山东省聊城市第二中学2025届高三上学期开学考试 数学试题含答案

2022级高三上学期第一次考试（开学考）数学试题第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B．2,3 C． D．2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（

）A． B．C． D．3．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（

）

A． B．C． D．6．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．7．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．第II卷二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．以下说法正确的是（

）A．“，”的否定是“，”B．“”是“”的充分不必要条件C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为D．“，”是真命题，则10．若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．在上单调递增C．若、，且，则D．把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知幂函数的图象通过点，则．13．若，且，则的最小值为．14．在中，，的角平分线交BC于D，则．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．函数的值域为，的定义域为．(1)求；(2)若，求实数的取值范围．16．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．(1)求的值；(2)已知为锐角，，求．[2023•新课标I卷]17．已知在中，A+B=3C,2sinA−C(1)求；(2)设，求边上的高．18．已知函数．(1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；(2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形．19．已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．(1)求的值及函数在上的最小值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．1．C【分析】利用补集和交集的概念求出答案.【详解】，故.故选：C2．B【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解.【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；对于B，若，首先定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，又，所以是周期函数，故B正确；对于C，画出函数的图象如图所示：由此可知函数不是周期函数，故C错误；对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.故选：B.3．A【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，则，.则.故选：A.4．D【分析】直接判断的范围，再比较大小.【详解】利用对数函数的性质可得,,利用诱导公式可得所以.故选：D5．A【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式.【详解】设，由题意可知，，，解得，，函数的最小正周期为，则，当时，，可得，又因为，则，故，故选：A.6．C【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可.【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称.因为，所以函数为奇函数，故排除选项B;因为，故排除选项A;因为，故排除选项D.故选：C.7．B【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】当时，，由于是三角形的一个内角，所以，则，由于函数在区间上单调，所以，解得，即的取值范围为.故选：B8．B【分析】画出函数和的图象，得到，，且，化简得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】画出的图象和的图象，如下：由题意得，，且，即，，故，当且仅当，即时，等号成立，故选：B【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.9．ACD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D.【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，即，解得，因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为，则该扇形面积为，故C正确；对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立.当时，命题成立；当时，，解得，综上可得，，故D正确；故选：ACD.10．BC【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项.【详解】因为函数为上的增函数，由，可得，对于A选项，当时，，A错；对于B选项，因为，则，所以，，B对；对于C选项，因为，则，可得，所以，，因为对数函数为上的减函数，故，C对；对于D选项，，D错.故选：BC.11．ACD【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可求出的值，代值计算出的值，可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】对于A选项，由图可知，，函数的最小正周期满足，可得，则，则，又因为，可得，因为，则，所以，，可得，所以，，A对；对于B选项，当时，，所以，在上不单调，B错；对于C选项，当时，，由可得，所以，函数在区间内的图象关于直线对称，若、，且，则，所以，，C对；对于D选项，把的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则，D对.故选：ACD.12．##0.5【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值.【详解】设幂函数的解析式为∵幂函数过点∴∴∴该函数的解析式为，∴.故答案为：13．8【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.【详解】因为若，且，则，又因为，所以，令，则，即，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8.故答案为：8.14．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．15．(1)(2)【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合；（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：因为在上单调递减，所以，当时有最大值，且最大值为，当时，有最小值，最小值为，所以．（2）解：由，得，解得，所以，，因为，所以，解得．故实数的取值范围．16．(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值；（2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值.【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以，则，，．．（2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即，又因为为锐角，则，可得，因为，则，因为，所以．则．所以．17．(1)(2)6【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【详解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.18．(1)单调递减，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用单调性得定义证明即可；（2）构造，只需证明为奇函数即可.【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下：任取，且，．因为，且，所以，，所以，即，故函数在上单调递减．（2）证明：设，则．因为函数定义域为，且，所以为奇函数．故的图象关于点成中心对称图形．19．(1)，最小值为(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值