5.4.2　第2课时　单调性与最值

第2课时单调性与最值第五章

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，

通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的

最值、值域等问题.学习目标同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题.导语随堂演练课时对点练一、正弦函数、余弦函数的单调性二、利用单调性比较大小三、求正弦函数、余弦函数的单调区间内容索引四、正弦函数、余弦函数的最值(值域)一、正弦函数、余弦函数的单调性提示知识梳理1.正弦函数的单调性单调递增单调递减2.余弦函数的单调性在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都

，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都

，其值从1减小到－1.注意点：(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.单调递增单调递减二、利用单调性比较大小例1利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(2)cos1，sin1；(3)sin164°与cos110°.解sin164°＝sin(180°－16°)＝sin16°，cos110°＝cos(90°＋20°)＝－sin20°.所以－sin20°<sin16°，即cos110°<sin164°.反思感悟

比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数.(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.(3)利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1

(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是

A.sinα<sinβ

B.cosα<sinβC.cosα<cosβ

D.cosα>cosβ解析因为α，β是锐角三角形的两个内角，√(2)下列关系式中正确的是

A.sin11°<sin168°<cos10°

B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<cos10°<sin168°

D.sin168°<cos10°<sin11°解析因为sin168°＝sin12°，cos10°＝sin80°，所以只需比较sin11°，sin12°，sin80°的大小.√所以sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.三、求正弦函数、余弦函数的单调区间延伸探究反思感悟

求正弦、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上.四、正弦函数、余弦函数的最值(值域)我们在研究函数的单调性时，发现不管是正弦函数，还是余弦函数，它们的函数值的变化要么是从－1变化到1，要么是从1变化到－1，于是我们得到了正弦函数和余弦函数的最大值和最小值.知识梳理2.余弦函数：当且仅当x＝

(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝____

(k∈Z)时取得最小值－1.2kπ2kπ＋π反思感悟

三角函数的值域(最值)问题的求解方法(1)形如y＝Asinx(或y＝Acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论.(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asinx(或y＝Acosx)型的函数求值.1.知识清单：(1)正弦、余弦函数的单调区间.(2)比较三角函数值的大小.(3)正弦、余弦函数的最值(值域).2.方法归纳：整体代换、换元法.3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sinx，cosx本身具有的范围.课堂小结随堂演练A.单调递增

B.单调递减C.先减后增

D.先增后减1234√12342.函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为

√解析∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，1234√1234课时对点练基础巩固1234567891011121314151.下列命题中正确的是

A.y＝cosx在第一象限和第四象限内单调递减B.y＝sinx在第一象限和第三象限内单调递增16√123456789101112131415解析对于y＝cosx，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；16A.[－2,2] B.[0,2]

C.[－2,0] D.[－1,1]123456789101112131415√所以y∈[－2,2].161234567891011121314153.若α，β都是第一象限内的角，且α<β，那么

A.sinα>sinβ

B.sinβ>sinαC.sinα≥sinβ

D.sinα与sinβ的大小不确定√解析根据终边相同的角可以相差2π的整数倍，可得sinα，sinβ的大小不确定.164.已知函数y＝sinx与y＝cosx，在下列区间内同为单调递增的是y＝cosx的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，√12345678910111213141516123456789101112131415√161234567891011121314156.(多选)下列不等式中成立的是√√16cos400°＝cos40°>cos50°＝cos(－50°)，故B成立；12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314157.函数y＝cosx在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________.解析因为y＝cosx在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0].(－π，0]161234567891011121314158.sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为_______________.sin3<sin1<sin216sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.123456789101112131415(1)求f(x)的单调递增区间；16123456789101112131415(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.1612345678910111213141516(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；12345678910111213141516123456789101112131415综合运用11.使cosx＝1－m有意义的m的取值范围为

A.m≥0

B.0≤m≤2C.－1<m<1

D.m<－1或m>1√解析因为－1≤cosx≤1，所以－1≤1－m≤1，所以0≤m≤2.1612345678910111213141516√13.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA>sinB，则

A.cosC>0 B.cosC<0C.cosC＝0 D.cosC≥0√解析因为角A，B均为锐角，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151616.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sinα)>f(cosβ).证明由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f