2022-2023学年江西省鹰潭市高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省鹰潭市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台C.底面是矩形的四棱柱是长方体D.三棱台有8个顶点〖答案〗B〖解析〗各个面都是三角形的几何体如下图所示：该几何体不是三棱锥，故选项A错误；由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故选项B正确；若四棱柱的底面是矩形，侧棱与底面矩形不一定垂直，故选项C错误；如图，三棱台有6个顶点，故选项D错误.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A. B. C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗因为，，且，所以，所以，所以，，所以.故选：D.3.已知角，且角θ的终边所在直线经过点，则x的值为（）A.±2 B.2 C.-2 D.-4〖答案〗B〖解析〗，所以.故选：B.4.北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华的街市．某同学为测量北极阁的高度MN，在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB，高约为30m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，北极阁顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得北极阁顶部M的仰角为15°，北极阁的高度约为（）A.45m B.52m C.60m D.65m〖答案〗C〖解析〗由题意得：在中，，在中，，，，由正弦定理得，，得，故MN=60．故选：C.5.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗复数的三角形式是，向量对应的复数是.故选：A.6.关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲：是第三象限角，乙：.丙：，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，若丁的判断正确，即，则，此时丙的判断错误，不符合题意；若乙的判断正确，即，此时满足，且，此时甲、丙都正确，符合题意.故选：D.7.一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，.故选：D.8.在锐角中，角的对边分别为，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可知，①，又因为，所以②，将②式代入①式可得，整理得，因为，所以，即，又因为，所以，即可得，又有恒成立恒成立，又因为是锐角三角形，所以，即，解得，所以，故，设，则易知在区间上单调递减，故，所以，故，即.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（）A.的共轭复数为B.当时，为纯虚数C.若，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A正确，B选项：当时，，若，则为为实数，故选项B错误；C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确；D选项：由于，则，，，故，选项D正确．故选：ACD.10.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗A选项，由题意可知，故，故，A正确；B选项，，B错误；C选项，，故不垂直，C错误；D选项，，D正确.故选：AD.11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.B.C.点是的一个对称中心D.函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称〖答案〗AC〖解析〗由图可知，，所以，即，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，故A正确，B错误；，所以点是的一个对称中心，故C正确；将函数的图象向左平移个单位得到，显然函数不是偶函数，故D错误.故选：AC.12.在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.直线与直线AC夹角60°B.平面截正方体所得截面的面积为18C.若，则动点F的轨迹长度为πD.若平面，则动点F的轨迹长度为〖答案〗ABD〖解析〗对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；对B，因为面面，平面面，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，在等腰梯形中，高，故截面的面积为，故B正确；对C，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，其长度为，故C错误；对D，取中点，连接如图，由B知截面为等腰梯形，由四边形为平行四边形得，又面面，所以面，由四边形为平行四边形得，面面，所以面，由平面，得平面平面，又平面，所以平面，故的轨迹为线段，其长度为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数，则__________.〖答案〗〖解析〗，，则.故〖答案〗为：.14.已知点，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．〖答案〗〖解析〗，向量在向量上的投影向量坐标为.故〖答案〗为：.15.若时，函数取得最小值，则____．〖答案〗〖解析〗（），时，函数取得最小值，则，则，则，解之得.故〖答案〗：.16.三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，则为的中点，平面，过点作平面，为垂足，则，，作，垂足为，则四边形为矩形，，得，，则，所以，故，所以，则，即，则，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，i是虚数单位.（1）若是实数，求b的值；（2）在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且___________，求实数m的值.注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.解：（1）因为，所以，因为是实数，所以，解得.（2），，选①：因为P在实轴上，所以，解得；选②：因为点P在虚轴上，所以，解得；选③：因为点P在一､三象限的角平分线上，所以，即，解得.18.设a为常数，函数.（1）设，求函数的单调区间及周期T；（2）若函数为偶函数，令，此函数的值域．解：（1）因为，所以，令，解得，即函数的单调增区间为；令，解得，函数的单调减区间为，函数的周期为.（2）函数为偶函数，则，即，即，由于，则，故，则，由于，故．19.在中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点.（1）设，，.求；（2）若F为线段AB的中点，求的值.解：（1），，由平面向量基本定理可得且，所以.（2）因为为线段的中点，所以，又，因为在中，，，，可得，∴，综上，，.20.如图，是等腰直角三角形，，四边形ABCM是直角梯形，，，且，平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为？解：（1）∵四边形ABCM是直角梯形，，，，∴，，则，∴，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）由（1）可知平面，，设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，即E到平面的距离，∵是等腰直角三角形，，，∴，∴，即，∴，∴E为线段BD上靠近点B的三等分点．21.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求b和的值．解：（1）因为，由正弦定理得，即．又，所以，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理及，，，得，故，所以，又，所以，，又，所以，所以．22.向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究的面积问题：（1）已知，，，求的面积；（2）已知不共线的两个向量，，探究的面积表达式；（3）已知，若抛物线上两点、满足，求面积的最小值．解：（1）由平面向量的数量积可得，则为锐角，故，因此，.（2）.（3）由已知可得，，，故当时，的面积取到最小值.江西省鹰潭市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台C.底面是矩形的四棱柱是长方体D.三棱台有8个顶点〖答案〗B〖解析〗各个面都是三角形的几何体如下图所示：该几何体不是三棱锥，故选项A错误；由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故选项B正确；若四棱柱的底面是矩形，侧棱与底面矩形不一定垂直，故选项C错误；如图，三棱台有6个顶点，故选项D错误.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A. B. C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗因为，，且，所以，所以，所以，，所以.故选：D.3.已知角，且角θ的终边所在直线经过点，则x的值为（）A.±2 B.2 C.-2 D.-4〖答案〗B〖解析〗，所以.故选：B.4.北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华的街市．某同学为测量北极阁的高度MN，在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB，高约为30m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，北极阁顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得北极阁顶部M的仰角为15°，北极阁的高度约为（）A.45m B.52m C.60m D.65m〖答案〗C〖解析〗由题意得：在中，，在中，，，，由正弦定理得，，得，故MN=60．故选：C.5.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗复数的三角形式是，向量对应的复数是.故选：A.6.关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲：是第三象限角，乙：.丙：，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，若丁的判断正确，即，则，此时丙的判断错误，不符合题意；若乙的判断正确，即，此时满足，且，此时甲、丙都正确，符合题意.故选：D.7.一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，.故选：D.8.在锐角中，角的对边分别为，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可知，①，又因为，所以②，将②式代入①式可得，整理得，因为，所以，即，又因为，所以，即可得，又有恒成立恒成立，又因为是锐角三角形，所以，即，解得，所以，故，设，则易知在区间上单调递减，故，所以，故，即.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（）A.的共轭复数为B.当时，为纯虚数C.若，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A正确，B选项：当时，，若，则为为实数，故选项B错误；C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确；D选项：由于，则，，，故，选项D正确．故选：ACD.10.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗A选项，由题意可知，故，故，A正确；B选项，，B错误；C选项，，故不垂直，C错误；D选项，，D正确.故选：AD.11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.B.C.点是的一个对称中心D.函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称〖答案〗AC〖解析〗由图可知，，所以，即，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，故A正确，B错误；，所以点是的一个对称中心，故C正确；将函数的图象向左平移个单位得到，显然函数不是偶函数，故D错误.故选：AC.12.在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.直线与直线AC夹角60°B.平面截正方体所得截面的面积为18C.若，则动点F的轨迹长度为πD.若平面，则动点F的轨迹长度为〖答案〗ABD〖解析〗对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；对B，因为面面，平面面，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，在等腰梯形中，高，故截面的面积为，故B正确；对C，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，其长度为，故C错误；对D，取中点，连接如图，由B知截面为等腰梯形，由四边形为平行四边形得，又面面，所以面，由四边形为平行四边形得，面面，所以面，由平面，得平面平面，又平面，所以平面，故的轨迹为线段，其长度为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数，则__________.〖答案〗〖解析〗，，则.故〖答案〗为：.14.已知点，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．〖答案〗〖解析〗，向量在向量上的投影向量坐标为.故〖答案〗为：.15.若时，函数取得最小值，则____．〖答案〗〖解析〗（），时，函数取得最小值，则，则，则，解之得.故〖答案〗：.16.三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，则为的中点，平面，过点作平面，为垂足，则，，作，垂足为，则四边形为矩形，，得，，则，所以，故，所以，则，即，则，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，i是虚数单位.（1）若是实数，求b的值；（2）在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且___________，求实数m的值.注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.解：（1）因为，所以，因为是实数，所以，解得.（2），，选①：因为P在实轴上，所以，解得；选②：因为点P在虚轴上，所以，解得；选③：因为点P在一､三象限的角平分线上，所以，