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文档简介
2022级高三上学期第一次考试(开学考)数学试题第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则(
)A. B.2,3 C. D.2.下列函数中,既是周期函数又是偶函数的是(
)A. B.C. D.3.已知,且,则的值为(
)A. B. C. D.4.已知,,,则(
)A. B. C. D.5.如图,一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈,筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位:)(在水面下则为负数),若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间,则与时间(单位:)之间的关系可以表示为(
)
A. B.C. D.6.函数的图象大致为(
)A. B. C. D.7.若是三角形的一个内角,且函数在区间上单调,则的取值范围为(
)A. B. C. D.8.已知函数,若函数有三个零点a,b,c,且,则的最小值为(
)A. B. C. D.第II卷二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.以下说法正确的是(
)A.“,”的否定是“,”B.“”是“”的充分不必要条件C.若一扇形弧长为,圆心角为,则该扇形的面积为D.“,”是真命题,则10.若实数、满足,则下列不等式恒成立的是(
)A. B.C. D.11.已知函数的部分图象如图所示,则(
)
A.B.在上单调递增C.若、,且,则D.把的图象向右平移个单位长度,然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知幂函数的图象通过点,则.13.若,且,则的最小值为.14.在中,,的角平分线交BC于D,则.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数的值域为,的定义域为.(1)求;(2)若,求实数的取值范围.16.在平面直角坐标系中,角的顶点与坐标原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边过点.(1)求的值;(2)已知为锐角,,求.[2023•新课标I卷]17.已知在中,A+B=3C,2sinA−C(1)求;(2)设,求边上的高.18.已知函数.(1)判断函数在上的单调性,并根据定义证明你的判断;(2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论,证明:的图象关于点成中心对称图形.19.已知函数,、是的图象与直线的两个相邻交点,且.(1)求的值及函数在上的最小值;(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.1.C【分析】利用补集和交集的概念求出答案.【详解】,故.故选:C2.B【分析】由三角函数周期性,奇偶性逐一判断每一选项即可求解.【详解】对于A,是奇函数不满足题意,故A错误;对于B,若,首先定义域为关于原点对称,且,所以是偶函数,又,所以是周期函数,故B正确;对于C,画出函数的图象如图所示:由此可知函数不是周期函数,故C错误;对于D,若,则,所以不是偶函数,故D错误.故选:B.3.A【分析】由的正切值,求出正弦及余弦值,即可得出结果.【详解】因为,且,所以,则,.则.故选:A.4.D【分析】直接判断的范围,再比较大小.【详解】利用对数函数的性质可得,,利用诱导公式可得所以.故选:D5.A【分析】设,由,可求得、的值,由题意得出函数的最小正周期,可求得的值,然后由结合的取值范围可得出的值,由此可得出与时间(单位:)之间的关系式.【详解】设,由题意可知,,,解得,,函数的最小正周期为,则,当时,,可得,又因为,则,故,故选:A.6.C【分析】由解析式判断出函数的奇偶性,再带入特殊点逐一排除即可.【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称.因为,所以函数为奇函数,故排除选项B;因为,故排除选项A;因为,故排除选项D.故选:C.7.B【分析】根据三角函数的单调性列不等式,由此求得的取值范围.【详解】当时,,由于是三角形的一个内角,所以,则,由于函数在区间上单调,所以,解得,即的取值范围为.故选:B8.B【分析】画出函数和的图象,得到,,且,化简得到,利用基本不等式求出最小值.【详解】画出的图象和的图象,如下:由题意得,,且,即,,故,当且仅当,即时,等号成立,故选:B【点睛】函数零点问题:将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题,将代数问题几何化,借助图象分析,大大简化了思维难度,首先要熟悉常见的函数图象,包括指数函数,对数函数,幂函数,三角函数等,还要熟练掌握函数图象的变换,包括平移,伸缩,对称和翻折等,涉及零点之和问题,通常考虑图象的对称性进行解决.9.ACD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A,根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项;由扇形的弧长与面积公式可求C,对二次项系数进行讨论,分为和两种情形,结合判别式可得结果判断D.【详解】对于A,“,”的否定是“,”,故A正确;对于B,即,解得,因为所以“”是“”的必要不充分条件,故B错误;对于C,扇形弧长为,圆心角为,所以扇形的半径长为,则该扇形面积为,故C正确;对于D,因为“,”是真命题,即,对恒成立.当时,命题成立;当时,,解得,综上可得,,故D正确;故选:ACD.10.BC【分析】利用指数函数的单调性可得出,利用特殊值法可判断A选项;利用作差法可判断B选项;利用对数函数的单调性可判断C选项;利用中间值可判断D选项.【详解】因为函数为上的增函数,由,可得,对于A选项,当时,,A错;对于B选项,因为,则,所以,,B对;对于C选项,因为,则,可得,所以,,因为对数函数为上的减函数,故,C对;对于D选项,,D错.故选:BC.11.ACD【分析】利用图象求出函数的解析式,可判断A选项;利用余弦型函数的单调性可判断B选项;利用余弦型函数的对称性可求出的值,代值计算出的值,可判断C选项;利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】对于A选项,由图可知,,函数的最小正周期满足,可得,则,则,又因为,可得,因为,则,所以,,可得,所以,,A对;对于B选项,当时,,所以,在上不单调,B错;对于C选项,当时,,由可得,所以,函数在区间内的图象关于直线对称,若、,且,则,所以,,C对;对于D选项,把的图象向右平移个单位长度,可得到函数的图象,再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则,D对.故选:ACD.12.##0.5【分析】由幂函数的定义,结合函数过求得函数解析式,进而可得的值.【详解】设幂函数的解析式为∵幂函数过点∴∴∴该函数的解析式为,∴.故答案为:13.8【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.【详解】因为若,且,则,又因为,所以,令,则,即,解得或(舍去),当且仅当时,等号成立,所以的最小值为8.故答案为:8.14.【分析】方法一:利用余弦定理求出,再根据等面积法求出;方法二:利用余弦定理求出,再根据正弦定理求出,即可根据三角形的特征求出.【详解】如图所示:记,方法一:由余弦定理可得,,因为,解得:,由可得,,解得:.故答案为:.方法二:由余弦定理可得,,因为,解得:,由正弦定理可得,,解得:,,因为,所以,,又,所以,即.故答案为:.【点睛】本题压轴相对比较简单,既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题,也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解,知识技能考查常规.15.(1)(2)【分析】(1)利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值,即可得出集合;(2)求出集合,利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组,解之即可.【详解】(1)解:因为在上单调递减,所以,当时有最大值,且最大值为,当时,有最小值,最小值为,所以.(2)解:由,得,解得,所以,,因为,所以,解得.故实数的取值范围.16.(1)(2)【分析】(1)利用三角函数的定义求出的值,利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值;(2)求出的值,利用两角差的正弦公式求出的值,结合角的范围可求得角的值.【详解】(1)解:因为角的终边过点,所以,则,,..(2)解:因为角的终边过点,所以为第四象限角,即,又因为为锐角,则,可得,因为,则,因为,所以.则.所以.17.(1)(2)6【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式,化简即可得解;(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出,根据等面积法求解即可.【详解】(1),,即,又,,,,即,所以,.(2)由(1)知,,由=sinA由正弦定理,,可得,,.18.(1)单调递减,证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用单调性得定义证明即可;(2)构造,只需证明为奇函数即可.【详解】(1)函数在上单调递减.证明如下:任取,且,.因为,且,所以,,所以,即,故函数在上单调递减.(2)证明:设,则.因为函数定义域为,且,所以为奇函数.故的图象关于点成中心对称图形.19.(1),最小值为(2)【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为,根据题中信息求出函数的最小正周期,可得出的值
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