江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学 数学试题含答案

2025届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知命题，则：（

）A． B． C． D．3．函数在区间上（

）A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增4．已知函数，则（

）A． B．C． D．5．已知，则（

）A． B．6 C．8 D．96．设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分不必要7．已知直线与曲线相切，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．58．若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（

）A．2 B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列曲线平移后可得到曲线的是（

）A． B． C． D．10．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（

）A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差11．设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（

）A．若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0B．若不具有奇偶性，则满足奇函数与偶函数不存在C．若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对D．若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个．13．已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则（用x表示），当的面积最大时，．14．已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．

(1)求证：；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求．16．某学习小组研究得到以下两个公式：①；②．(1)请你在①和②中任选一个进行证明；(2)在中，已知，求的面积．17．分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点．(1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；(2)求四边形的面积的最大值．18．已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：(1)概率；(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；(3)在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．19．（1）函数与的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c，对任意的，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数，证明：当x足够大时，总有．1．B【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.【详解】解不等式，得，所以.故选：B2．C【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以：.故选：C3．D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】，即，设，则单调递减，且故存在唯一一个使故在上，，此时单调递减；在上，，此时单调递增；故在区间上先减后增.故选：D4．C【分析】根据解析式代入验证即可.【详解】因为，而，所以f1+x故选：C5．D【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.【详解】由，可得，则，则.故选：D.6．A【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，可得恒成立，故充分性成立；取，满足恒成立，但的解集为，故必要性不成立；所以“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的充分不必要条件.故选：A.7．C【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可.【详解】设切点横坐标为，求导：得，由题意可得解得：，所以，所以时，的最大值为.故选:C8．D【分析】将问题转化为和的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中项求解.【详解】令可得，在同一直角坐系中作出和的图象如下：要使有3个零点，则，由图可知：有一个零点，有2个零点，且，即有一个零点，有2个零点，且故，，由于，故，化简可得，平方解得，由于，故，故选：D【点睛】方法点睛：判断函数y=fx零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.9．ABD【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C.【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确；对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确；对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误；对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确；故选：ABD10．BC【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，解得，所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，所以公寓采光效果不变，故B正确；对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，且，所以，即,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故C正确；对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，又因为，所以，因为，所以,当时，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D错误.故选：BC.11．ACD【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造即可判断D选项.【详解】对于A，，则，当为奇函数时，则，即；当为偶函数时，则，即，即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确；对于B，当，时，不具有奇偶性，满足的奇函数与偶函数存在，故B错误；对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则，，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确；对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则，，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确.故选：ACD12．（答案不唯一）【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.【详解】设，则.在上任取一点，则函数在该点处的切线方程为：即.只要不同，切线方程就不同.故答案为：（答案不唯一）13．.【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值.【详解】

如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则，因矩形的周长为24，则，对折后,易得,设，则,在中，由勾股定理，，整理得，即的面积为，因，则当且仅当时，，此时时，.故答案为：；.14．1【分析】根据题意，先求出，再赋值得到，将转化为，运用不等式传递性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.【详解】时，，则.．定义在R上的函数满足：．令，得到，即.由于，则.则要使得式子恒成立，则，解得或或者.由于.则.故答案为：1．15．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出.【详解】（1）因为平面，平面，所以，，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，设，，所以，则，则，故；

（2），则，则，则，又，平面，所以平面，故为平面的一个法向量，又平面的法向量为，则平面与平面的夹角的余弦值为，又平面与平面的夹角的余弦值为，所以，解得，故.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面积公式求解.【详解】（1）若选①，证明如下：.若选②，证明如下：.（2）由已知，可得，即，即，由正弦定理可得，又，所以，所以的面积.17．(1)(2)3【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.【详解】（1）由可知,椭圆上顶点为，即,直线的斜率为，则直线的方程为：，将其代入整理得，，解得，或，因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：；（2）如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和，利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为代入，整理得：，显然，设，则，于是，，点到直线的距离为，则四边形的面积为，令，则，且，代入得，，因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时.18．(1)，(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出；（2）求出的可能取值范围及对应的概率，求出；（3）分蓝方击中、和次三种情况讨论，结合条件概率即可求解.【详解】（1），；（2）的可能取值为，因为，，，所以分布列为：所以；（3）先考虑四轮后对抗结束的概率：若红方多击中两次，则分为：①若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，②若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，③若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，所以四轮后对抗结束且红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为；若蓝方多击中两次，则分为：①若红方击中次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为，②若红方击中次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为，③若红方击中次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为，所以四轮后对抗结束且蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为；所以在4轮对抗后训练结束的概率为，所以在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.19．（1）关于直线对称，证明见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由零点，可得，再构造函数，利用导数证明时不等式恒成立.（3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.【详解】（1）函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，令为函数图象上任意一点，即，则，因此点在函数的图象上，反之亦然，而点与关于直线对称，所以函数与的图象关于直线对称.（2）存在正数，对任意的，恒成立，令，显然，根据指数函数与幂函数的增长特征，在上恒有，当时，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，因此，；令，求导得，函数在上单调递增，，因此函数在上单调递增，，所以存在正数c，对任意的，总有