2024年中考数学复习：瓜豆原理讲解练习

瓜豆原理专题讲解练习

什么是“瓜豆原理”呢？其基本要义概括为：

一条折线段，固定其折点；邻边定比例，夹角不改变.主动于直线，从动于直线；主动于(弧)圆，从动于(弧)圆.瓜豆问题的实

质是基于“位似图形的旋转变换””有的地方也叫做主从联动问题。

引例1：如图，若A,B,C为平面内的三个点，点A为定点，点B在定直线1上运动，在运动过程中，保持NBAC=a(0。<a<1

80°)，且AC=k-AB(k>0)不变.则点C也在某一定直线上运动.

A为定点.点B在半径为r的定。0上运动,在运动过程中，保持ZBAC=a(0°<a<180°)，且AC=k.AB(k>0)不变.则点C也

在一定圆上运动.

引例2:如图,△APQ是直角三角形,NPAQ=90。且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是？

【分析】考虑AP±AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM±AO;

考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.

即可确定圆M位置，任意时刻均有^APO^AAQM,且相似比为2.

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(NPAQ是定值)；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).

Q

【结论】⑴主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

Z.PAQ=Z.OAM;

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP-.AQ=40:4M也等于两圆半径之比.

小结定点A到定圆的圆心O的距离一“点心距离”是一个“不变量”以此为切入点辅以“位似旋转变换”以“定点•定长”为落脚点证

明从动点在一定圆上运动.古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【思考1］：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边A4PQ.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】

Q点满足⑴NPAQ=60。;(2)AP=AQ,故Q点轨迹是个圆:考虑/-PAQ=60。,可得Q点轨迹圆圆心M

满足^MAO=60。;考虑AP=4Q,可得Q点轨迹圆圆心M满足.AM=AO,,且可得半径.MQ=PO

.即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO三&AQM.

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.

【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.

考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹?

Q

【分析】Q点满足⑴NPAQ=45。;⑵AP:AQ=&:1,故Q点轨迹是个圆.

连接A0,构造/LOAM=45。且AO:AM=V2:l.M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOPooA4MQ,即可确定点Q

的轨迹圆.

【练习】如图点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点，点C是MB的中点,则AC的最小值是

【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.考虑C是BM中点,可知C点轨迹：取BP中点O,以O为圆心，OC为

半径作圆，即为点C轨迹.

当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O,利用两点间距离公式求得OA,再减去OC

即可.

如图，在等腰Rt△4BC中,AC=BC=2&点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，

点M运动的路径长为一.

【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：

取AB中点0,连接C0取CO中点D,以D为圆心,DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.

当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题.

如图.正方形ABCD中,AB=2V5,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，（0E=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转

90。得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.

B0

【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足E。=2,,故E点轨迹是以0为圆心，2为半径的圆.

考虑DE±DF且DE=DF,故作DM±DO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆.

直接连接OM,与圆M交点即为F点,此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到

OF的最小值

【类似性问题】.△4BC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△4BC外作正方形BCDE,BD、CE交于点0,则线段AO的最大值为一

A

【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化,

求得线段AO的最大值.

根据AC=2,,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.

接下来题目求A0的最大值，所以确定。点轨迹即可，观察A80c是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2

为半径的圆，所以0点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点0轨迹圆圆心.

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点0,此时A0最大，根据AB先求AM,再根据BC与B0的.比值可得圆M的半径与

圆A半径的比值，得到MO,相加即得AO.

此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A，共线时，可得A0最大值.

或者直接利用托勒密定理可得最大值.

二、轨迹之线段篇

引例：如图,P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是?

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为4P=24Q,所以QN始终为AM的一半，

即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

【弓I例】如图，△4PQ是等腰直角三角形，"AQ=90。且AP=AQ,,当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹?

A

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形.

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量QP4Q是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）.

结论：

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于ZP4Q（当NP4Q<90。时,NP4Q等于MN与BC夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABCAAMN,,可得AP;AQ=BC;MN）

B

如图，在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所

示的方式作等边△DPF,,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是______.

【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8,故此题答案为8.

如图，已知点A是第一象限内横坐标为2g的一个定点，AC1x轴于点M,交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个

动点，.Z.APB=30°,BA1PA,,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动

的路径长是一.

【分析】根据.乙PAB=90°,乙4PB=30。可得：AP-.AB=<?,­.1,故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之

比也为V3:1„P点轨迹长ON为2倔，故B点轨迹长为2在

【练习】如图，在平面直角坐标系中，4(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x上，以AB为边在AB的下方作等

边A,点B在y轴上运动时，求OP的最小值.

【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△4BP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线.

取两特殊时刻：(1)当点B与点O重合时，作出P点位置P1；⑵当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60。时，作出P点位置P2.

连接P1P2,即为P点轨迹.

根据^ABP=60。可知：PR与y轴夹角为（60。,作OP1「止?,所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3,所以OP=|,

如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG„

连接CG,则CG的最小值为

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由

此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在Gi位置,最终G点在（Gz位

置（（G2不一定在CD边）,GiG?,即为G点匹动轨迹.

CG最小值即当CG1GiG?的时候取到，作（CH±GiG?于点H,CH即为所求的最小值.

根据模型可知：G&与AB夹角为60°,故（G&1EG”

过点E作EF1CH于点F,则HF=GjE=1,CF=1CE=|,

所以CH=*因此CG的最小值为j.

三、轨迹之其他图形篇

所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点

的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是.

如图，在反比例函数y=的图像上有一个动点A,连接AO并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内有一点C,满足A

C=BC,当点A运动时，点C始终在函数y=*的图像上运动，若tan^CAB=2,则k的值为（）

A.2B.4