3.1.2椭圆的简单几何性质（第三课时直线与椭圆位置关系）课件高二上学期数学人教A版选择性

复习:椭圆的几何性质b-ba-a(-a,0)、(a,0)、(0,-b)、(0,b)轴中心01a2=b2+c2学习目标1．理解直线与椭圆的位置关系,掌握其判断方法．2．能解决直线与椭圆的相交的弦长问题．3.体会设而不求处理交点问题问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?问题2:怎么判断它们之间的位置关系?②几何法:①代数法:∆>0∆<0∆=0d>rd<rd=r

直线与椭圆的位置关系相离相切相交新知探究一怎么判断它们之间的位置关系？不能！所以只能用代数法：----这是求解直线与二次曲线有关问题的通法.因为他们不像圆一样有统一的半径。能用几何法判定吗？相交相切相离a'x2+b'x+c'=0（a'≠0）-----(消去y)Ax+By+C=0由方程组：<0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点>0相交方程组有两解两个交点代数法=b'2-4a'c'这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。

直线与椭圆的位置关系或a'y2+b'y+c'=0（a'≠0）-----(消去x)(2)数形结合法直线和椭圆的位置关系的判断

１.直线x=m与椭圆的位置关系ⅰ.相离ⅱ.相切iii相交a-aa-aa-ax=mx=mx=mm<-a或m>am=-a或m=a-a<m<a2.直线y=n与椭圆的位置关系ⅰ.相离ⅱ.相切iii相交n<-b或n>bn=-b或n=b-b<n<bb-by=ny=ny=nb-bb-b3.直线y=kx+b'与椭圆的位置关系ⅰ.相离ⅱ.相切iii相交若直线y=kx+b恒过椭圆内一点，则直线与椭圆恒相交方法1:在k∈R上恒成立.方法2:直线y=kx+1过定点(0,1)定点(0,1)在椭圆内或椭圆上题型一：直线与椭圆的位置关系D相交题型一：直线与椭圆的位置关系oxy题型一：直线与椭圆的位置关系oxy思考:最大的距离是多少?设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：知识点2：弦长公式可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,直线AB的方程为y=kx+b.可推广到任意二次曲线”设而不求“思想例1：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．题型二：弦长公式例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差题型三：中点弦问题知识点3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．焦点在x轴上焦点在y轴上例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题

1．主要题型：(1)求中点弦所在直线的方程；②求弦中点的轨迹．2．处理方法(1)“根与系数的关系法”：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个

方程，利用

的关系和

建立等式求解．一元二次根与系数中点坐标公式(2)“点差法”：若斜率为k的直线l与圆锥曲线C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将A，B的坐标代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．题型三：中点弦问题知识探究2:A椭圆的焦半径|PF1|=

,|PF2|=

.a+ex0a-ex0思考:焦点在y轴上的焦半径公式呢?OyxF1F2P(x0,y0)|PF1|=

,|PF2|=

.a+ey0a-ey0注意:焦半径的最大值为

,最小值为

.拓展1——焦半径一类公式椭圆上任意一点P到焦点F1F2的距离:焦点在x轴:焦点在y轴:左(焦点)加右(焦点)减拓展2——焦半径二类公式oAxMF1GH(点A在x轴的上方)F2左(焦点)减右(焦点)加焦半径二类公式的再理解oAxMBFGH知识探究3:1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦称为通径,通径长为

.(3)通径是过椭圆焦点的最短弦!(2)通径两端点坐标为

.(三)椭圆的几何性质13焦点弦公式：

椭圆上一点P与焦点F1，F2构成的△F1PF2，称之为焦点三角形。性质:2.焦点三角形问题(要会推导)(2)(最大张角定理)当P为短轴的端点时,△PF1F2的面积最大,∠F1PF2最大.

【典例分析】DA3.焦点三角形拓展1——离心率y12oFFPx【典例分析】1.椭圆的两个焦点是F1,F2，若A,B关于坐标原点对称，且AF2⊥BF2，且∠ABF2∈,则e的取值范围为

.4.焦点三角形拓展2——光学性质(反射)y12oFFPx(x0,y0)M性质②:作∠F1PF2的角平分线交x轴于点M,

则M(e2x0,0)性质①:∠F1PG=∠F2PH;HG

椭圆上任意一点的切线与两焦半径所成夹角相等.定理--椭圆的光学性质(经过椭圆上一点的法线平分这一点的两条焦半径所夹的角)【典例分析】拓展3——焦半径二类公式的变形应用oAxMBFGH【典例分析】B提醒1——椭圆的参数方程提醒2——中点弦问题oAx(x0,y0)MB点差法(圆锥曲线都适用)提醒3——半代入求切线方程焦点弦夹角公式推导oPxF1F2MQHEGNoPxMF1GHF2左(焦点)减右(焦点)加NQ当点P在x轴上方：当点Q在x轴下方：左(焦点)加右(焦点)减oPxF1F2MQEN常考题型常考题型关于a与c的一次齐次式同除a焦比弦公式【题型二：焦半径的长度公式应用】【题型三：焦半径的夹角公式应用】【题型四：焦比弦公式应用】a＋ex0a－ex0题型四：椭圆的焦半径、通经巩固练习:C43题型四：椭圆的焦半径、通经B与椭圆有关的综合题与椭圆有关的综合题3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：

|AB|=

=