(在椭圆上,过点P作椭圆的切线l,则极线为切线+=1;(3)若极点P(x0,y0(在橢圆内,过点P作椭圆的弦AB,分别过A,B作椭圆切线,则切线交点轨迹为极线+=1(2)对于双曲线-=1,极点P(x0,y0(对应的极线为-=1;(3)对于拋物线y2=2px,极点P(x0,y0(对应的极线为y=p(x0+x(.(1)引理:已知椭圆方程为+=1(a>b>0),直线l的方程为+=1,点P(x0,y0(不与原点重合.过点P作直线交椭圆于A,B两点,M点在直线AB上，则“点M在直线l上"的充要条件是"P,M调和分割A,B",即=.【证明】先证必要性.设M点的坐标为(x1,y1(,则有+=1.设直线AB的参数方程为与椭圆方程联立,得+-1(t2+2+-1(t++-1(=0，即+-1t2++-1(=0,该方程有两个不等实根,设为t1,t2,即P,M调和分割A,B,也即=.设P是圆锥曲线Γ的一个极点,它对应的极线为l,过P任意引一条直线,交Γ于点A,B,交l于点Q,若点A是位于P,Q间的点,结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q,则Q点的极线也通过P,称P、Q关于Γ调和共轭.=1.因为lP过点Q,Q坐标满足方程+=1,即+=1;则P点坐标满足方程+=1,这也说明,也就是lQ过点P.在极线上.对于椭圆+=1,极点P(x0,y0((不是原点)对应的极线为+=1,有如下性质：上时对应的极线y=平行于x轴;特别地,当极点P为椭圆的焦点时,极线为相应的准线.k方向共轭.当极点P(x0,y0(在椭圆内时，极线l平行于以P为易证).设直线OP与椭圆相交于点D,过点D作椭圆的切线l1,则以P为中点的弦所在直线R设圆锥曲线Γ的一个焦点为F,与F相应的准线为l,若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于MAP+kAQ=0.2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定在的直线方程.【例4】如图,过直线l:5x-7y-70为M,N,连结MN.为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.AD、BC相交于点N,连结MN.F2=,0).(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(2)设P(1,0),Q(4,0),过点∠BPQ引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q,定点O在直线别交曲线Γ于点C,D,直线AB，CD分别交PQ于点M,N.则M,O,N,R成调和点列.【证明】延长XO交BC于点E,由定理5可知：B,E,C,Y成调和点列(完全四边形中的调和点列),故M,O,N,R也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).交椭圆于点A,B.求证：直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列.0,PQ平分∠AQB.F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点,则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【例15】如下图,椭圆+=1(a>b>0)的左右顶点为A1,B1,Q为直线x分别于椭圆交于点A