2022年高考数学强基计划模拟试题4【解析版】

宓22耳密考数学强基什刻模加曲敢（四）

（时间120台今数150台）

一、选择题（每小题6分，共36分）：

1.（2021•江苏扬州•高三月考）已知AABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c若

bsin^-=asinB,且△43C内切圆面积为9/，则△ABC面积的最小值为（）

A.6B.36C.9gD.27后

【答案】D

【分析】

根据已知条件及正弦定理可得A=t,由内切圆的面积可得内切圆半径r=3,最后根据

Sjsc='（"+；+'）=*inA及余弦定理,并结合基本不等式求历的范围,进而求△ABC面

积的最小值.

【详解】

由题设，sinBsin-^-^=sinAsinB,而sin8x0且=工-2，

2222

cos—=sinA=2sin—cos-,0<—<—,则si"」，

2222222

r（a++c

/.A=p由题设△ABC内切圆半径r=3,XSMC=^^=LbcsinA,

2\/3（a+b+c）=be.ifua2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc>bc•即

:.bcN6®灰,可得历2108,当且仅当a=〃=c=66时等号成立.

SMC=gbesinA227G.

故选：D

2.（2021.湖南省岳阳县第一中学高三开学考试）如图，在某城市中，M、N两地之间有整

齐的方格形道路网，其中4、4、4、4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道

路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，

以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止.则下列说法正确的是（)

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过为到达N处的方法有64种

OI

C.甲、乙两人在A?处相遇的概率为石

400

D.甲、乙两人相遇的概率为3

【答案】C

【分析】

A.考虑从M到N向上走的步数和向卜.走的步数，利用组合数求解出结果；

B.先利用组合数分析从“到&的方法数，然后再利用组合数分析从4到W的方法数，根

据分步乘法计数原理可求解出结果；

C.先确定出甲经过4的方法数，再确定出乙经过人的方法数，由此确定出甲、乙两人在4

处相遇的方法数，结合A选项的结果求解出对应概率；

D.先确定出甲、乙只能在A、&、A3、4处相遇，然后根据c选项的计算方法分别计算

出对应方法数，结合A选项的结果求解出对应概率

【详解】

A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达

N处的方法有C：=20种，A选项错误；

B选项，甲经过&到达N处，可分为两步：

第一步，甲从M经过为需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为C；种：

第二步，甲从4到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为C；种.

甲经过到达N的方法数为C；=9种，B选项错误；

C选项，甲经过4的方法数为C；・C；=9种，乙经过劣的方法数也为C；・C；=9种，

...甲、乙两人在4处相遇的方法数为

8181

甲、乙两人在4处相遇的概率为氏T=旃，C选项正确；

D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A、4、&、A,处相遇，

若甲、乙两人在A处相遇，甲经过4处，则甲的前三步必须向上走，乙经过A处，则乙的前

三步必须向左走，两人在A处相遇的走法种数为1种；

若甲、乙两人在4处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；

若甲、乙两人在As处相遇，甲到4处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到

A3处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，

所以，两人在A处相遇的走法种数为C；C；C；C；=81种；

若甲、乙两人在4处相遇，甲经过4处，则甲的前三步必须向右走，乙经过A4处，则乙的

前三步必须向下走，两人在4处相遇的走法种数为1种；

故甲、乙两人相遇的概率匕缘警=R,D选项错误.

400100

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从M到N的路线转

变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从

六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数.

2

3.（2021•上海市大同中学三模）己知数列｛%｝满足4a2工0，若勺+2=〃,向+誓，贝『'数列｛凡｝

为无穷数列”是“数列｛%｝单调”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

由已知可得乎=〃+：T,设4="+2-1,若存在正整数机，当0=0时，有6向=0,此时

anaa

数列｛a/为有穷数列；若瓦恒不为0,山也=〃,，有4川二0,此时｛七)为无穷数列，由此

根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论.

【详解】

解：令q="，出=伙妨#0),

由4,2=4,M+富•，可得4*0,所以^^句+曲，即娱--=1,

4，1%«„+i4

所以数列［刍包］为等差数列，首项为女=2,公差为1,

I勺J4a

设〃=〃+［-1,则数列也,｝是单调递增的等差数列，

若存在正整数加，当耙=0时.，则有《"+1=0,此时数列他“｝为有穷数列；

若2恒不为0,由%1•=»,有数列｛q｝就可以按照此递推关系一直计算下去，所

以此时｛七｝为无穷数列.

(1)若仇="+2-1恒不为0,则｛%｝为无穷数列，由递推关系式有.iS+^-l),

aa

75

取”=-2,6=5时，a,“|=q,("-/),则q=-2,%=5,a3=—,...,此时数列｛""｝不

是单调数列；

(2)当数列｛6｝为有穷数列时，存在正整数〃?，当与=。时，有薪”=0,

此时数列｛““｝为4，a2,%,...,am,a,„+1,

由4“M=0,若数列｛4｝单调，则4，%，的，…•一，金全为正或全为负，

由与="＞弊＜*1),则4,b2,bit……,3全为正，而以=0,

ak

这与，="+々-1单调递增矛盾，所以当数列｛4｝为有穷数列时，数列不可能单调，

a

所以当数列伍“｝单调时、数列｛”,』•定有无穷多项.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列｛%｝单调时，数列伍“｝一定有无穷多项等价转

化为论证数列｛〃"｝为有穷数列时，数列不可能单调.

4.（2021.浙江•二模）如图，在正方体ABCD-EFG”中，尸在棱上，BP=x,平行于

的直线/在正方形EFGH内，点E到直线/的距离记为d,记二面角为A-/-P为。，已知初

B.当x增大时，。先减小后增大

C.当"增大时,。先增大后减小D.当"增大时，0先减小后增大

【答案】C

【分析】

山题设，以厂为原点，。，尸G,FE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出面AMN的法向量

士电匕.4+20

2______________

m与面PMN的法向量为］的夹角cos'"，",对于AB,令

_X+\p2.d_2.

>/d1+4-J-------------+2

12)

,分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对•于CD,令x=0

,利用导数判断函数

的单调性，进而判断余弦函数的单调性，进而得解.

【详解】

由题设，以厂为原点，房,R7,尸E为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则P（2,x,0）,4（2,0,2）,

设直线I与EH,EF交于M,N,则M(0,0,2-"/),N(ogd,2)

UUULUUUiLUUULr-UUU厂

则AM=(-2,0,-&d)，AN=(-2,&,0)，MN=(0Qd,&d)，产例=(—2,—x,2—3)

设平面AAW的法向量为五=（a也c）,

\m-AM=0-2a-yjldc=0

令a=d,则联=(",&,-0)

[in-AN=Q-2a+y/2db=0

设平面PMN的法向量为;?=（ej,g）,又

n-PM=0\-2e-jtf+(,2-y/2d)g=0令…'则工（士笠/I）

n-MN=0''''无df+0dg=Q

r+&-2以+20

/irr

利用空间向量夹角公式得cosm”,________2

庐IJ壬亭22+2

c-自力=夜=8

对于AB,令”=O,则(x+2)2+8

x+2I+2

显然函数kJ鬲*在x>°时为减函数,即5减小‘则。增大’故AB错误;

对于CD,当x=0时，则

工”+20

/irr

2

cos0=cos(m9n

(d-6)d+4(d-可屋+8d(d-&)+i6

J1-+4•J(d+4'(a一可屋+4[(d—可+/+16

4"-可+(/2_8d(d-吟

(d-&『/+4+16

求导y=2d[（八回+4]+2（42+4）（"_旬=2（屋_&+4）（24_旬

Q/_"/+4>0,令V=0,得”=¥

故当0<〃<也时.，/<0,函数单减，即COS。单减，。增大；当d>立时，/>0,函数

22

单增，即COS。单增，。减小；故当d增大时，。先增大后减小

【点睛】

方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质，利用

空间向量求立体几何常考查的夹角:

设直线/,，〃的方向向量分别为肩随平面C,尸的法向量分别为则

rr

rra-b

①两直线所成的角为。（0<。4彳）,8$。=巧画：

2型

rr

a-u

②直线/与平面。所成的角为。（。〈。（三"由夕二十河：

2a\\u

U-V

③二.面角。一/一万的大小为。（048与乃川cos9|=

5.（2021•安徽省怀宁中学高三月考（理））已知抛物线G：Y=2Q（P>0）的焦点到准线的距

离为9点在抛物线G上，点48在圆a：r+y2-4y+3=0上,直线Z）A,QB分

别与圆G仅有1个交点，且与抛物线G的另一个交点分别为尸，。，若直线尸。的倾斜角为

120°,则为=()

A.土正B.-石或立C.-正或6D.±6

333

【答案】C

【分析】

根据题意求得p=g,得到V=y,设过点。与圆&相切直线的斜率为左，得到切线方程

kx-y+xl-kxa=0,利用叱竺二1=1,结合韦达定理，求得匕+公=2.(百：2),联立

V1+F诟-1

方程组,与"'+/一"。一°,取得A=x+x°,得到不=&-Xo，q=e-Xo，

x"=y

结合既°=-6,列出方程，即可求解.

【详解】

由抛物线C,:x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为g，可得p=g,

所以抛物线的方程为f=y,

又由C2：f+y2-4y+3=0,可得圆心坐标为。2(0，2),半径E,

设过点。(%,%)与圆G相切的直线的斜率为左，

可得方程为=Z(x-x()),即y-x：=Z(x-Xo),即fcr-y+x；-5=0,

则圆心到直线的距离为国二极二Li,

整理得(X：-1*+(4%-2父)/+K-4扉+4=0,可得勺+&=2婆/),

联立方程组线=°,可得丁-履-X：+丘。=0,

[x-=y

2

EPk(x-x0)=x-x^,所以A=x+Xo,

所以号=占一%,%=%-%,

因为直线PQ的倾斜角为120。，所以即

XX

_rzB1_y（）~yp_Q~P__Z,,‘_2x（）（片-2）_-2x0_/r

口J倚kpo===x.Q+Xp=k、+k、-2XQ=--2XQ=-z~=—73,

“_XpXQ-XPX--1花一1

解得/=6或%=-弓.

故选：C.

6.(2021・四川资阳•高三月考(理))若不等式xe*-a(x+2)-alnx20恒成立，则。的取值

范围是()

2ri

A.0,-B.0,-cD.0,-u[l,e]

e-H?H.

【答案】A

【分析】

把不等式转化为疣'Na(x+2+lnx)对Q0恒成立，对a是否为0分类讨论：

当a=0时直接判断；

当afO时，利用分离参数法，记f(x)=———,利用导数判断单调性，求出最值，即

可求出。的取值范围.

【详解】

由不等式把'-a(x+2)-aInx20恒成立，可知立，Na(x+2+In力对x>0恒成立.

当a=0时，xe*20对x>0恒成立.

当axO时，h^x)-x+\nx+2,(x>0),^(x)=1+—>0,

可知〃(x)在(0,+8)上单增.

当x-»0+,6(x)<0；当x->oo,/i(x)>0；

所以*e(0,+oo),使得/?(毛)=0,即Xo+lnxo+2=0.

当xe(x(),4<o)时，有7?(x)>0,所以———----

x+2+lnx

xe

令〃x)=-------------

x+2+\nx'7(x+2+lnx)

因为%+111%+2=0,则令％+ln$+1=0,可得为＞与,

所以“X）在（瓦0）上单减，在（不止）上单增，所以/（X）在X=X1处取得最小值.

因为占+111西+1=0,所以X1+In&=-1,所以=L即再d=1

ee

所以〃再）=丁：=!

X+2+In%e

所以

e

当xe（O,x°）时，有〃（x）＜0,所以———.

x+2+In]

令f（x）=—步L，xe（0，x°）.因为r（x）＜0,所以“X）在（o,为）上单减，

x+2+lnx

当入-0+,/（力-0.

所以。NO

综上所述：。的取值范围是0」.

_e

故选：A

【点睛】

恒成立问题

①参变分离，转化为不含参数的最值问题；

②不能参变分离，直接对参数讨论，研究/（x）的单调性及最值；

③特别地，个别情况下/（x）＞g（x）恒成立，可转换为“力而„＞8（力3（二者在同一处取

得最值）.

填空题（每小题9分，共54分）:

7.(2021・云南大理•模拟预测(理))己知函数/(x)=6|sinx|-|cosx|,则下列说法正确的

有.(将所有正确的序号填在答题卡横线上)

①万是函数Ax)的一个周期；

②fM的图象关于点后，0)中心对称；

③“X)在区间上单调递减

④/(力的值域为［-L2］.

【答案】①©

【分析】

化简/(x+m可得/(x+7)=f(x),可判断①，代入特值可判断②，化简XC万时函数

解析式，可判断③，在［0,句上讨论函数“X)的单调性，可判断④.

【详解】

对于①，/(x)=>/3|sinx|-1COSXI，

f(x+))=6|sinx+4|-|cosx+7t\

=V3|-sinx|-|-cosx|

=V3|sinx|-|cosx|=/(x)

二•万是函数/CO的一个周期,①正确;

对于②，・・・/(—5=0,吟=6,所以/(-分~了佟］,所以〃x)的图象不关于点住,01

中心对称，②错误；

时，

对于③，当X6乃/(x)=>/3|sinx|-|cosx|=6sinx+cosx=2sin(x+

xeg,乃，x+ge学，?，函数单调递减，③正确；

2J636_

■JT

对于④，xe0,y

TT717T7t

x-片,函数单调递增，由③得函数在上单调递减，

6L63」|_2

又〃0)=—1,/仁卜力，)=一1,

且由①得乃是函数"X)的一个周期，

故函数/（X）的值域为「1,6],④错误：

故答案为：①③.

8.（2021.浙江金华•三模）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G,”八

个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有

___________种.

【分析】

分E,F,G,“涂4利I3种或2种颜色，再分别计算涂色的方法种数.

【详解】

①对E,F,G,〃涂4种颜色，对于剩下的AB,C,D各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是

相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么AB,C,O共有2种情况，

共有A：x2=48种，

②对E,F,G,〃涂3种颜色，对于E,F,G,H从4种颜色中取3种，即《=4,从这3种颜

色中取1种来作重复的一种，即C；=3,再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，

有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列A；=2,即2A；=4对于剩卜.的AB,C,。同①

一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有

仁•《-28-2=4x3x2x2x2=96种，

③E,£G,〃涂2种颜色，则选2种颜色,涂在对角位置，有C：x2=12种方法,A,8,C,£＞共

2种颜色，故共有C：x2x2=24种方法，

所以一共有48+96+24=168种方法.

故答案为：168

【点睛】

关键点点睛：本题考查排列，组合，计数原理的综合应用，本题的关键是正确分类E，£G,H

的涂色方法种数，并且先涂E,£G,“，再涂A,B,C,O.

9.(2021•上海市吴淞中学高三期中)已知数列｛4｝满足：q=l,%=MxeN*),

%+2=|%+|-%1，若前2010项中恰好含有666项为0,则*的值为.

【答案】8或9或8

【分析】

先利用户1,2,3,4,5分析出在前2010项中含有0的项的个数的规律即可计算得解.

【详解】

因数列｛q｝满足：％=1,七=x（xeN*）,an+2~\an+\-/|，贝小

当x=l时，数列｛4｝各项为：1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,在前2010项中

恰好含有誓=670项为0,

当x=2时，数列｛《,｝各项为：1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,.在前2010项中，由

onin_o

卫尸=669］知，恰好含有669项为0,

当x=3时，数列｛4,｝各项为：1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,.在前2010项中，由

丝尸=669知，恰好含有669项为0,

当x=4时，数列｛q｝各项为：1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0).在前2010项中，由

迎产=668；知，恰好含有668项为0,

当*=5时，数列｛4｝各项为：1,5,4,1,3,2,1,1,0,1,.在前2010项中，由

警心=668知，恰好含有668项为0,

由上述可得当x=6或x=7时，在前2010项中恰好含有667项为0,当x=8或x=9时，在

前2010项中恰好含有666项为0,

所以x的值为8或9.

故答案为：8或9

【点睛】

关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应的数

列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.

10.（2021•江西•景德镇一中高三月考（理））已知点P（2,0）,动点。满足以PQ为直径的圆

与y轴相切，过点尸作直线x+（〃Ll）y+2m-5=0的垂线，垂足为R,则|。"+|。用的最小

值为•

【答案】"逝

2

【分析】

由抛物线定义可知。的轨迹方程，宜线x+（m-l）y+2m-5=0过定点，结合圆的性质，可

知R点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值.

【详解】

山动点。满足以QP为直径的圆与>轴相切可知：动点。到定点尸的距离等于动点。到直线

x=-2的距离，故动点Q的轨迹为V=8x,

由工+（m一1）》+2〃2-5=0可得工一〉一5+111（丁+2）=0,

%-y-5=0/、,/、/\

_解得D（3,—2）,即直线x+（m—l）y+2m—5=0过定点。（3,—2）,

{y=2

又过尸作直线工+（加-1）'+2〃2-5=0的垂线，垂足为R,

所以R点在以尸£>为直径的圆上，直径式方程为（x-2）（尤-3）+y（y+2）=0,

化为标准方程为：卜—|J+（y+炉=],圆心半径/=当

过Q做加垂直准线，垂足为过E做EG垂直准线，垂足为G

则|QP|+|°R闫QM|+|QE|-半z|EG|-^=g-乎=上,

故答案为：纪叵

22

11.（2021•河北沧州•高三月考）已知F为双曲线C：5-4=1（。>0,b>0）的右焦点,

ab~

O为坐标原点，点A是以。F为直径的圆与双曲线C的一个公共点.若点F关于点A的对称点

也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为.

【答案】±2>/3

【分析】

由题设探求出ABF'B与ABFA都是以8为直角顶点的直角三角形，令|A尸|=加，并表示相关

量，再借助勾股定理建立方程组，求出m匕的关系即可.

【详解】

因点A是以。F为直径的圆与双曲线C的一个公共点，则。4，AF,

设点尸关于点A的对称点为B,双曲线C的左焦点为尸，则。4//F'B,仃BF'LBF，如图,

令=则=\BF\=2m,\BF'\=2m—2a,又=

在WABF'F中,\BF'^+\BF|2=|F'F^,gp（2m-2a）2+4m2=4c2,

在R/ABFA中，［BF'^+\AB\2=\AF'\i,g|J（2/n-2a）2+/w2=（/n+2a）2

（2/T?-2a）'+4/n2=4c2

于是得《（2，"2a『+/=G"+2af,解得人=2儡，即2=26，

所以双曲线C的渐近线的斜率为±2否.

故答案为：±25/3

12.(2021・浙江•三模)函数/(幻=/-3/+3戊-3，+3,re(0,l),记|/(x)|在xe[0,2]上的

最大值为M。)，则加⑺41+g的解集是

【答案】[rrv]

【分析】

通过换元，F(x)=g(M=m3+(3L3)〃?+l,用导数探究得M(r)=max卜(-"7),卜⑴|},进

而可得不等式的解集.

【详解】

因为fM=x3-3x2+3比一3/+3=(x—IN+(3,一3)(x-1)+1,

令772=x—1G[—1,1],则f(x)=g(〃z)=+(3f—3)〃?+1,

g'Qn)=3病+(3f-3)=3(62+._1),

因为，£(o,i),令g'(m)=o得加=,或机=Ji=7,

列表

m-1-71^7(右」)1

g\m)+—+

g(附3-3t7极大值极小值/3/-1

因为函数g(m)的图象关于点(0,1)对称，ftg(-l)=3-3r>0,所以g(_VT7)>0,结合表格

和简图可知，M(r)=max[^(-VT7),|5(1)|),所以

0</<10